(Ⅰ)試判斷函數(shù)在[1.3]上是不是有界函數(shù)?請給出證明, 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),且對任意的正實(shí)數(shù)x,y,均有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1,且當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0.
(1)求f(
1
2
)
的值,試判斷y=f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并加以證明;
(2)一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an},它的前n項(xiàng)和是Sn,若a1=3,且f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1(n≥2,n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,是否存在實(shí)數(shù)M,使2na1a2an≥M•
2n+3
•(2a1-1)•(2a2-1)…(2an-1)
對于一切正整數(shù)n均成立?若存在,求出M的范圍;若不存在,請說明理由.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x-
ax

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)若a=-9,試證明函數(shù)f(x)在[3,+∞]是單調(diào)遞增函數(shù);
(3)若不等式f(x)≥1在x∈(0,2]上恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x<0時(shí),0<f(x)<1,且對于任意的實(shí)數(shù)x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y).
(1)求f(0);
(2)試判斷函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是否存在最小值,若存在,求該最小值;若不存在,說明理由;
(3)設(shè)數(shù)列{an}各項(xiàng)都是正數(shù),且滿足a1=f(0),f(
a
2
n+1
-
a
2
n
)=
1
f(-an+1-an)
(n∈N*),又設(shè)bn=(
1
2
)an
,Sn=b1+b2+…+bn,Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
,當(dāng)n≥2時(shí),試比較Sn與Tn的大小,并說明理由.

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設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).
(1)求k值;
(2)若f(1)<0,試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的t的取值范圍;
(3)若f(1)=,且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值為-2,求m的值.

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設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).
(1)求k值;
(2)若f(1)<0,試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的t的取值范圍;
(3)若f(1)=,且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值為-2,求m的值.

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一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)

1.B   2. C  3. D    4.C   5.B   6.D   7.A   8. B.

 

二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)

9.; 10.(-1,2); 11.0;  12.(或);

13.(1);(2)16;(3).

三、解答題(本大題共6小題,共80分)

14.(本小題滿分12分)

解:(Ⅰ)∵

當(dāng)時(shí),其圖象如右圖所示.---4分

(Ⅱ)函數(shù)的最小正周期是,其單調(diào)遞增區(qū)間是;由圖象可以看出,當(dāng)時(shí),該函數(shù)的最大值是.--------------7分

(Ⅲ)若x是△ABC的一個(gè)內(nèi)角,則有,∴

,得

 ∴ ,,故△ABC為直角三角形. --------------12分

15.(本小題滿分12分)

解:(Ⅰ)

       --------6分

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),

 ----------12分

 

16.(本小題滿分14分)

解:(Ⅰ)該幾何體的直觀圖如圖1所示,它是有一條

側(cè)棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長為6的

正方形,高為CC1=6,故所求體積是

       ------------------------4分

 (Ⅱ)依題意,正方體的體積是原四棱錐體積的3倍,

故用3個(gè)這樣的四棱錐可以拼成一個(gè)棱長為6的正方體,

其拼法如圖2所示. ------------------------6分

   證明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的

正方形,于是

  故所拼圖形成立.---8分

(Ⅲ)方法一:設(shè)B1E,BC的延長線交于點(diǎn)G,

 連結(jié)GA,在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG,垂足為H,

連結(jié)HB1,則B1H⊥AG,故∠B1HB為平面AB1E與

平面ABC所成二面角或其補(bǔ)角的平面角. --------10分

  在Rt△ABG中,,則

,,

,故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.---14分

   方法二:以C為原點(diǎn),CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系(如圖3),∵正方體棱長為6,則E(0,0,3),B1(0,6,6),A(6,6,0).

 設(shè)向量n=(x,y,z),滿足n⊥,n⊥,

于是,解得.       --------------------12分

  取z=2,得n=(2,-1,2). 又(0,0,6),

故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為. ----------------14分

 

17.(本小題滿分14分)

解:分別記該考生考上第1、2、3批分?jǐn)?shù)線為事件A、B、C,被相應(yīng)志愿錄取為事件Ai、Bi、Ci,(i=a、b), 則以上各事件相互獨(dú)立.  -------------------------------------2分

(Ⅰ)“該考生被第2批b志愿錄取”包括上第1批分?jǐn)?shù)線和僅上第2批分?jǐn)?shù)線兩種情況,故所求概率為

     

.  -----------------------------------------------------------------------------------6分

(Ⅱ)設(shè)該考生所報(bào)志愿均未錄取的概率為,則

           

          

         .

     ∴該考生能被錄取的概率為. ------------10分

    表 二

    批次

    a

    b

    第2批

    0.9

    0.05

    第3批

    0.048

    0.0020

    從表中可以看出,該考生被第2批a志愿錄取的概率最大,故最有可能在第2批a志愿被錄取. ------14分

     

    18.(本小題滿分14分)

    解:(Ⅰ)∵,當(dāng)時(shí),.

         ∴在[1,3]上是增函數(shù).---------------------------------3分

         ∴當(dāng)時(shí),,即 -2≤≤26.

          ∴存在常數(shù)M=26,使得,都有≤M成立.

           故函數(shù)是[1,3]上的有界函數(shù).---------------------------6分

    (Ⅱ)∵. 由≤1,得≤1

       ∴ 

           令,則.

          當(dāng)時(shí),有,

    在[0,+∞上單調(diào)遞減.   -------------------------------10分

    故當(dāng)t=0 時(shí),有;

    ,當(dāng)t→+∞時(shí),→0,

    ,從而有≤0,且.  ∴0≤a≤1;                               故所求a的取值范圍為0≤a≤1.---------------------------------------------14分

     

    19.(本小題滿分14分)

    解:(Ⅰ)易知,橢圓的半焦距為:,

     又拋物線的準(zhǔn)線為:.

    設(shè)雙曲線M的方程為,依題意有,

    ,又.

    ∴雙曲線M的方程為. ------------------------4分

    (Ⅱ)設(shè)直線與雙曲線M的交點(diǎn)為、兩點(diǎn)

    聯(lián)立方程組 消去y得  ,

    、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個(gè)不同實(shí)根, ∴

    ,從而有

    ,.

    ,

    .

    ① 若,則有 ,即 .

    ∴當(dāng)時(shí),使得. -----------------------------8分

    ② 若存在實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱,則必有

    因此,當(dāng)m=0時(shí),不存在滿足條件的k;------------------------------------10分

    當(dāng)時(shí),由

      

    ∵A、B中點(diǎn)在直線上,

    代入上式得

    ;又, ∴

    代入并注意到,得 .

    ∴當(dāng)時(shí),存在實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱.--14分

    如上各題若有其它解法,請?jiān)u卷老師酌情給分.

     

     

     

     


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