題目列表(包括答案和解析)
第一部分 力&物體的平衡
第一講 力的處理
一、矢量的運(yùn)算
1、加法
表達(dá): + = 。
名詞:為“和矢量”。
法則:平行四邊形法則。如圖1所示。
和矢量大小:c = ,其中α為和的夾角。
和矢量方向:在、之間,和夾角β= arcsin
2、減法
表達(dá): = - 。
名詞:為“被減數(shù)矢量”,為“減數(shù)矢量”,為“差矢量”。
法則:三角形法則。如圖2所示。將被減數(shù)矢量和減數(shù)矢量的起始端平移到一點(diǎn),然后連接兩時(shí)量末端,指向被減數(shù)時(shí)量的時(shí)量,即是差矢量。
差矢量大。篴 = ,其中θ為和的夾角。
差矢量的方向可以用正弦定理求得。
一條直線上的矢量運(yùn)算是平行四邊形和三角形法則的特例。
例題:已知質(zhì)點(diǎn)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng),半徑為R ,周期為T ,求它在T內(nèi)和在T內(nèi)的平均加速度大小。
解說:如圖3所示,A到B點(diǎn)對(duì)應(yīng)T的過程,A到C點(diǎn)對(duì)應(yīng)T的過程。這三點(diǎn)的速度矢量分別設(shè)為、和。
根據(jù)加速度的定義 = 得:= ,=
由于有兩處涉及矢量減法,設(shè)兩個(gè)差矢量 = - ,= - ,根據(jù)三角形法則,它們?cè)趫D3中的大小、方向已繪出(的“三角形”已被拉伸成一條直線)。
本題只關(guān)心各矢量的大小,顯然:
= = = ,且: = = , = 2=
所以:= = = ,= = = 。
(學(xué)生活動(dòng))觀察與思考:這兩個(gè)加速度是否相等,勻速率圓周運(yùn)動(dòng)是不是勻變速運(yùn)動(dòng)?
答:否;不是。
3、乘法
矢量的乘法有兩種:叉乘和點(diǎn)乘,和代數(shù)的乘法有著質(zhì)的不同。
⑴ 叉乘
表達(dá):× =
名詞:稱“矢量的叉積”,它是一個(gè)新的矢量。
叉積的大小:c = absinα,其中α為和的夾角。意義:的大小對(duì)應(yīng)由和作成的平行四邊形的面積。
叉積的方向:垂直和確定的平面,并由右手螺旋定則確定方向,如圖4所示。
顯然,×≠×,但有:×= -×
⑵ 點(diǎn)乘
表達(dá):· = c
名詞:c稱“矢量的點(diǎn)積”,它不再是一個(gè)矢量,而是一個(gè)標(biāo)量。
點(diǎn)積的大小:c = abcosα,其中α為和的夾角。
二、共點(diǎn)力的合成
1、平行四邊形法則與矢量表達(dá)式
2、一般平行四邊形的合力與分力的求法
余弦定理(或分割成RtΔ)解合力的大小
正弦定理解方向
三、力的分解
1、按效果分解
2、按需要——正交分解
第二講 物體的平衡
一、共點(diǎn)力平衡
1、特征:質(zhì)心無加速度。
2、條件:Σ = 0 ,或 = 0 , = 0
例題:如圖5所示,長(zhǎng)為L(zhǎng) 、粗細(xì)不均勻的橫桿被兩根輕繩水平懸掛,繩子與水平方向的夾角在圖上已標(biāo)示,求橫桿的重心位置。
解說:直接用三力共點(diǎn)的知識(shí)解題,幾何關(guān)系比較簡(jiǎn)單。
答案:距棒的左端L/4處。
(學(xué)生活動(dòng))思考:放在斜面上的均質(zhì)長(zhǎng)方體,按實(shí)際情況分析受力,斜面的支持力會(huì)通過長(zhǎng)方體的重心嗎?
解:將各處的支持力歸納成一個(gè)N ,則長(zhǎng)方體受三個(gè)力(G 、f 、N)必共點(diǎn),由此推知,N不可能通過長(zhǎng)方體的重心。正確受力情形如圖6所示(通常的受力圖是將受力物體看成一個(gè)點(diǎn),這時(shí),N就過重心了)。
答:不會(huì)。
二、轉(zhuǎn)動(dòng)平衡
1、特征:物體無轉(zhuǎn)動(dòng)加速度。
2、條件:Σ= 0 ,或ΣM+ =ΣM-
如果物體靜止,肯定會(huì)同時(shí)滿足兩種平衡,因此用兩種思路均可解題。
3、非共點(diǎn)力的合成
大小和方向:遵從一條直線矢量合成法則。
作用點(diǎn):先假定一個(gè)等效作用點(diǎn),然后讓所有的平行力對(duì)這個(gè)作用點(diǎn)的和力矩為零。
第三講 習(xí)題課
1、如圖7所示,在固定的、傾角為α斜面上,有一塊可以轉(zhuǎn)動(dòng)的夾板(β不定),夾板和斜面夾著一個(gè)質(zhì)量為m的光滑均質(zhì)球體,試求:β取何值時(shí),夾板對(duì)球的彈力最小。
解說:法一,平行四邊形動(dòng)態(tài)處理。
對(duì)球體進(jìn)行受力分析,然后對(duì)平行四邊形中的矢量G和N1進(jìn)行平移,使它們構(gòu)成一個(gè)三角形,如圖8的左圖和中圖所示。
由于G的大小和方向均不變,而N1的方向不可變,當(dāng)β增大導(dǎo)致N2的方向改變時(shí),N2的變化和N1的方向變化如圖8的右圖所示。
顯然,隨著β增大,N1單調(diào)減小,而N2的大小先減小后增大,當(dāng)N2垂直N1時(shí),N2取極小值,且N2min = Gsinα。
法二,函數(shù)法。
看圖8的中間圖,對(duì)這個(gè)三角形用正弦定理,有:
= ,即:N2 = ,β在0到180°之間取值,N2的極值討論是很容易的。
答案:當(dāng)β= 90°時(shí),甲板的彈力最小。
2、把一個(gè)重為G的物體用一個(gè)水平推力F壓在豎直的足夠高的墻壁上,F(xiàn)隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖9所示,則在t = 0開始物體所受的摩擦力f的變化圖線是圖10中的哪一個(gè)?
解說:靜力學(xué)旨在解決靜態(tài)問題和準(zhǔn)靜態(tài)過程的問題,但本題是一個(gè)例外。物體在豎直方向的運(yùn)動(dòng)先加速后減速,平衡方程不再適用。如何避開牛頓第二定律,是本題授課時(shí)的難點(diǎn)。
靜力學(xué)的知識(shí),本題在于區(qū)分兩種摩擦的不同判據(jù)。
水平方向合力為零,得:支持力N持續(xù)增大。
物體在運(yùn)動(dòng)時(shí),滑動(dòng)摩擦力f = μN(yùn) ,必持續(xù)增大。但物體在靜止后靜摩擦力f′≡ G ,與N沒有關(guān)系。
對(duì)運(yùn)動(dòng)過程加以分析,物體必有加速和減速兩個(gè)過程。據(jù)物理常識(shí),加速時(shí),f < G ,而在減速時(shí)f > G 。
答案:B 。
3、如圖11所示,一個(gè)重量為G的小球套在豎直放置的、半徑為R的光滑大環(huán)上,另一輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為k ,自由長(zhǎng)度為L(zhǎng)(L<2R),一端固定在大圓環(huán)的頂點(diǎn)A ,另一端與小球相連。環(huán)靜止平衡時(shí)位于大環(huán)上的B點(diǎn)。試求彈簧與豎直方向的夾角θ。
解說:平行四邊形的三個(gè)矢量總是可以平移到一個(gè)三角形中去討論,解三角形的典型思路有三種:①分割成直角三角形(或本來就是直角三角形);②利用正、余弦定理;③利用力學(xué)矢量三角形和某空間位置三角形相似。本題旨在貫徹第三種思路。
分析小球受力→矢量平移,如圖12所示,其中F表示彈簧彈力,N表示大環(huán)的支持力。
(學(xué)生活動(dòng))思考:支持力N可不可以沿圖12中的反方向?(正交分解看水平方向平衡——不可以。)
容易判斷,圖中的灰色矢量三角形和空間位置三角形ΔAOB是相似的,所以:
⑴
由胡克定律:F = k(- R) ⑵
幾何關(guān)系:= 2Rcosθ ⑶
解以上三式即可。
答案:arccos 。
(學(xué)生活動(dòng))思考:若將彈簧換成勁度系數(shù)k′較大的彈簧,其它條件不變,則彈簧彈力怎么變?環(huán)的支持力怎么變?
答:變;不變。
(學(xué)生活動(dòng))反饋練習(xí):光滑半球固定在水平面上,球心O的正上方有一定滑輪,一根輕繩跨過滑輪將一小球從圖13所示的A位置開始緩慢拉至B位置。試判斷:在此過程中,繩子的拉力T和球面支持力N怎樣變化?
解:和上題完全相同。
答:T變小,N不變。
4、如圖14所示,一個(gè)半徑為R的非均質(zhì)圓球,其重心不在球心O點(diǎn),先將它置于水平地面上,平衡時(shí)球面上的A點(diǎn)和地面接觸;再將它置于傾角為30°的粗糙斜面上,平衡時(shí)球面上的B點(diǎn)與斜面接觸,已知A到B的圓心角也為30°。試求球體的重心C到球心O的距離。
解說:練習(xí)三力共點(diǎn)的應(yīng)用。
根據(jù)在平面上的平衡,可知重心C在OA連線上。根據(jù)在斜面上的平衡,支持力、重力和靜摩擦力共點(diǎn),可以畫出重心的具體位置。幾何計(jì)算比較簡(jiǎn)單。
答案:R 。
(學(xué)生活動(dòng))反饋練習(xí):靜摩擦足夠,將長(zhǎng)為a 、厚為b的磚塊碼在傾角為θ的斜面上,最多能碼多少塊?
解:三力共點(diǎn)知識(shí)應(yīng)用。
答: 。
4、兩根等長(zhǎng)的細(xì)線,一端拴在同一懸點(diǎn)O上,另一端各系一個(gè)小球,兩球的質(zhì)量分別為m1和m2 ,已知兩球間存在大小相等、方向相反的斥力而使兩線張開一定角度,分別為45和30°,如圖15所示。則m1 : m2??為多少?
解說:本題考查正弦定理、或力矩平衡解靜力學(xué)問題。
對(duì)兩球進(jìn)行受力分析,并進(jìn)行矢量平移,如圖16所示。
首先注意,圖16中的灰色三角形是等腰三角形,兩底角相等,設(shè)為α。
而且,兩球相互作用的斥力方向相反,大小相等,可用同一字母表示,設(shè)為F 。
對(duì)左邊的矢量三角形用正弦定理,有:
= ①
同理,對(duì)右邊的矢量三角形,有: = ②
解①②兩式即可。
答案:1 : 。
(學(xué)生活動(dòng))思考:解本題是否還有其它的方法?
答:有——將模型看成用輕桿連成的兩小球,而將O點(diǎn)看成轉(zhuǎn)軸,兩球的重力對(duì)O的力矩必然是平衡的。這種方法更直接、簡(jiǎn)便。
應(yīng)用:若原題中繩長(zhǎng)不等,而是l1 :l2 = 3 :2 ,其它條件不變,m1與m2的比值又將是多少?
解:此時(shí)用共點(diǎn)力平衡更加復(fù)雜(多一個(gè)正弦定理方程),而用力矩平衡則幾乎和“思考”完全相同。
答:2 :3 。
5、如圖17所示,一個(gè)半徑為R的均質(zhì)金屬球上固定著一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)桿,細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻壁相連,球下邊墊上一塊木板后,細(xì)桿恰好水平,而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦(已知摩擦因素為μ),所以要將木板從球下面向右抽出時(shí),至少需要大小為F的水平拉力。試問:現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)一些,至少需要多大的水平推力?
解說:這是一個(gè)典型的力矩平衡的例題。
以球和桿為對(duì)象,研究其對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)平衡,設(shè)木板拉出時(shí)給球體的摩擦力為f ,支持力為N ,重力為G ,力矩平衡方程為:
f R + N(R + L)= G(R + L) ①
球和板已相對(duì)滑動(dòng),故:f = μN(yùn) ②
解①②可得:f =
再看木板的平衡,F(xiàn) = f 。
同理,木板插進(jìn)去時(shí),球體和木板之間的摩擦f′= = F′。
答案: 。
第四講 摩擦角及其它
一、摩擦角
1、全反力:接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱全反力,一般用R表示,亦稱接觸反力。
2、摩擦角:全反力與支持力的最大夾角稱摩擦角,一般用φm表示。
此時(shí),要么物體已經(jīng)滑動(dòng),必有:φm = arctgμ(μ為動(dòng)摩擦因素),稱動(dòng)摩擦力角;要么物體達(dá)到最大運(yùn)動(dòng)趨勢(shì),必有:φms = arctgμs(μs為靜摩擦因素),稱靜摩擦角。通常處理為φm = φms 。
3、引入全反力和摩擦角的意義:使分析處理物體受力時(shí)更方便、更簡(jiǎn)捷。
二、隔離法與整體法
1、隔離法:當(dāng)物體對(duì)象有兩個(gè)或兩個(gè)以上時(shí),有必要各個(gè)擊破,逐個(gè)講每個(gè)個(gè)體隔離開來分析處理,稱隔離法。
在處理各隔離方程之間的聯(lián)系時(shí),應(yīng)注意相互作用力的大小和方向關(guān)系。
2、整體法:當(dāng)各個(gè)體均處于平衡狀態(tài)時(shí),我們可以不顧個(gè)體的差異而講多個(gè)對(duì)象看成一個(gè)整體進(jìn)行分析處理,稱整體法。
應(yīng)用整體法時(shí)應(yīng)注意“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”的涵義。
三、應(yīng)用
1、物體放在水平面上,用與水平方向成30°的力拉物體時(shí),物體勻速前進(jìn)。若此力大小不變,改為沿水平方向拉物體,物體仍能勻速前進(jìn),求物體與水平面之間的動(dòng)摩擦因素μ。
解說:這是一個(gè)能顯示摩擦角解題優(yōu)越性的題目?梢酝ㄟ^不同解法的比較讓學(xué)生留下深刻印象。
法一,正交分解。(學(xué)生分析受力→列方程→得結(jié)果。)
法二,用摩擦角解題。
引進(jìn)全反力R ,對(duì)物體兩個(gè)平衡狀態(tài)進(jìn)行受力分析,再進(jìn)行矢量平移,得到圖18中的左圖和中間圖(注意:重力G是不變的,而全反力R的方向不變、F的大小不變),φm指摩擦角。
再將兩圖重疊成圖18的右圖。由于灰色的三角形是一個(gè)頂角為30°的等腰三角形,其頂角的角平分線必垂直底邊……故有:φm = 15°。
最后,μ= tgφm 。
答案:0.268 。
(學(xué)生活動(dòng))思考:如果F的大小是可以選擇的,那么能維持物體勻速前進(jìn)的最小F值是多少?
解:見圖18,右圖中虛線的長(zhǎng)度即Fmin ,所以,F(xiàn)min = Gsinφm 。
答:Gsin15°(其中G為物體的重量)。
2、如圖19所示,質(zhì)量m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上,并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物體,使物體能夠沿斜面向上勻速運(yùn)動(dòng),而斜面體始終靜止。已知斜面的質(zhì)量M = 10kg ,傾角為30°,重力加速度g = 10m/s2 ,求地面對(duì)斜面體的摩擦力大小。
解說:
本題旨在顯示整體法的解題的優(yōu)越性。
法一,隔離法。簡(jiǎn)要介紹……
法二,整體法。注意,滑塊和斜面隨有相對(duì)運(yùn)動(dòng),但從平衡的角度看,它們是完全等價(jià)的,可以看成一個(gè)整體。
做整體的受力分析時(shí),內(nèi)力不加考慮。受力分析比較簡(jiǎn)單,列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。
答案:26.0N 。
(學(xué)生活動(dòng))地面給斜面體的支持力是多少?
解:略。
答:135N 。
應(yīng)用:如圖20所示,一上表面粗糙的斜面體上放在光滑的水平地面上,斜面的傾角為θ。另一質(zhì)量為m的滑塊恰好能沿斜面勻速下滑。若用一推力F作用在滑塊上,使之能沿斜面勻速上滑,且要求斜面體靜止不動(dòng),就必須施加一個(gè)大小為P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面體。使?jié)M足題意的這個(gè)F的大小和方向。
解說:這是一道難度較大的靜力學(xué)題,可以動(dòng)用一切可能的工具解題。
法一:隔離法。
由第一個(gè)物理情景易得,斜面于滑塊的摩擦因素μ= tgθ
對(duì)第二個(gè)物理情景,分別隔離滑塊和斜面體分析受力,并將F沿斜面、垂直斜面分解成Fx和Fy ,滑塊與斜面之間的兩對(duì)相互作用力只用兩個(gè)字母表示(N表示正壓力和彈力,f表示摩擦力),如圖21所示。
對(duì)滑塊,我們可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——
Fx = f + mgsinθ
Fy + mgcosθ= N
且 f = μN(yùn) = Ntgθ
綜合以上三式得到:
Fx = Fytgθ+ 2mgsinθ ①
對(duì)斜面體,只看水平方向平衡就行了——
P = fcosθ+ Nsinθ
即:4mgsinθcosθ=μN(yùn)cosθ+ Nsinθ
代入μ值,化簡(jiǎn)得:Fy = mgcosθ ②
②代入①可得:Fx = 3mgsinθ
最后由F =解F的大小,由tgα= 解F的方向(設(shè)α為F和斜面的夾角)。
答案:大小為F = mg,方向和斜面夾角α= arctg()指向斜面內(nèi)部。
法二:引入摩擦角和整體法觀念。
仍然沿用“法一”中關(guān)于F的方向設(shè)置(見圖21中的α角)。
先看整體的水平方向平衡,有:Fcos(θ- α) = P ⑴
再隔離滑塊,分析受力時(shí)引進(jìn)全反力R和摩擦角φ,由于簡(jiǎn)化后只有三個(gè)力(R、mg和F),可以將矢量平移后構(gòu)成一個(gè)三角形,如圖22所示。
在圖22右邊的矢量三角形中,有: = = ⑵
注意:φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ ⑶
解⑴⑵⑶式可得F和α的值。
第Ⅰ卷(選擇題 共31分)
一、單項(xiàng)選擇題.本題共5小題,每小題3分,共計(jì)15分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意.
1. 關(guān)于科學(xué)家和他們的貢獻(xiàn),下列說法中正確的是[來源:Www..com]
A.安培首先發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)
B.伽利略認(rèn)為自由落體運(yùn)動(dòng)是速度隨位移均勻變化的運(yùn)動(dòng)
C.牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律,并計(jì)算出太陽(yáng)與地球間引力的大小
D.法拉第提出了電場(chǎng)的觀點(diǎn),說明處于電場(chǎng)中電荷所受到的力是電場(chǎng)給予的
2.如圖為一種主動(dòng)式光控報(bào)警器原理圖,圖中R1和R2為光敏電阻,R3和R4為定值電阻.當(dāng)射向光敏電阻R1和R2的任何一束光線被遮擋時(shí),都會(huì)引起警鈴發(fā)聲,則圖中虛線框內(nèi)的電路是
A.與門 B.或門 C.或非門 D.與非門
3.如圖所示的交流電路中,理想變壓器原線圈輸入電壓為U1,輸入功率為P1,輸出功率為P2,各交流電表均為理想電表.當(dāng)滑動(dòng)變阻器R的滑動(dòng)頭向下移動(dòng)時(shí)
A.燈L變亮 B.各個(gè)電表讀數(shù)均變大
C.因?yàn)?i>U1不變,所以P1不變 D.P1變大,且始終有P1= P2
4.豎直平面內(nèi)光滑圓軌道外側(cè),一小球以某一水平速度v0從A點(diǎn)出發(fā)沿圓軌道運(yùn)動(dòng),至B點(diǎn)時(shí)脫離軌道,最終落在水平面上的C點(diǎn),不計(jì)空氣阻力.下列說法中不正確的是
A.在B點(diǎn)時(shí),小球?qū)A軌道的壓力為零
B.B到C過程,小球做勻變速運(yùn)動(dòng)
C.在A點(diǎn)時(shí),小球?qū)A軌道壓力大于其重力
D.A到B過程,小球水平方向的加速度先增加后減小
5.如圖所示,水平面上放置質(zhì)量為M的三角形斜劈,斜劈頂端安裝光滑的定滑輪,細(xì)繩跨過定滑輪分別連接質(zhì)量為m1和m2的物塊.m1在斜面上運(yùn)動(dòng),三角形斜劈保持靜止?fàn)顟B(tài).下列說法中正確的是
A.若m2向下運(yùn)動(dòng),則斜劈受到水平面向左摩擦力
B.若m1沿斜面向下加速運(yùn)動(dòng),則斜劈受到水平面向右的摩擦力
C.若m1沿斜面向下運(yùn)動(dòng),則斜劈受到水平面的支持力大于(m1+ m2+M)g
D.若m2向上運(yùn)動(dòng),則輕繩的拉力一定大于m2g
二、多項(xiàng)選擇題.本題共4小題,每小題4分,共計(jì)16分.每小題有多個(gè)選項(xiàng)符合題意.全部選對(duì)的得4分,選對(duì)但不全的得2分,錯(cuò)選或不答的得0分.
6.木星是太陽(yáng)系中最大的行星,它有眾多衛(wèi)星.觀察測(cè)出:木星繞太陽(yáng)作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r1、 周期為T1;木星的某一衛(wèi)星繞木星作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r2、 周期為T2.已知萬有引力常量為G,則根據(jù)題中給定條件
A.能求出木星的質(zhì)量
B.能求出木星與衛(wèi)星間的萬有引力
C.能求出太陽(yáng)與木星間的萬有引力
D.可以斷定
7.如圖所示,xOy坐標(biāo)平面在豎直面內(nèi),x軸沿水平方向,y軸正方向豎直向上,在圖示空間內(nèi)有垂直于xOy平面的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng).一帶電小球從O點(diǎn)由靜止釋放,運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中曲線.關(guān)于帶電小球的運(yùn)動(dòng),下列說法中正確的是
A.OAB軌跡為半圓
B.小球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)A時(shí)速度最大,且沿水平方向
C.小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒
D.小球在A點(diǎn)時(shí)受到的洛倫茲力與重力大小相等
8.如圖所示,質(zhì)量為M、長(zhǎng)為L的木板置于光滑的水平面上,一質(zhì)量為m的滑塊放置在木板左端,滑塊與木板間滑動(dòng)摩擦力大小為f,用水平的恒定拉力F作用于滑塊.當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到木板右端時(shí),木板在地面上移動(dòng)的距離為s,滑塊速度為v1,木板速度為v2,下列結(jié)論中正確的是
A.上述過程中,F做功大小為
B.其他條件不變的情況下,F越大,滑塊到達(dá)右端所用時(shí)間越長(zhǎng)
C.其他條件不變的情況下,M越大,s越小
D.其他條件不變的情況下,f越大,滑塊與木板間產(chǎn)生的熱量越多
9.如圖所示,兩個(gè)固定的相同細(xì)環(huán)相距一定的距離,同軸放置,O1、O2分別為兩環(huán)的圓心,兩環(huán)分別帶有均勻分布的等量異種電荷.一帶正電的粒子從很遠(yuǎn)處沿軸線飛來并穿過兩環(huán).則在帶電粒子運(yùn)動(dòng)過程中
A.在O1點(diǎn)粒子加速度方向向左
B.從O1到O2過程粒子電勢(shì)能一直增加
C.軸線上O1點(diǎn)右側(cè)存在一點(diǎn),粒子在該點(diǎn)動(dòng)能最小
D.軸線上O1點(diǎn)右側(cè)、O2點(diǎn)左側(cè)都存在場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn),它們關(guān)于O1、O2連線中點(diǎn)對(duì)稱
第Ⅱ卷(非選擇題 共89分)
三、簡(jiǎn)答題:本題分必做題(第lO、11題)和選做題(第12題)兩部分,共計(jì)42分.請(qǐng)將解答填寫在答題卡相應(yīng)的位置.
必做題
10.測(cè)定木塊與長(zhǎng)木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)時(shí),采用如圖所示的裝置,圖中長(zhǎng)木板水平固定.
(1)實(shí)驗(yàn)過程中,電火花計(jì)時(shí)器應(yīng)接在 ▲ (選填“直流”或“交流”)電源上.調(diào)整定滑輪高度,使 ▲ .
(2)已知重力加速度為g,測(cè)得木塊的質(zhì)量為M,砝碼盤和砝碼的總質(zhì)量為m,木塊的加速度為a,則木塊與長(zhǎng)木板間動(dòng)摩擦因數(shù)μ= ▲ .
(3)如圖為木塊在水平木板上帶動(dòng)紙帶運(yùn)動(dòng)打出的一條紙帶的一部分,0、1、2、3、4、5、6為計(jì)數(shù)點(diǎn),相鄰兩計(jì)數(shù)點(diǎn)間還有4個(gè)打點(diǎn)未畫出.從紙帶上測(cè)出x1=3.20cm,x2=4.52cm,x5=8.42cm,x6=9.70cm.則木塊加速度大小a= ▲ m/s2(保留兩位有效數(shù)字).
11.為了測(cè)量某電池的電動(dòng)勢(shì) E(約為3V)和內(nèi)阻 r,可供選擇的器材如下:
A.電流表G1(2mA 100Ω) B.電流表G2(1mA 內(nèi)阻未知)
C.電阻箱R1(0~999.9Ω) D.電阻箱R2(0~9999Ω)
E.滑動(dòng)變阻器R3(0~10Ω 1A) F.滑動(dòng)變阻器R4(0~1000Ω 10mA)
G.定值電阻R0(800Ω 0.1A) H.待測(cè)電池
I.導(dǎo)線、電鍵若干
(1)采用如圖甲所示的電路,測(cè)定電流表G2的內(nèi)阻,得到電流表G1的示數(shù)I1、電流表G2的示數(shù)I2如下表所示:
I1(mA) | 0.40 | 0.81 | 1.20 | 1.59 | 2.00 |
I2(mA) | 0.20 | 0.40 | 0.60 | 0.80 | 1.00 |
根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù),請(qǐng)?jiān)趫D乙坐標(biāo)中描點(diǎn)作出I1—I2圖線.由圖得到電流表G2的內(nèi)阻等于
▲ Ω.
(2)在現(xiàn)有器材的條件下,測(cè)量該電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻,采用如圖丙所示的電路,圖中滑動(dòng)變阻器①應(yīng)該選用給定的器材中 ▲ ,電阻箱②選 ▲ (均填寫器材代號(hào)).
(3)根據(jù)圖丙所示電路,請(qǐng)?jiān)诙D中用筆畫線代替導(dǎo)線,完成實(shí)物電路的連接.
12.選做題(請(qǐng)從A、B和C三小題中選定兩小題作答,并在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)字母后的方框涂滿涂黑.如都作答,則按A、B兩小題評(píng)分.)
A.(選修模塊3-3)(12分)
(1)下列說法中正確的是 ▲
A.液體表面層分子間距離大于液體內(nèi)部分子間距離,液體表面存在張力
B.?dāng)U散運(yùn)動(dòng)就是布朗運(yùn)動(dòng)
C.蔗糖受潮后會(huì)粘在一起,沒有確定的幾何形狀,它是非晶體
D.對(duì)任何一類與熱現(xiàn)象有關(guān)的宏觀自然過程進(jìn)行方向的說明,都可以作為熱力學(xué)第二定律的表述
(2)將1ml的純油酸加到500ml的酒精中,待均勻溶解后,用滴管取1ml油酸酒精溶液,讓其自然滴出,共200滴.現(xiàn)在讓其中一滴落到盛水的淺盤內(nèi),待油膜充分展開后,測(cè)得油膜的面積為200cm2,則估算油酸分子的大小是 ▲ m(保留一位有效數(shù)字).
(3)如圖所示,一直立的汽缸用一質(zhì)量為m的活塞封閉一定量的理想氣體,活塞橫截面積為S,汽缸內(nèi)壁光滑且缸壁是導(dǎo)熱的,開始活塞被固定,打開固定螺栓K,活塞下落,經(jīng)過足夠長(zhǎng)時(shí)間后,活塞停在B點(diǎn),已知AB=h,大氣壓強(qiáng)為p0,重力加速度為g.
①求活塞停在B點(diǎn)時(shí)缸內(nèi)封閉氣體的壓強(qiáng);
②設(shè)周圍環(huán)境溫度保持不變,求整個(gè)過程中通過缸壁傳遞的熱量Q(一定量理想氣體的內(nèi)能僅由溫度決定).
B.(選修模塊3-4)(12分)
(1)下列說法中正確的是 ▲
A.照相機(jī)、攝影機(jī)鏡頭表面涂有增透膜,利用了光的干涉原理
B.光照射遮擋物形成的影輪廓模糊,是光的衍射現(xiàn)象
C.太陽(yáng)光是偏振光
D.為了有效地發(fā)射電磁波,應(yīng)該采用長(zhǎng)波發(fā)射
(2)甲、乙兩人站在地面上時(shí)身高都是L0, 甲、乙分別乘坐速度為0.6c和0.8c(c為光速)的飛船同向運(yùn)動(dòng),如圖所示.此時(shí)乙觀察到甲的身高L ▲ L0;若甲向乙揮手,動(dòng)作時(shí)間為t0,乙觀察到甲動(dòng)作時(shí)間為t1,則t1 ▲ t0(均選填“>”、“ =” 或“<”).
(3)x=0的質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)刻開始振動(dòng),產(chǎn)生的波沿x軸正方向傳播,t1=0.14s時(shí)刻波的圖象如圖所示,質(zhì)點(diǎn)A剛好開始振動(dòng).
①求波在介質(zhì)中的傳播速度;
②求x=4m的質(zhì)點(diǎn)在0.14s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程.
C.(選修模塊3-5)(12分)
(1)下列說法中正確的是 ▲
A.康普頓效應(yīng)進(jìn)一步證實(shí)了光的波動(dòng)特性
B.為了解釋黑體輻射規(guī)律,普朗克提出電磁輻射的能量是量子化的
C.經(jīng)典物理學(xué)不能解釋原子的穩(wěn)定性和原子光譜的分立特征
D.天然放射性元素衰變的快慢與化學(xué)、物理狀態(tài)有關(guān)
(2)是不穩(wěn)定的,能自發(fā)的發(fā)生衰變.
①完成衰變反應(yīng)方程 ▲ .
②衰變?yōu)?img width=40 height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/wl/3/40403.gif" >,經(jīng)過 ▲ 次α衰變, ▲ 次β衰變.
(3)1919年,盧瑟福用α粒子轟擊氮核發(fā)現(xiàn)質(zhì)子.科學(xué)研究表明其核反應(yīng)過程是:α粒子轟擊靜止的氮核后形成了不穩(wěn)定的復(fù)核,復(fù)核發(fā)生衰變放出質(zhì)子,變成氧核.設(shè)α粒子質(zhì)量為m1,初速度為v0,氮核質(zhì)量為m2,質(zhì)子質(zhì)量為m0, 氧核的質(zhì)量為m3,不考慮相對(duì)論效應(yīng).
①α粒子轟擊氮核形成不穩(wěn)定復(fù)核的瞬間,復(fù)核的速度為多大?
②求此過程中釋放的核能.
四、計(jì)算題:本題共3小題,共計(jì)47分.解答時(shí)請(qǐng)寫出必要的文字說明、方程式和重要的演算步驟,只寫出最后答案的不能得分,有數(shù)值計(jì)算的題,答案中必須明確寫出數(shù)值和單位.
13.如圖所示,一質(zhì)量為m的氫氣球用細(xì)繩拴在地面上,地面上空風(fēng)速水平且恒為v0,球靜止時(shí)繩與水平方向夾角為α.某時(shí)刻繩突然斷裂,氫氣球飛走.已知?dú)錃馇蛟诳諝庵羞\(yùn)動(dòng)時(shí)所受到的阻力f正比于其相對(duì)空氣的速度v,可以表示為f=kv(k為已知的常數(shù)).則
(1)氫氣球受到的浮力為多大?
(2)繩斷裂瞬間,氫氣球加速度為多大?
(3)一段時(shí)間后氫氣球在空中做勻速直線運(yùn)動(dòng),其水平方向上的速度與風(fēng)速v0相等,求此時(shí)氣球速度大。ㄔO(shè)空氣密度不發(fā)生變化,重力加速度為g).
14.如圖所示,光滑絕緣水平面上放置一均勻?qū)w制成的正方形線框abcd,線框質(zhì)量為m,電阻為R,邊長(zhǎng)為L.有一方向豎直向下的有界磁場(chǎng),磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,磁場(chǎng)區(qū)寬度大于L,左邊界與ab邊平行.線框在水平向右的拉力作用下垂直于邊界線穿過磁場(chǎng)區(qū).
(1)若線框以速度v勻速穿過磁場(chǎng)區(qū),求線框在離開磁場(chǎng)時(shí)ab兩點(diǎn)間的電勢(shì)差;
(2)若線框從靜止開始以恒定的加速度a運(yùn)動(dòng),經(jīng)過t1時(shí)間ab邊開始進(jìn)入磁場(chǎng),求cd邊將要進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)刻回路的電功率;
(3)若線框以初速度v0進(jìn)入磁場(chǎng),且拉力的功率恒為P0.經(jīng)過時(shí)間T,cd邊進(jìn)入磁場(chǎng),此過程中回路產(chǎn)生的電熱為Q.后來ab邊剛穿出磁場(chǎng)時(shí),線框速度也為v0,求線框穿過磁場(chǎng)所用的時(shí)間t.
15.如圖所示,有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直紙面向里,MN為其左邊界,磁場(chǎng)中放置一半徑為R的圓柱形金屬圓筒,圓心O到MN的距離OO1=2R,圓筒軸線與磁場(chǎng)平行.圓筒用導(dǎo)線通過一個(gè)電阻r0接地,最初金屬圓筒不帶電.現(xiàn)有范圍足夠大的平行電子束以速度v0從很遠(yuǎn)處沿垂直于左邊界MN向右射入磁場(chǎng)區(qū),已知電子質(zhì)量為m,電量為e.
(1)若電子初速度滿足,則在最初圓筒上沒有帶電時(shí),能夠打到圓筒上的電子對(duì)應(yīng)MN邊界上O1兩側(cè)的范圍是多大?
(2)當(dāng)圓筒上電量達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定時(shí),測(cè)量得到通過電阻r0的電流恒為I,忽略運(yùn)動(dòng)電子間的相互作用,求此時(shí)金屬圓筒的電勢(shì)φ和電子到達(dá)圓筒時(shí)速度v(取無窮遠(yuǎn)處或大地電勢(shì)為零).
(3)在(2)的情況下,求金屬圓筒的發(fā)熱功率.
次數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
U/V | 0 | 0.20 | 0.50 | 1.00 | 1.50 | 2.00 | 3.00 |
I/A | 0 | 0.08 | 0.13 | 0.18 | 0.20 | 0.24 | 0.29 |
第八部分 靜電場(chǎng)
第一講 基本知識(shí)介紹
在奧賽考綱中,靜電學(xué)知識(shí)點(diǎn)數(shù)目不算多,總數(shù)和高考考綱基本相同,但在個(gè)別知識(shí)點(diǎn)上,奧賽的要求顯然更加深化了:如非勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)的計(jì)算、電容器的連接和靜電能計(jì)算、電介質(zhì)的極化等。在處理物理問題的方法上,對(duì)無限分割和疊加原理提出了更高的要求。
如果把靜電場(chǎng)的問題分為兩部分,那就是電場(chǎng)本身的問題、和對(duì)場(chǎng)中帶電體的研究,高考考綱比較注重第二部分中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問題,而奧賽考綱更注重第一部分和第二部分中的靜態(tài)問題。也就是說,奧賽關(guān)注的是電場(chǎng)中更本質(zhì)的內(nèi)容,關(guān)注的是縱向的深化和而非橫向的綜合。
一、電場(chǎng)強(qiáng)度
1、實(shí)驗(yàn)定律
a、庫(kù)侖定律
內(nèi)容;
條件:⑴點(diǎn)電荷,⑵真空,⑶點(diǎn)電荷靜止或相對(duì)靜止。事實(shí)上,條件⑴和⑵均不能視為對(duì)庫(kù)侖定律的限制,因?yàn)榀B加原理可以將點(diǎn)電荷之間的靜電力應(yīng)用到一般帶電體,非真空介質(zhì)可以通過介電常數(shù)將k進(jìn)行修正(如果介質(zhì)分布是均勻和“充分寬廣”的,一般認(rèn)為k′= k /εr)。只有條件⑶,它才是靜電學(xué)的基本前提和出發(fā)點(diǎn)(但這一點(diǎn)又是常常被忽視和被不恰當(dāng)?shù)亍熬C合應(yīng)用”的)。
b、電荷守恒定律
c、疊加原理
2、電場(chǎng)強(qiáng)度
a、電場(chǎng)強(qiáng)度的定義
電場(chǎng)的概念;試探電荷(檢驗(yàn)電荷);定義意味著一種適用于任何電場(chǎng)的對(duì)電場(chǎng)的檢測(cè)手段;電場(chǎng)線是抽象而直觀地描述電場(chǎng)有效工具(電場(chǎng)線的基本屬性)。
b、不同電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算
決定電場(chǎng)強(qiáng)弱的因素有兩個(gè):場(chǎng)源(帶電量和帶電體的形狀)和空間位置。這可以從不同電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)決定式看出——
⑴點(diǎn)電荷:E = k
結(jié)合點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)和疊加原理,我們可以求出任何電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng),如——
⑵均勻帶電環(huán),垂直環(huán)面軸線上的某點(diǎn)P:E = ,其中r和R的意義見圖7-1。
⑶均勻帶電球殼
內(nèi)部:E內(nèi) = 0
外部:E外 = k ,其中r指考察點(diǎn)到球心的距離
如果球殼是有厚度的的(內(nèi)徑R1 、外徑R2),在殼體中(R1<r<R2):
E = ,其中ρ為電荷體密度。這個(gè)式子的物理意義可以參照萬有引力定律當(dāng)中(條件部分)的“剝皮法則”理解〔即為圖7-2中虛線以內(nèi)部分的總電量…〕。
⑷無限長(zhǎng)均勻帶電直線(電荷線密度為λ):E =
⑸無限大均勻帶電平面(電荷面密度為σ):E = 2πkσ
二、電勢(shì)
1、電勢(shì):把一電荷從P點(diǎn)移到參考點(diǎn)P0時(shí)電場(chǎng)力所做的功W與該電荷電量q的比值,即
U =
參考點(diǎn)即電勢(shì)為零的點(diǎn),通常取無窮遠(yuǎn)或大地為參考點(diǎn)。
和場(chǎng)強(qiáng)一樣,電勢(shì)是屬于場(chǎng)本身的物理量。W則為電荷的電勢(shì)能。
2、典型電場(chǎng)的電勢(shì)
a、點(diǎn)電荷
以無窮遠(yuǎn)為參考點(diǎn),U = k
b、均勻帶電球殼
以無窮遠(yuǎn)為參考點(diǎn),U外 = k ,U內(nèi) = k
3、電勢(shì)的疊加
由于電勢(shì)的是標(biāo)量,所以電勢(shì)的疊加服從代數(shù)加法。很顯然,有了點(diǎn)電荷電勢(shì)的表達(dá)式和疊加原理,我們可以求出任何電場(chǎng)的電勢(shì)分布。
4、電場(chǎng)力對(duì)電荷做功
WAB = q(UA - UB)= qUAB
三、靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體
靜電感應(yīng)→靜電平衡(狹義和廣義)→靜電屏蔽
1、靜電平衡的特征可以總結(jié)為以下三層含義——
a、導(dǎo)體內(nèi)部的合場(chǎng)強(qiáng)為零;表面的合場(chǎng)強(qiáng)不為零且一般各處不等,表面的合場(chǎng)強(qiáng)方向總是垂直導(dǎo)體表面。
b、導(dǎo)體是等勢(shì)體,表面是等勢(shì)面。
c、導(dǎo)體內(nèi)部沒有凈電荷;孤立導(dǎo)體的凈電荷在表面的分布情況取決于導(dǎo)體表面的曲率。
2、靜電屏蔽
導(dǎo)體殼(網(wǎng)罩)不接地時(shí),可以實(shí)現(xiàn)外部對(duì)內(nèi)部的屏蔽,但不能實(shí)現(xiàn)內(nèi)部對(duì)外部的屏蔽;導(dǎo)體殼(網(wǎng)罩)接地后,既可實(shí)現(xiàn)外部對(duì)內(nèi)部的屏蔽,也可實(shí)現(xiàn)內(nèi)部對(duì)外部的屏蔽。
四、電容
1、電容器
孤立導(dǎo)體電容器→一般電容器
2、電容
a、定義式 C =
b、決定式。決定電容器電容的因素是:導(dǎo)體的形狀和位置關(guān)系、絕緣介質(zhì)的種類,所以不同電容器有不同的電容
⑴平行板電容器 C = = ,其中ε為絕對(duì)介電常數(shù)(真空中ε0 = ,其它介質(zhì)中ε= ),εr則為相對(duì)介電常數(shù),εr = 。
⑵柱形電容器:C =
⑶球形電容器:C =
3、電容器的連接
a、串聯(lián) = +++ … +
b、并聯(lián) C = C1 + C2 + C3 + … + Cn
4、電容器的能量
用圖7-3表征電容器的充電過程,“搬運(yùn)”電荷做功W就是圖中陰影的面積,這也就是電容器的儲(chǔ)能E ,所以
E = q0U0 = C =
電場(chǎng)的能量。電容器儲(chǔ)存的能量究竟是屬于電荷還是屬于電場(chǎng)?正確答案是后者,因此,我們可以將電容器的能量用場(chǎng)強(qiáng)E表示。
對(duì)平行板電容器 E總 = E2
認(rèn)為電場(chǎng)能均勻分布在電場(chǎng)中,則單位體積的電場(chǎng)儲(chǔ)能 w = E2 。而且,這以結(jié)論適用于非勻強(qiáng)電場(chǎng)。
五、電介質(zhì)的極化
1、電介質(zhì)的極化
a、電介質(zhì)分為兩類:無極分子和有極分子,前者是指在沒有外電場(chǎng)時(shí)每個(gè)分子的正、負(fù)電荷“重心”彼此重合(如氣態(tài)的H2 、O2 、N2和CO2),后者則反之(如氣態(tài)的H2O 、SO2和液態(tài)的水硝基笨)
b、電介質(zhì)的極化:當(dāng)介質(zhì)中存在外電場(chǎng)時(shí),無極分子會(huì)變?yōu)橛袠O分子,有極分子會(huì)由原來的雜亂排列變成規(guī)則排列,如圖7-4所示。
2、束縛電荷、自由電荷、極化電荷與宏觀過剩電荷
a、束縛電荷與自由電荷:在圖7-4中,電介質(zhì)左右兩端分別顯現(xiàn)負(fù)電和正電,但這些電荷并不能自由移動(dòng),因此稱為束縛電荷,除了電介質(zhì),導(dǎo)體中的原子核和內(nèi)層電子也是束縛電荷;反之,能夠自由移動(dòng)的電荷稱為自由電荷。事實(shí)上,導(dǎo)體中存在束縛電荷與自由電荷,絕緣體中也存在束縛電荷和自由電荷,只是它們的比例差異較大而已。
b、極化電荷是更嚴(yán)格意義上的束縛電荷,就是指圖7-4中電介質(zhì)兩端顯現(xiàn)的電荷。而宏觀過剩電荷是相對(duì)極化電荷來說的,它是指可以自由移動(dòng)的凈電荷。宏觀過剩電荷與極化電荷的重要區(qū)別是:前者能夠用來沖放電,也能用儀表測(cè)量,但后者卻不能。
第二講 重要模型與專題
一、場(chǎng)強(qiáng)和電場(chǎng)力
【物理情形1】試證明:均勻帶電球殼內(nèi)部任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)均為零。
【模型分析】這是一個(gè)疊加原理應(yīng)用的基本事例。
如圖7-5所示,在球殼內(nèi)取一點(diǎn)P ,以P為頂點(diǎn)做兩個(gè)對(duì)頂?shù)、頂角很小的錐體,錐體與球面相交得到球面上的兩個(gè)面元ΔS1和ΔS2 ,設(shè)球面的電荷面密度為σ,則這兩個(gè)面元在P點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)分別為
ΔE1 = k
ΔE2 = k
為了弄清ΔE1和ΔE2的大小關(guān)系,引進(jìn)錐體頂部的立體角ΔΩ ,顯然
= ΔΩ =
所以 ΔE1 = k ,ΔE2 = k ,即:ΔE1 = ΔE2 ,而它們的方向是相反的,故在P點(diǎn)激發(fā)的合場(chǎng)強(qiáng)為零。
同理,其它各個(gè)相對(duì)的面元ΔS3和ΔS4 、ΔS5和ΔS6 … 激發(fā)的合場(chǎng)強(qiáng)均為零。原命題得證。
【模型變換】半徑為R的均勻帶電球面,電荷的面密度為σ,試求球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。
【解析】如圖7-6所示,在球面上的P處取一極小的面元ΔS ,它在球心O點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)大小為
ΔE = k ,方向由P指向O點(diǎn)。
無窮多個(gè)這樣的面元激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)大小和ΔS激發(fā)的完全相同,但方向各不相同,它們矢量合成的效果怎樣呢?這里我們要大膽地預(yù)見——由于由于在x方向、y方向上的對(duì)稱性,Σ = Σ = 0 ,最后的ΣE = ΣEz ,所以先求
ΔEz = ΔEcosθ= k ,而且ΔScosθ為面元在xoy平面的投影,設(shè)為ΔS′
所以 ΣEz = ΣΔS′
而 ΣΔS′= πR2
【答案】E = kπσ ,方向垂直邊界線所在的平面。
〖學(xué)員思考〗如果這個(gè)半球面在yoz平面的兩邊均勻帶有異種電荷,面密度仍為σ,那么,球心處的場(chǎng)強(qiáng)又是多少?
〖推薦解法〗將半球面看成4個(gè)球面,每個(gè)球面在x、y、z三個(gè)方向上分量均為 kπσ,能夠?qū)ΨQ抵消的將是y、z兩個(gè)方向上的分量,因此ΣE = ΣEx …
〖答案〗大小為kπσ,方向沿x軸方向(由帶正電的一方指向帶負(fù)電的一方)。
【物理情形2】有一個(gè)均勻的帶電球體,球心在O點(diǎn),半徑為R ,電荷體密度為ρ ,球體內(nèi)有一個(gè)球形空腔,空腔球心在O′點(diǎn),半徑為R′,= a ,如圖7-7所示,試求空腔中各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。
【模型分析】這里涉及兩個(gè)知識(shí)的應(yīng)用:一是均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)定式(它也是來自疊加原理,這里具體用到的是球體內(nèi)部的結(jié)論,即“剝皮法則”),二是填補(bǔ)法。
將球體和空腔看成完整的帶正電的大球和帶負(fù)電(電荷體密度相等)的小球的集合,對(duì)于空腔中任意一點(diǎn)P ,設(shè) = r1 , = r2 ,則大球激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)為
E1 = k = kρπr1 ,方向由O指向P
“小球”激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)為
E2 = k = kρπr2 ,方向由P指向O′
E1和E2的矢量合成遵從平行四邊形法則,ΣE的方向如圖。又由于矢量三角形PE1ΣE和空間位置三角形OP O′是相似的,ΣE的大小和方向就不難確定了。
【答案】恒為kρπa ,方向均沿O → O′,空腔里的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)。
〖學(xué)員思考〗如果在模型2中的OO′連線上O′一側(cè)距離O為b(b>R)的地方放一個(gè)電量為q的點(diǎn)電荷,它受到的電場(chǎng)力將為多大?
〖解說〗上面解法的按部就班應(yīng)用…
〖答〗πkρq〔?〕。
二、電勢(shì)、電量與電場(chǎng)力的功
【物理情形1】如圖7-8所示,半徑為R的圓環(huán)均勻帶電,電荷線密度為λ,圓心在O點(diǎn),過圓心跟環(huán)面垂直的軸線上有P點(diǎn), = r ,以無窮遠(yuǎn)為參考點(diǎn),試求P點(diǎn)的電勢(shì)UP 。
【模型分析】這是一個(gè)電勢(shì)標(biāo)量疊加的簡(jiǎn)單模型。先在圓環(huán)上取一個(gè)元段ΔL ,它在P點(diǎn)形成的電勢(shì)
ΔU = k
環(huán)共有段,各段在P點(diǎn)形成的電勢(shì)相同,而且它們是標(biāo)量疊加。
【答案】UP =
〖思考〗如果上題中知道的是環(huán)的總電量Q ,則UP的結(jié)論為多少?如果這個(gè)總電量的分布不是均勻的,結(jié)論會(huì)改變嗎?
〖答〗UP = ;結(jié)論不會(huì)改變。
〖再思考〗將環(huán)換成半徑為R的薄球殼,總電量仍為Q ,試問:(1)當(dāng)電量均勻分布時(shí),球心電勢(shì)為多少?球內(nèi)(包括表面)各點(diǎn)電勢(shì)為多少?(2)當(dāng)電量不均勻分布時(shí),球心電勢(shì)為多少?球內(nèi)(包括表面)各點(diǎn)電勢(shì)為多少?
〖解說〗(1)球心電勢(shì)的求解從略;
球內(nèi)任一點(diǎn)的求解參看圖7-5
ΔU1 = k= k·= kσΔΩ
ΔU2 = kσΔΩ
它們代數(shù)疊加成 ΔU = ΔU1 + ΔU2 = kσΔΩ
而 r1 + r2 = 2Rcosα
所以 ΔU = 2RkσΔΩ
所有面元形成電勢(shì)的疊加 ΣU = 2RkσΣΔΩ
注意:一個(gè)完整球面的ΣΔΩ = 4π(單位:球面度sr),但作為對(duì)頂?shù)腻F角,ΣΔΩ只能是2π ,所以——
ΣU = 4πRkσ= k
(2)球心電勢(shì)的求解和〖思考〗相同;
球內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)求解可以從(1)問的求解過程得到結(jié)論的反證。
〖答〗(1)球心、球內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)均為k ;(2)球心電勢(shì)仍為k ,但其它各點(diǎn)的電勢(shì)將隨電量的分布情況的不同而不同(內(nèi)部不再是等勢(shì)體,球面不再是等勢(shì)面)。
【相關(guān)應(yīng)用】如圖7-9所示,球形導(dǎo)體空腔內(nèi)、外壁的半徑分別為R1和R2 ,帶有凈電量+q ,現(xiàn)在其內(nèi)部距球心為r的地方放一個(gè)電量為+Q的點(diǎn)電荷,試求球心處的電勢(shì)。
【解析】由于靜電感應(yīng),球殼的內(nèi)、外壁形成兩個(gè)帶電球殼。球心電勢(shì)是兩個(gè)球殼形成電勢(shì)、點(diǎn)電荷形成電勢(shì)的合效果。
根據(jù)靜電感應(yīng)的嘗試,內(nèi)壁的電荷量為-Q ,外壁的電荷量為+Q+q ,雖然內(nèi)壁的帶電是不均勻的,根據(jù)上面的結(jié)論,其在球心形成的電勢(shì)仍可以應(yīng)用定式,所以…
【答案】Uo = k - k + k 。
〖反饋練習(xí)〗如圖7-10所示,兩個(gè)極薄的同心導(dǎo)體球殼A和B,半徑分別為RA和RB ,現(xiàn)讓A殼接地,而在B殼的外部距球心d的地方放一個(gè)電量為+q的點(diǎn)電荷。試求:(1)A球殼的感應(yīng)電荷量;(2)外球殼的電勢(shì)。
〖解說〗這是一個(gè)更為復(fù)雜的靜電感應(yīng)情形,B殼將形成圖示的感應(yīng)電荷分布(但沒有凈電量),A殼的情形未畫出(有凈電量),它們的感應(yīng)電荷分布都是不均勻的。
此外,我們還要用到一個(gè)重要的常識(shí):接地導(dǎo)體(A殼)的電勢(shì)為零。但值得注意的是,這里的“為零”是一個(gè)合效果,它是點(diǎn)電荷q 、A殼、B殼(帶同樣電荷時(shí))單獨(dú)存在時(shí)在A中形成的的電勢(shì)的代數(shù)和,所以,當(dāng)我們以球心O點(diǎn)為對(duì)象,有
UO = k + k + k = 0
QB應(yīng)指B球殼上的凈電荷量,故 QB = 0
所以 QA = -q
☆學(xué)員討論:A殼的各處電勢(shì)均為零,我們的方程能不能針對(duì)A殼表面上的某點(diǎn)去列?(答:不能,非均勻帶電球殼的球心以外的點(diǎn)不能應(yīng)用定式。
基于剛才的討論,求B的電勢(shì)時(shí)也只能求B的球心的電勢(shì)(獨(dú)立的B殼是等勢(shì)體,球心電勢(shì)即為所求)——
UB = k + k
〖答〗(1)QA = -q ;(2)UB = k(1-) 。
【物理情形2】圖7-11中,三根實(shí)線表示三根首尾相連的等長(zhǎng)絕緣細(xì)棒,每根棒上的電荷分布情況與絕緣棒都換成導(dǎo)體棒時(shí)完全相同。點(diǎn)A是Δabc的中心,點(diǎn)B則與A相對(duì)bc棒對(duì)稱,且已測(cè)得它們的電勢(shì)分別為UA和UB 。試問:若將ab棒取走,A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)將變?yōu)槎嗌伲?/p>
【模型分析】由于細(xì)棒上的電荷分布既不均勻、三根細(xì)棒也沒有構(gòu)成環(huán)形,故前面的定式不能直接應(yīng)用。若用元段分割→疊加,也具有相當(dāng)?shù)睦щy。所以這里介紹另一種求電勢(shì)的方法。
每根細(xì)棒的電荷分布雖然復(fù)雜,但相對(duì)各自的中點(diǎn)必然是對(duì)稱的,而且三根棒的總電量、分布情況彼此必然相同。這就意味著:①三棒對(duì)A點(diǎn)的電勢(shì)貢獻(xiàn)都相同(可設(shè)為U1);②ab棒、ac棒對(duì)B點(diǎn)的電勢(shì)貢獻(xiàn)相同(可設(shè)為U2);③bc棒對(duì)A、B兩點(diǎn)的貢獻(xiàn)相同(為U1)。
所以,取走ab前 3U1 = UA
2U2 + U1 = UB
取走ab后,因三棒是絕緣體,電荷分布不變,故電勢(shì)貢獻(xiàn)不變,所以
UA′= 2U1
UB′= U1 + U2
【答案】UA′= UA ;UB′= UA + UB 。
〖模型變換〗正四面體盒子由彼此絕緣的四塊導(dǎo)體板構(gòu)成,各導(dǎo)體板帶電且電勢(shì)分別為U1 、U2 、U3和U4 ,則盒子中心點(diǎn)O的電勢(shì)U等于多少?
〖解說〗此處的四塊板子雖然位置相對(duì)O點(diǎn)具有對(duì)稱性,但電量各不相同,因此對(duì)O點(diǎn)的電勢(shì)貢獻(xiàn)也不相同,所以應(yīng)該想一點(diǎn)辦法——
我們用“填補(bǔ)法”將電量不對(duì)稱的情形加以改觀:先將每一塊導(dǎo)體板復(fù)制三塊,作成一個(gè)正四面體盒子,然后將這四個(gè)盒子位置重合地放置——構(gòu)成一個(gè)有四層壁的新盒子。在這個(gè)新盒子中,每個(gè)壁的電量將是完全相同的(為原來四塊板的電量之和)、電勢(shì)也完全相同(為U1 + U2 + U3 + U4),新盒子表面就構(gòu)成了一個(gè)等勢(shì)面、整個(gè)盒子也是一個(gè)等勢(shì)體,故新盒子的中心電勢(shì)為
U′= U1 + U2 + U3 + U4
最后回到原來的單層盒子,中心電勢(shì)必為 U = U′
〖答〗U = (U1 + U2 + U3 + U4)。
☆學(xué)員討論:剛才的這種解題思想是否適用于“物理情形2”?(答:不行,因?yàn)槿切胃鬟吷想妱?shì)雖然相等,但中點(diǎn)的電勢(shì)和邊上的并不相等。)
〖反饋練習(xí)〗電荷q均勻分布在半球面ACB上,球面半徑為R ,CD為通過半球頂點(diǎn)C和球心O的軸線,如圖7-12所示。P、Q為CD軸線上相對(duì)O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),已知P點(diǎn)的電勢(shì)為UP ,試求Q點(diǎn)的電勢(shì)UQ 。
〖解說〗這又是一個(gè)填補(bǔ)法的應(yīng)用。將半球面補(bǔ)成完整球面,并令右邊內(nèi)、外層均勻地帶上電量為q的電荷,如圖7-12所示。
從電量的角度看,右半球面可以看作不存在,故這時(shí)P、Q的電勢(shì)不會(huì)有任何改變。
而換一個(gè)角度看,P、Q的電勢(shì)可以看成是兩者的疊加:①帶電量為2q的完整球面;②帶電量為-q的半球面。
考查P點(diǎn),UP = k + U半球面
其中 U半球面顯然和為填補(bǔ)時(shí)Q點(diǎn)的電勢(shì)大小相等、符號(hào)相反,即 U半球面= -UQ
以上的兩個(gè)關(guān)系已經(jīng)足以解題了。
〖答〗UQ = k - UP 。
【物理情形3】如圖7-13所示,A、B兩點(diǎn)相距2L ,圓弧是以B為圓心、L為半徑的半圓。A處放有電量為q的電荷,B處放有電量為-q的點(diǎn)電荷。試問:(1)將單位正電荷從O點(diǎn)沿移到D點(diǎn),電場(chǎng)力對(duì)它做了多少功?(2)將單位負(fù)電荷從D點(diǎn)沿AB的延長(zhǎng)線移到無窮遠(yuǎn)處去,電場(chǎng)力對(duì)它做多少功?
【模型分析】電勢(shì)疊加和關(guān)系WAB = q(UA - UB)= qUAB的基本應(yīng)用。
UO = k + k = 0
UD = k + k = -
U∞ = 0
再用功與電勢(shì)的關(guān)系即可。
【答案】(1);(2)。
【相關(guān)應(yīng)用】在不計(jì)重力空間,有A、B兩個(gè)帶電小球,電量分別為q1和q2 ,質(zhì)量分別為m1和m2 ,被固定在相距L的兩點(diǎn)。試問:(1)若解除A球的固定,它能獲得的最大動(dòng)能是多少?(2)若同時(shí)解除兩球的固定,它們各自的獲得的最大動(dòng)能是多少?(3)未解除固定時(shí),這個(gè)系統(tǒng)的靜電勢(shì)能是多少?
【解說】第(1)問甚間;第(2)問在能量方面類比反沖裝置的能量計(jì)算,另啟用動(dòng)量守恒關(guān)系;第(3)問是在前兩問基礎(chǔ)上得出的必然結(jié)論…(這里就回到了一個(gè)基本的觀念斧正:勢(shì)能是屬于場(chǎng)和場(chǎng)中物體的系統(tǒng),而非單純屬于場(chǎng)中物體——這在過去一直是被忽視的。在兩個(gè)點(diǎn)電荷的環(huán)境中,我們通常說“兩個(gè)點(diǎn)電荷的勢(shì)能”是多少。)
【答】(1)k;(2)Ek1 = k ,Ek2 = k;(3)k 。
〖思考〗設(shè)三個(gè)點(diǎn)電荷的電量分別為q1 、q2和q3 ,兩兩相距為r12 、r23和r31 ,則這個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)的靜電勢(shì)能是多少?
〖解〗略。
〖答〗k(++)。
〖反饋應(yīng)用〗如圖7-14所示,三個(gè)帶同種電荷的相同金屬小球,每個(gè)球的質(zhì)量均為m 、電量均為q ,用長(zhǎng)度為L(zhǎng)的三根絕緣輕繩連接著,系統(tǒng)放在光滑、絕緣的水平面上,F(xiàn)將其中的一根繩子剪斷,三個(gè)球?qū)㈤_始運(yùn)動(dòng)起來,試求中間這個(gè)小球的最大速度。
〖解〗設(shè)剪斷的是1、3之間的繩子,動(dòng)力學(xué)分析易知,2球獲得最大動(dòng)能時(shí),1、2之間的繩子與2、3之間的繩子剛好應(yīng)該在一條直線上。而且由動(dòng)量守恒知,三球不可能有沿繩子方向的速度。設(shè)2球的速度為v ,1球和3球的速度為v′,則
動(dòng)量關(guān)系 mv + 2m v′= 0
能量關(guān)系 3k = 2 k + k + mv2 + 2m
解以上兩式即可的v值。
〖答〗v = q 。
三、電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)
【物理情形】?jī)蓧K平行放置的很大的金屬薄板A和B,面積都是S ,間距為d(d遠(yuǎn)小于金屬板的線度),已知A板帶凈電量+Q1 ,B板帶盡電量+Q2 ,且Q2<Q1 ,試求:(1)兩板內(nèi)外表面的電量分別是多少;(2)空間各處的場(chǎng)強(qiáng);(3)兩板間的電勢(shì)差。
【模型分析】由于靜電感應(yīng),A、B兩板的四個(gè)平面的電量將呈現(xiàn)一定規(guī)律的分布(金屬板雖然很薄,但內(nèi)部合場(chǎng)強(qiáng)為零的結(jié)論還是存在的);這里應(yīng)注意金屬板“很大”的前提條件,它事實(shí)上是指物理無窮大,因此,可以應(yīng)用無限大平板的場(chǎng)強(qiáng)定式。
為方便解題,做圖7-15,忽略邊緣效應(yīng),四個(gè)面的電荷分布應(yīng)是均勻的,設(shè)四個(gè)面的電荷面密度分別為σ1 、σ2 、σ3和σ4 ,顯然
(σ1 + σ2)S = Q1
(σ3 + σ4)S = Q2
A板內(nèi)部空間場(chǎng)強(qiáng)為零,有 2πk(σ1 ? σ2 ? σ3 ? σ4)= 0
A板內(nèi)部空間場(chǎng)強(qiáng)為零,有 2πk(σ1 + σ2 + σ3 ? σ4)= 0
解以上四式易得 σ1 = σ4 =
σ2 = ?σ3 =
有了四個(gè)面的電荷密度,Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ空間的場(chǎng)強(qiáng)就好求了〔如EⅡ =2πk(σ1 + σ2 ? σ3 ? σ4)= 2πk〕。
最后,UAB = EⅡd
【答案】(1)A板外側(cè)電量、A板內(nèi)側(cè)電量,B板內(nèi)側(cè)電量?、B板外側(cè)電量;(2)A板外側(cè)空間場(chǎng)強(qiáng)2πk,方向垂直A板向外,A、B板之間空間場(chǎng)強(qiáng)2πk,方向由A垂直指向B,B板外側(cè)空間場(chǎng)強(qiáng)2πk,方向垂直B板向外;(3)A、B兩板的電勢(shì)差為2πkd,A板電勢(shì)高。
〖學(xué)員思考〗如果兩板帶等量異號(hào)的凈電荷,兩板的外側(cè)空間場(chǎng)強(qiáng)等于多少?(答:為零。)
〖學(xué)員討論〗(原模型中)作為一個(gè)電容器,它的“電量”是多少(答:)?如果在板間充滿相對(duì)介電常數(shù)為εr的電介質(zhì),是否會(huì)影響四個(gè)面的電荷分布(答:不會(huì))?是否會(huì)影響三個(gè)空間的場(chǎng)強(qiáng)(答:只會(huì)影響Ⅱ空間的場(chǎng)強(qiáng))?
〖學(xué)員討論〗(原模型中)我們是否可以求出A、B兩板之間的靜電力?〔答:可以;以A為對(duì)象,外側(cè)受力·(方向相左),內(nèi)側(cè)受力·(方向向右),它們合成即可,結(jié)論為F = Q1Q2 ,排斥力。〕
【模型變換】如圖7-16所示,一平行板電容器,極板面積為S ,其上半部為真空,而下半部充滿相對(duì)介電常數(shù)為εr的均勻電介質(zhì),當(dāng)兩極板分別帶上+Q和?Q的電量后,試求:(1)板上自由電荷的分布;(2)兩板之間的場(chǎng)強(qiáng);(3)介質(zhì)表面的極化電荷。
【解說】電介質(zhì)的充入雖然不能改變內(nèi)表面的電量總數(shù),但由于改變了場(chǎng)強(qiáng),故對(duì)電荷的分布情況肯定有影響。設(shè)真空部分電量為Q1 ,介質(zhì)部分電量為Q2 ,顯然有
Q1 + Q2 = Q
兩板分別為等勢(shì)體,將電容器看成上下兩個(gè)電容器的并聯(lián),必有
U1 = U2 即 = ,即 =
解以上兩式即可得Q1和Q2 。
場(chǎng)強(qiáng)可以根據(jù)E = 關(guān)系求解,比較常規(guī)(上下部分的場(chǎng)強(qiáng)相等)。
上下部分的電量是不等的,但場(chǎng)強(qiáng)居然相等,這怎么解釋?從公式的角度看,E = 2πkσ(單面平板),當(dāng)k 、σ同時(shí)改變,可以保持E不變,但這是一種結(jié)論所展示的表象。從內(nèi)在的角度看,k的改變正是由于極化電荷的出現(xiàn)所致,也就是說,極化電荷的存在相當(dāng)于在真空中形成了一個(gè)新的電場(chǎng),正是這個(gè)電場(chǎng)與自由電荷(在真空中)形成的電場(chǎng)疊加成為E2 ,所以
E2 = 4πk(σ ? σ′)= 4πk( ? )
請(qǐng)注意:①這里的σ′和Q′是指極化電荷的面密度和總量;② E = 4πkσ的關(guān)系是由兩個(gè)帶電面疊加的合效果。
【答案】(1)真空部分的電量為Q ,介質(zhì)部分的電量為Q ;(2)整個(gè)空間的場(chǎng)強(qiáng)均為 ;(3)Q 。
〖思考應(yīng)用〗一個(gè)帶電量為Q的金屬小球,周圍充滿相對(duì)介電常數(shù)為εr的均勻電介質(zhì),試求與與導(dǎo)體表面接觸的介質(zhì)表面的極化電荷量。
〖解〗略。
〖答〗Q′= Q 。
四、電容器的相關(guān)計(jì)算
【物理情形1】由許多個(gè)電容為C的電容器組成一個(gè)如圖7-17所示的多級(jí)網(wǎng)絡(luò),試問:(1)在最后一級(jí)的右邊并聯(lián)一個(gè)多大電容C′,可使整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的A、B兩端電容也為C′?(2)不接C′,但無限地增加網(wǎng)絡(luò)的級(jí)數(shù),整個(gè)網(wǎng)絡(luò)A、B兩端的總電容是多少?
【模型分析】這是一個(gè)練習(xí)電容電路簡(jiǎn)化基本事例。
第(1)問中,未給出具體級(jí)數(shù),一般結(jié)論應(yīng)適用特殊情形:令級(jí)數(shù)為1 ,于是
+ = 解C′即可。
第(2)問中,因?yàn)椤盁o限”,所以“無限加一級(jí)后仍為無限”,不難得出方程
+ =
【答案】(1)C ;(2)C 。
【相關(guān)模型】在圖7-18所示的電路中,已知C1 = C2 = C3 = C9 = 1μF ,C4 = C5 = C6 = C7 = 2μF ,C8 = C10 = 3μF ,試求A、B之間的等效電容。
【解說】對(duì)于既非串聯(lián)也非并聯(lián)的電路,需要用到一種“Δ→Y型變換”,參見圖7-19,根據(jù)三個(gè)端點(diǎn)之間的電容等效,容易得出定式——
Δ→Y型:Ca =
Cb =
Cc =
Y→Δ型:C1 =
C2 =
C3 =
有了這樣的定式后,我們便可以進(jìn)行如圖7-20所示的四步電路簡(jiǎn)化(為了方便,電容不宜引進(jìn)新的符號(hào)表達(dá),而是直接將變換后的量值標(biāo)示在圖中)——
【答】約2.23μF 。
【物理情形2】如圖7-21所示的電路中,三個(gè)電容器完全相同,電源電動(dòng)勢(shì)ε1 = 3.0V ,ε2 = 4.5V,開關(guān)K1和K2接通前電容器均未帶電,試求K1和K2接通后三個(gè)電容器的電壓Uao 、Ubo和Uco各為多少。
【解說】這是一個(gè)考查電容器電路的基本習(xí)題,解題的關(guān)鍵是要抓與o相連的三塊極板(俗稱“孤島”)的總電量為零。
電量關(guān)系:++= 0
電勢(shì)關(guān)系:ε1 = Uao + Uob = Uao ? Ubo
ε2 = Ubo + Uoc = Ubo ? Uco
解以上三式即可。
【答】Uao = 3.5V ,Ubo = 0.5V ,Uco = ?4.0V 。
【伸展應(yīng)用】如圖7-22所示,由n個(gè)單元組成的電容器網(wǎng)絡(luò),每一個(gè)單元由三個(gè)電容器連接而成,其中有兩個(gè)的電容為3C ,另一個(gè)的電容為3C 。以a、b為網(wǎng)絡(luò)的輸入端,a′、b′為輸出端,今在a、b間加一個(gè)恒定電壓U ,而在a′b′間接一個(gè)電容為C的電容器,試求:(1)從第k單元輸入端算起,后面所有電容器儲(chǔ)存的總電能;(2)若把第一單元輸出端與后面斷開,再除去電源,并把它的輸入端短路,則這個(gè)單元的三個(gè)電容器儲(chǔ)存的總電能是多少?
【解說】這是一個(gè)結(jié)合網(wǎng)絡(luò)計(jì)算和“孤島現(xiàn)象”的典型事例。
(1)類似“物理情形1”的計(jì)算,可得 C總 = Ck = C
所以,從輸入端算起,第k單元后的電壓的經(jīng)驗(yàn)公式為 Uk =
再算能量?jī)?chǔ)存就不難了。
(2)斷開前,可以算出第一單元的三個(gè)電容器、以及后面“系統(tǒng)”的電量分配如圖7-23中的左圖所示。這時(shí),C1的右板和C2的左板(或C2的下板和C3的右板)形成“孤島”。此后,電容器的相互充電過程(C3類比為“電源”)滿足——
電量關(guān)系:Q1′= Q3′
Q2′+ Q3′=
電勢(shì)關(guān)系:+ =
從以上三式解得 Q1′= Q3′= ,Q2′= ,這樣系統(tǒng)的儲(chǔ)能就可以用得出了。
【答】(1)Ek = ;(2) 。
〖學(xué)員思考〗圖7-23展示的過程中,始末狀態(tài)的電容器儲(chǔ)能是否一樣?(答:不一樣;在相互充電的過程中,導(dǎo)線消耗的焦耳熱已不可忽略。)
☆第七部分完☆
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