(Ⅲ)證明. 2004年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（Ⅰ）已知函數(shù)f(x)=
x
x+1
．數(shù)列{an}滿足：an＞0，a1=1，且
an+1
=f(
an
)，記數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且Sn=
2
2
[
1
an
+(
2
+1)n]．求數(shù)列{bn}的通項公式；并判斷b4+b6是否仍為數(shù)列{bn}中的項？若是，請證明；否則，說明理由．
（Ⅱ）設{cn}為首項是c1，公差d≠0的等差數(shù)列，求證：“數(shù)列{cn}中任意不同兩項之和仍為數(shù)列{cn}中的項”的充要條件是“存在整數(shù)m≥-1，使c1=md”．

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精英家教網(wǎng)如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是側棱CC1上的一點，CP=m．
（Ⅰ）試確定m，使直線AP與平面BDD1B1所成角為60°；
（Ⅱ）在線段A1C1上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D1Q⊥AP，并證明你的結論．

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證明：過拋物線y=a（x-x1）•（x-x2）（a≠0，x1＜x2）上兩點A（x1，0）、B（x2，0）的切線，與x軸所成的銳角相等．

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精英家教網(wǎng)如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，E、F是AA1、AB的中點．
（Ⅰ）證明：直線EE1∥平面FCC1；
（Ⅱ）求二面角B-FC1-C的余弦值．

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等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n∈N+，點（n，Sn）均在函數(shù)y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)的圖象上．
（Ⅰ）求r的值．
（Ⅱ）當b=2時，記bn=2（log2an=1）（n∈N+），證明：對任意的，不等式成立
b1+1
b1
•
b2+1
b2
•…
bn+1
bn
＞
n+1
．

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一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分60分.

（1）A      （2）B     （3）D     （4）C      （5）A    （6）B

（7）C      （8）A     （9）D     （10）C     （11）B    （12）A

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分.

（13）                         （14）

（15）2                                        （16）

三、解答題

（17）本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式和三角函數(shù)的恒等變換等基本知識，以及推理能力和運算能力.滿分12分.

      解：由已知.

  

      從而 

.

（18）本小題主要考查線面關系和正方體性質等基本知識，考查空間想象能力和推理論證能力.滿分12分.

      解法一：（I）連結BP.

      ∵AB⊥平面BCC1B1，  ∴AP與平面BCC1B1所成的角就是∠APB,

      ∵CC1=4CP,CC1=4，∴CP=I.

      在Rt△PBC中，∠PCB為直角，BC=4，CP=1，故BP=.

      在Rt△APB中，∠ABP為直角，tan∠APB=

      ∴∠APB=

（19）本小題主要考查簡單線性規(guī)劃的基本知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.滿分12分.

      解：設投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個項目.

      由題意知

      目標函數(shù)z=x+0.5y.

      上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分（含邊界）即可行域.


   

    
    

    
      與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點，且
      與直線的距離最大，這里M點是直線
      和的交點.
       解方程組 得x=4，y=6
      此時（萬元）.
          當x=4，y=6時z取得最大值.
      答：投資人用4萬元投資甲項目、6萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大.
（20）本小題主要考查數(shù)列的基本知識，以及運用數(shù)學知識分析和解決問題的能力.滿分12分.
      解：（I）當時，
              
       由，
       即              又.
       （II）設數(shù)列{an}的公差為d，則在中分別取k=1,2,得



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      2. 
   
      
    
    
      
    
      （1）
      （2）
             由（1）得

             當
             若成立
             若
                故所得數(shù)列不符合題意.
             當
             若
             若.
             綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列：
             ①{an} : an=0，即0，0，0，…；
             ②{an} : an=1，即1，1，1，…；
             ③{an} : an=2n－1，即1，3，5，…，
      （21）本小題主要考查直線、橢圓和向量等基本知識，以及推理能力和運算能力.滿分12分.
             解：（I）設所求橢圓方程是
             由已知，得    所以.
             故所求的橢圓方程是
             （II）設Q（），直線
             當由定比分點坐標公式，得
             
             .
             于是   故直線l的斜率是0，.
      （22）本小題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識，以及綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.滿分14分.
             證明：（I）任取 
             和  ②
             可知 ，
             從而 .  假設有①式知
             
             ∴不存在
             （II）由                       
③
             可知   ④
             由①式，得   ⑤
             由和②式知，   ⑥
             由⑤、⑥代入④式，得 
                                

      （III）由③式可知
        （用②式）
             （用①式）
      		
      
	
	
      
		
      


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