題目列表(包括答案和解析)
已知曲線的參數(shù)方程是(是參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線:的極坐標方程是=2,正方形ABCD的頂點都在上,且A,B,C,D依逆時針次序排列,點A的極坐標為(2,).
(Ⅰ)求點A,B,C,D的直角坐標;
(Ⅱ)設P為上任意一點,求的取值范圍.
【命題意圖】本題考查了參數(shù)方程與極坐標,是容易題型.
【解析】(Ⅰ)由已知可得,,
,,
即A(1,),B(-,1),C(―1,―),D(,-1),
(Ⅱ)設,令=,
則==,
∵,∴的取值范圍是[32,52]
現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動,該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲,擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.
(Ⅰ)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率;
(Ⅱ)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率;
(Ⅲ)用X,Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù),記,求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.
【解析】依題意,這4個人中,每個人去參加甲游戲的概率為,去參加乙游戲的概率為.
設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件
則.
(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率
(2)設“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B,則.由于互斥,故
所以,這個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為.
(3)的所有可能取值為0,2,4.由于互斥,互斥,故
所以的分布列是
0 |
2 |
4 |
|
P |
隨機變量的數(shù)學期望.
已知數(shù)列滿足且對一切,
有
(Ⅰ)求證:對一切
(Ⅱ)求數(shù)列通項公式.
(Ⅲ)求證:
【解析】第一問利用,已知表達式,可以得到,然后得到,從而求證 。
第二問,可得數(shù)列的通項公式。
第三問中,利用放縮法的思想,我們可以得到
然后利用累加法思想求證得到證明。
解: (1) 證明:
在本次數(shù)學期中考試試卷中共有10道選擇題,每道選擇題有4個選項,其中只有一個是正確的。評分標準規(guī)定:“每題只選一項,答對得5分,不答或答錯得0分”.某考生每道題都給出一個答案, 且已確定有7道題的答案是正確的,而其余題中,有1道題可判斷出兩個選項是錯誤的,有一道可以判斷出一個選項是錯誤的,還有一道因不了解題意只能亂猜。試求出該考生:
(1)選擇題得滿分(50分)的概率;
(2)選擇題所得分數(shù)的數(shù)學期望。
【解析】第一問總利用獨立事件的概率乘法公式得分為50分,10道題必須全做對.在其余的3道題中,有1道題答對的概率為,有1道題答對的概率為,還有1道答對的概率為,
所以得分為50分的概率為:
第二問中,依題意,該考生得分的范圍為{35,40,45,50}
得分為35分表示只做對了7道題,其余各題都做錯,
所以概率為
得分為40分的概率為:
同理求得,得分為45分的概率為:
得分為50分的概率為:
得到分布列和期望值。
解:(1)得分為50分,10道題必須全做對.在其余的3道題中,有1道題答對的概率為,有1道題答對的概率為,還有1道答對的概率為,
所以得分為50分的概率為: …………5分
(2)依題意,該考生得分的范圍為{35,40,45,50} …………6分
得分為35分表示只做對了7道題,其余各題都做錯,
所以概率為 …………7分
得分為40分的概率為: …………8分
同理求得,得分為45分的概率為: …………9分
得分為50分的概率為: …………10分
所以得分的分布列為
35 |
40 |
45 |
50 |
|
|
數(shù)學期望
已知點為圓上的動點,且不在軸上,軸,垂足為,線段中點的軌跡為曲線,過定點任作一條與軸不垂直的直線,它與曲線交于、兩點。
(I)求曲線的方程;
(II)試證明:在軸上存在定點,使得總能被軸平分
【解析】第一問中設為曲線上的任意一點,則點在圓上,
∴,曲線的方程為
第二問中,設點的坐標為,直線的方程為, ………………3分
代入曲線的方程,可得
∵,∴
確定結(jié)論直線與曲線總有兩個公共點.
然后設點,的坐標分別, ,則,
要使被軸平分,只要得到。
(1)設為曲線上的任意一點,則點在圓上,
∴,曲線的方程為. ………………2分
(2)設點的坐標為,直線的方程為, ………………3分
代入曲線的方程,可得 ,……5分
∵,∴,
∴直線與曲線總有兩個公共點.(也可根據(jù)點M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論)
………………6分
設點,的坐標分別, ,則,
要使被軸平分,只要, ………………9分
即,, ………………10分
也就是,,
即,即只要 ………………12分
當時,(*)對任意的s都成立,從而總能被軸平分.
所以在x軸上存在定點,使得總能被軸平分
1. 由函數(shù)知,當時,,且,則它的反函數(shù)過點(3,4),故選A.
2.∵,∴,則,即,.,選B.
3. 由平行四邊形法則,,
∴,
又,
∴,當P為中點時,取得最小值.選B.
4. 設是橢圓的一個焦點,它是橢圓三個頂點,,構(gòu)成的三角形的垂心(如圖).由有,即,∴,得,解得,選A.
5. 設正方形邊長為,,則,.在由正弦定理得,又在由余弦定理得,于是,,選C.
6. 在底面上的射影知,為斜線在平面上的射影,∵,由三垂線定理得,∵,所以直線與直線重合,選A.
7. 過A作拋物線的準線的垂線AA1交準線A1, 過B作橢圓的右準線的垂線交右準線于則有:BN=e|BB1|=2-xB,AN=|AA1|=xA+1,周長=|AN|+|AB|+|BN|=xA+1+(xB-xA)+(2-xB)=3+xB,
由可得兩曲線的交點x=,xB∈(,2),
∴3+xB∈(,4),即△ANB周長取值范圍是(,4),選B.
8. 先將3,5兩個奇數(shù)排好,有種排法,再將4,6兩個偶數(shù)插入3,5中,有種排法,最后將1,2 當成一個整體插入5個空位中,所以這樣的六位數(shù)的個數(shù)為,選B.
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