題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線 在點(diǎn) 處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對任意 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問中,利用當(dāng)時(shí),.
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即即可。
Ⅰ)當(dāng)時(shí),.
,
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">,所以恒成立,
故在上單調(diào)遞增, ……12分
要使恒成立,則,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)當(dāng)時(shí),在上恒成立,
故在上單調(diào)遞增,
即. ……10分
(2)當(dāng)時(shí),令,對稱軸,
則在上單調(diào)遞增,又
① 當(dāng),即時(shí),在上恒成立,
所以在單調(diào)遞增,
即,不合題意,舍去
②當(dāng)時(shí),, 不合題意,舍去 14分
綜上所述:
(本小題滿分12分)已知函數(shù)
(I)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(Ⅲ)求證:解:(1),其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052512313679685506/SYS201205251234077812428021_ST.files/image007.png">,則令,
則,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),
在(0,1)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
即當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值. (3分)
函數(shù)在區(qū)間上存在極值,
,解得 (4分)
(2)不等式,即
令
(6分)
令,則,
,即在上單調(diào)遞增, (7分)
,從而,故在上單調(diào)遞增, (7分)
(8分)
(3)由(2)知,當(dāng)時(shí),恒成立,即,
令,則, (9分)
(10分)
以上各式相加得,
即,
即
(12分)
。
稱一個(gè)函數(shù)是“好函數(shù)”當(dāng)且僅當(dāng)其滿足:定義在上;存在,使其在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則以下函數(shù)是“好函數(shù)”的有 .
?;?;?;④
(本題滿分14分)已知函數(shù).
(1)若使,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),且在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
已知函數(shù).
(Ⅰ)若在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增,求的范圍;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)使在上單調(diào)遞減.若存在求出的范圍,若不存在說明理由.
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