題目列表(包括答案和解析)
如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實數(shù)的值為( )
A.0 | B.2 | C.0或3 | D.2或3 |
A.-2 | B.1 | C.2 | D.1或-2 |
說明:1.參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與參考答案不同,可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù).
2.對解答題中的計算題,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時,如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的得分,但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半;如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤,就不再給分.
3.解答右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).
4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù),選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題:本大題考查基本知識和基本運算.共10小題,每小題5分,滿分50分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
C
D
A
B
D
C
B
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,滿分20分.其中14~15題是選做題,考生只能選做一題,兩題全答的,只計算前一題得分.第13題第1個空3分,第2個空2分.
11.0 12.79 13., 14.1 15.6
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.(本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及運算求解能力)
解:(1)
.
∵R,
∴函數(shù)的值域為.
(2)∵,,
∴,.
∵都是銳角,
∴,.
∴
∴的值為.
17.(本小題主要考查古典概型等基礎(chǔ)知識,考查化歸和轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法,以及簡單的推理論證能力)
解:由于實數(shù)對的所有取值為:,,,,,,,,,,,,,,,,共16種.
設(shè)“直線不經(jīng)過第四象限”為事件,“直線與圓有公共點”為事件.
(1)若直線不經(jīng)過第四象限,則必須滿足
即滿足條件的實數(shù)對有,,,,共4種.
∴.
故直線不經(jīng)過第四象限的概率為.
(2)若直線與圓有公共點,則必須滿足≤1,即≤.
若,則符合要求,此時實數(shù)對()有4種不同取值;
若,則符合要求,此時實數(shù)對()有2種不同取值;
若,則符合要求,此時實數(shù)對()有2種不同取值;
若,則符合要求,此時實數(shù)對()有4種不同取值.
∴滿足條件的實數(shù)對共有12種不同取值.
∴.
故直線與圓有公共點的概率為.
18.(本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的表面積與體積等知識,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、運算求解能力)
(1)證法1:如圖,連結(jié),
∵是長方體,
∴且.
∴四邊形是平行四邊形.
∴.
∵平面,平面,
∴平面.
證法2:∵是長方體,
∴平面平面.
∵平面,平面,
∴平面.
(2)解:設(shè),∵幾何體的體積為,
∴,
即,
即,解得.
∴的長為4.
(3)如圖,連結(jié),設(shè)的中點為,連
∵是長方體,∴平面.
∵平面,∴.
∴.同理.
∴.
∴經(jīng)過,,,四點的球的球心為點.
∵.
∴.
故經(jīng)過,,,四點的球的表面積為.
19.(本小題主要考查橢圓、圓的方程和圓與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)形結(jié)合思想,以及運算求解能力)
解:(1)∵橢圓的離心率為,且經(jīng)過點,
∴
即解得
∴橢圓的方程為.
(2)∵,,∴.
∴橢圓的左焦點坐標(biāo)為.
以橢圓的長軸為直徑的圓的方程為,圓心坐標(biāo)是,半徑為2.
以為直徑的圓的方程為,圓心坐標(biāo)是,半徑為.
∵兩圓心之間的距離為,
故以為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內(nèi)切.
20.(本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項求和公式等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理論證能力和運算求解能力)
解:設(shè)等比數(shù)列的首項為,公比為,
若,,成等差數(shù)列,
則.
∴.
∵,,∴.
解得或.
當(dāng)時,∵,,,
∴.
∴當(dāng)時,,,不成等差數(shù)列.
當(dāng)時,,,成等差數(shù)列.下面給出兩種證明方法.
證法1:∵
,
∴.
∴當(dāng)時,,,成等差數(shù)列.
證法2:∵,
又
,
∴.
∴當(dāng)時,,,成等差數(shù)列.
21.(本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力)
(1)解法1:∵,其定義域為,
∴.
∵是函數(shù)的極值點,
∴,即,
∵,∴.
經(jīng)檢驗,當(dāng)時,=1是函數(shù)的極值點,
∴. ?
解法2:∵,其定義域為,
∴.
令,即,整理得,.
∵,
∴的兩個實根(舍去),,
當(dāng)變化時,,的變化情況如下表:
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