題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)已知函數(shù)
(I)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(Ⅲ)求證:解:(1),其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052512313679685506/SYS201205251234077812428021_ST.files/image007.png">,則令,
則,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),
在(0,1)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
即當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值. (3分)
函數(shù)在區(qū)間上存在極值,
,解得 (4分)
(2)不等式,即
令
(6分)
令,則,
,即在上單調(diào)遞增, (7分)
,從而,故在上單調(diào)遞增, (7分)
(8分)
(3)由(2)知,當(dāng)時(shí),恒成立,即,
令,則, (9分)
(10分)
以上各式相加得,
即,
即
(12分)
。
已知函數(shù)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;
(Ⅲ)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上?說(shuō)明理由.
【解析】第一問當(dāng)時(shí),,則。
依題意得:,即 解得
第二問當(dāng)時(shí),,令得,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;
若方程(*)無(wú)解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則。
依題意得:,即 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當(dāng)時(shí),,令得
當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:
0 |
|||||
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
又,,。∴在上的最大值為2.
②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0;
當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增!在最大值為。
綜上,當(dāng)時(shí),即時(shí),在區(qū)間上的最大值為2;
當(dāng)時(shí),即時(shí),在區(qū)間上的最大值為。
(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;
若方程(*)無(wú)解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若,則代入(*)式得:
即,而此方程無(wú)解,因此。此時(shí),
代入(*)式得: 即 (**)
令 ,則
∴在上單調(diào)遞增, ∵ ∴,∴的取值范圍是。
∴對(duì)于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上
已知是公差為d的等差數(shù)列,是公比為q的等比數(shù)列
(Ⅰ)若 ,是否存在,有?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若(a、q為常數(shù),且aq0)對(duì)任意m存在k,有,試求a、q滿足的充要條件;
(Ⅲ)若試確定所有的p,使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)p項(xiàng)的和式數(shù)列中的一項(xiàng),請(qǐng)證明.
【解析】第一問中,由得,整理后,可得、,為整數(shù)不存在、,使等式成立。
(2)中當(dāng)時(shí),則
即,其中是大于等于的整數(shù)
反之當(dāng)時(shí),其中是大于等于的整數(shù),則,
顯然,其中
、滿足的充要條件是,其中是大于等于的整數(shù)
(3)中設(shè)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),式不成立。由式得,整理
當(dāng)時(shí),符合題意。當(dāng),為奇數(shù)時(shí),
結(jié)合二項(xiàng)式定理得到結(jié)論。
解(1)由得,整理后,可得、,為整數(shù)不存在、,使等式成立。
(2)當(dāng)時(shí),則即,其中是大于等于的整數(shù)反之當(dāng)時(shí),其中是大于等于的整數(shù),則,
顯然,其中
、滿足的充要條件是,其中是大于等于的整數(shù)
(3)設(shè)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),式不成立。由式得,整理
當(dāng)時(shí),符合題意。當(dāng),為奇數(shù)時(shí),
由,得
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),此時(shí),一定有和使上式一定成立。當(dāng)為奇數(shù)時(shí),命題都成立
在中,滿足,是邊上的一點(diǎn).
(Ⅰ)若,求向量與向量夾角的正弦值;
(Ⅱ)若,=m (m為正常數(shù)) 且是邊上的三等分點(diǎn).,求值;
(Ⅲ)若且求的最小值。
【解析】第一問中,利用向量的數(shù)量積設(shè)向量與向量的夾角為,則
令=,得,又,則為所求
第二問因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912192026514838/SYS201207091220070463574796_ST.files/image008.png">,=m所以,
(1)當(dāng)時(shí),則=
(2)當(dāng)時(shí),則=
第三問中,解:設(shè),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912192026514838/SYS201207091220070463574796_ST.files/image029.png">,;
所以即于是得
從而
運(yùn)用三角函數(shù)求解。
(Ⅰ)解:設(shè)向量與向量的夾角為,則
令=,得,又,則為所求……………2分
(Ⅱ)解:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912192026514838/SYS201207091220070463574796_ST.files/image008.png">,=m所以,
(1)當(dāng)時(shí),則=;-2分
(2)當(dāng)時(shí),則=;--2分
(Ⅲ)解:設(shè),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912192026514838/SYS201207091220070463574796_ST.files/image029.png">,;
所以即于是得
從而---2分
==
=…………………………………2分
令,則,則函數(shù),在遞減,在上遞增,所以從而當(dāng)時(shí),
設(shè)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上的個(gè)不同的點(diǎn)().
(1) 當(dāng)時(shí),試寫出拋物線上的三個(gè)定點(diǎn)、、的坐標(biāo),從而使得
;
(2)當(dāng)時(shí),若,
求證:;
(3) 當(dāng)時(shí),某同學(xué)對(duì)(2)的逆命題,即:
“若,則.”
開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請(qǐng)你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開展研究:
① 試構(gòu)造一個(gè)說(shuō)明該逆命題確實(shí)是假命題的反例(本研究方向最高得4分);
② 對(duì)任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說(shuō)明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真,請(qǐng)寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件,并說(shuō)明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).
【評(píng)分說(shuō)明】本小題若填空不止一個(gè)研究方向,則以實(shí)得分最高的一個(gè)研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問利用拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè),
分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得到
第二問設(shè),分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得
第三問中①取時(shí),拋物線的焦點(diǎn)為,
設(shè),分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
,
則,不妨取;;;
解:(1)拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè),
分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image010.png">,所以,
故可取滿足條件.
(2)設(shè),分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image017.png">
;
所以.
(3) ①取時(shí),拋物線的焦點(diǎn)為,
設(shè),分別過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
,
則,不妨取;;;,
則,
.
故,,,是一個(gè)當(dāng)時(shí),該逆命題的一個(gè)反例.(反例不唯一)
② 設(shè),分別過(guò)作
拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,
由及拋物線的定義得
,即.
因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無(wú)關(guān),所以只要將這點(diǎn)都取在軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則
,
而,所以.
(說(shuō)明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個(gè)不同的點(diǎn),均為反例.)
③ 補(bǔ)充條件1:“點(diǎn)的縱坐標(biāo)()滿足 ”,即:
“當(dāng)時(shí),若,且點(diǎn)的縱坐標(biāo)()滿足,則”.此命題為真.事實(shí)上,設(shè),
分別過(guò)作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,由,
及拋物線的定義得,即,則
,
又由,所以,故命題為真.
補(bǔ)充條件2:“點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù),關(guān)于軸對(duì)稱”,即:
“當(dāng)時(shí),若,且點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù),關(guān)于軸對(duì)稱,則”.此命題為真.(證略)
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