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題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)。

（1）證明：

（2）若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列 的前項和；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（3）設(shè)數(shù)列滿足：，設(shè)，

若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)，恒成立，

試求的最大值。

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（本小題滿分14分）已知，點在軸上，點在軸的正半軸，點在直線上，且滿足，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡方程；

（Ⅱ）過的直線與軌跡交于、兩點，又過、作軌跡的切線、，當，求直線的方程.

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（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)

 （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

 （2）若當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

 （3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍。

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（本小題滿分14分）

已知，其中是自然常數(shù)，

（1）討論時, 的單調(diào)性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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（本小題滿分14分）

設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。

（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；

（III）設(shè)數(shù)列的前項和為。已知正實數(shù)滿足：對任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。

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一．選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

C

B

B

A

B

D

二．填空題：

9．6、30、10；              10．；            11．；

12．；                  13．{0<≤3}；                      14．③④

三、 解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15．解： ；  ………5分

方程有非正實數(shù)根

 

綜上： ……………………12分

16. 解：（Ⅰ）設(shè)取出的4件中有2件合格品或3件合格品分別為事件A、B，則

        

         ∵A、B為兩個互斥事件      ∴P（A+B）=P（A）+P（B）=

        答： 取出2件合格品或3件合格品的概率為…………6分

   （Ⅱ）取出4件都為合格品的事件為C，則P（C）=

至少取出一件次品的事件為事件C的對立事件,其概率為

     答：至少取出一件次品的概率為.…………13分

17．解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b

由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得

a＝，b＝－2。。。。。。。。。4分

f¢（x）＝32－－2＝（3＋2）（－1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：

（－¥，－）

－

（－，1）

1

（1，＋¥）

f¢（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

­

極大值

¯

極小值

­

所以函數(shù)f（）的遞增區(qū)間是（－¥，－）與（1，＋¥）

遞減區(qū)間是（－，1）。。。。。。。。。。。7分

（2）f（x）＝3－2－2＋c，Î，由（1）當＝－時，f（x）＝＋c

為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。

要使f（x）<c2（Î）恒成立，只需c2>f（2）＝2＋c

解得c<－1或c>2 。。。。。。。。。。。。13分

 

18．（Ⅰ）證明：∵底面，底面，∴

又∵且平面， 平面， ，

∴平面；4分

�。á颍┙猓骸唿c分別是的中點，

∴，由（Ⅰ）知平面，∴平面，

　∴，，

　∴為二面角的平面角，7分

　∵底面，

　∴與底面所成的角即為，

　∴＝，

　∵為直角三角形斜邊的中點，

　∴為等腰三角形，且，

　∴，∴二面角的大小為；9分

（Ⅲ）法１：過點作交于點，則或其補角即為異面直

　　　線所成的角，11分

∵為的中點,∴為為的中點, 設(shè)，則由得，又，∴　∴＝，∴，

∴由（Ⅱ）知為直角三角形，且    ，

，∴，

在直角三角形中，，

∴，

∴在三角形中，，13分

∴為直角三角形，為直角，

∴異面直線所成的角為．14分

或者用三垂線定理，首先證明DB與BC垂直也可以

因為　∴＝，又，

所以，即DB與BC垂直

法２：以點為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，設(shè)，則，，，則

則，，，

，∴異面直線所成的角為……………． 14分

19．解：1）由＝.＝，∴＝1；……….4分

（2）＝在（1，＋∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，

任取、∈（1，＋∞），且設(shè)＜，則：

－＝＞0，

∴＝在（1，＋∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)；……………9分

（3）當直線＝（∈R）與的圖象無公共點時，＝1，

∴＜2＋＝4＝，｜－2｜＋＞2，

得：＞或＜…………..14分

20．解

（1）當時，     

    設(shè)為其不動點，即

則    的不動點是－1，2……….. 4分

（2）由得：.  由已知，此方程有相異二實根，

恒成立，即即對任意恒成立.

…………………. …………10分

（3）設(shè)，

直線是線段AB的垂直平分線，   ∴

記AB的中點由（2）知   

化簡得：時，等號成立）.

……………………………………………………………14分

 


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