題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù),.
(Ⅰ)若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍;
(Ⅱ)若存在實(shí)數(shù),使對(duì)任意的,不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.
【解析】第一問(wèn)中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點(diǎn)可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根來(lái)分析求解。
第二問(wèn)中,利用存在實(shí)數(shù),使對(duì)任意的,不等式 恒成立轉(zhuǎn)化為,恒成立,分離參數(shù)法求解得到范圍。
解:(1)
①
(2)不等式 ,即,即.
轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù),使對(duì)任意的,不等式恒成立.
即不等式在上恒成立.
即不等式在上恒成立.
設(shè),則.
設(shè),則,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911530204634527/SYS201207091153477963415106_ST.files/image016.png">,有.
故在區(qū)間上是減函數(shù)。又
故存在,使得.
當(dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有.
從而在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.
又[來(lái)源:]
所以當(dāng)時(shí),恒有;當(dāng)時(shí),恒有;
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5
已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列,公差為d,為其前n項(xiàng)和,且滿足,.?dāng)?shù)列滿足,,為數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和;
(2)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列?若存在,求出所有的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】第一問(wèn)利用在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,, [
又時(shí),滿足,
,
第二問(wèn),①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
,等號(hào)在n=2時(shí)取得.
此時(shí) 需滿足.
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
是隨n的增大而增大, n=1時(shí)取得最小值-6.
此時(shí) 需滿足.
第三問(wèn),
若成等比數(shù)列,則,
即.
由,可得,即,
.
(1)(法一)在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,, [
又時(shí),滿足,
,
.
(2)①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
,等號(hào)在n=2時(shí)取得.
此時(shí) 需滿足.
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
是隨n的增大而增大, n=1時(shí)取得最小值-6.
此時(shí) 需滿足.
綜合①、②可得的取值范圍是.
(3),
若成等比數(shù)列,則,
即.
由,可得,即,
.
又,且m>1,所以m=2,此時(shí)n=12.
因此,當(dāng)且僅當(dāng)m=2, n=12時(shí),數(shù)列中的成等比數(shù)列
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