[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查反函數(shù)的概念.函數(shù)與其反函數(shù)圖象之間的關(guān)系.函數(shù)圖象的平移.常規(guī)解法是先求出函數(shù)的反函數(shù).然后再將函數(shù)圖象平移即可得到正確解答.而本法抓住以下特征:函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)一定在其反函數(shù)的圖象上.由此選定特殊點(diǎn).從而得出點(diǎn)在的圖象上.進(jìn)一步得出點(diǎn)在的圖象上.于是快速求解. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

過拋物線的對稱軸上的定點(diǎn),作直線與拋物線相交于兩點(diǎn).

(I)試證明兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值;

(II)若點(diǎn)是定直線上的任一點(diǎn),試探索三條直線的斜率之間的關(guān)系,并給出證明.

【解析】本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.

(1)中證明:設(shè)下證之:設(shè)直線AB的方程為: x=ty+m與y2=2px聯(lián)立得消去x得y2=2pty-2pm=0,由韋達(dá)定理得 

 (2)中:因?yàn)槿龡l直線AN,MN,BN的斜率成等差數(shù)列,下證之

設(shè)點(diǎn)N(-m,n),則直線AN的斜率KAN=,直線BN的斜率KBN=

  

KAN+KBN=+

本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.

 

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如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花園AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且對角線MN過C點(diǎn),|AB|=3米,|AD|=2米,

(I)要使矩形AMPN的面積大于32平方米,則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)?

(II)當(dāng)AN的長度是多少時(shí),矩形AMPN的面積最小?并求出最小面積.

(Ⅲ)若AN的長度不少于6米,則當(dāng)AN的長度是多少時(shí),矩形AMPN的面積最小?并求出最小面積.

【解析】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)及均值不等式的應(yīng)用等,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力   第一問要利用相似比得到結(jié)論。

(I)由SAMPN > 32 得 > 32 ,

∵x >2,∴,即(3x-8)(x-8)> 0

∴2<X<8/3,即AN長的取值范圍是(2,8/3)或(8,+)

第二問,  

當(dāng)且僅當(dāng)

(3)令

∴當(dāng)x > 4,y′> 0,即函數(shù)y=在(4,+∞)上單調(diào)遞增,∴函數(shù)y=在[6,+∞]上也單調(diào)遞增.                

∴當(dāng)x=6時(shí)y=取得最小值,即SAMPN取得最小值27(平方米).

 

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在△ABC中,為三個(gè)內(nèi)角為三條邊,

(I)判斷△ABC的形狀;

(II)若,求的取值范圍.

【解析】本題主要考查正余弦定理及向量運(yùn)算

第一問利用正弦定理可知,邊化為角得到

所以得到B=2C,然后利用內(nèi)角和定理得到三角形的形狀。

第二問中,

得到。

(1)解:由及正弦定理有:

∴B=2C,或B+2C,若B=2C,且,∴;∴B+2C,則A=C,∴是等腰三角形。

(2)

 

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如圖6,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.

(Ⅰ)證明:BD⊥PC;

(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.

【解析】(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912413079631221/SYS201207091242012651351203_ST.files/image002.png">

是平面PAC內(nèi)的兩條相較直線,所以BD平面PAC,

平面PAC,所以.

(Ⅱ)設(shè)AC和BD相交于點(diǎn)O,連接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,

所以是直線PD和平面PAC所成的角,從而.

由BD平面PAC,平面PAC,知.在中,由,得PD=2OD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形,,所以均為等腰直角三角形,從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積

在等腰三角形AOD中,

所以

故四棱錐的體積為.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線垂直關(guān)系的證明,考查空間角的應(yīng)用,及幾何體體積計(jì)算.第一問只要證明BD平面PAC即可,第二問由(Ⅰ)知,BD平面PAC,所以是直線PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面積和棱錐的高,由算得體積

 

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已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.

(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

【解析】解:.

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值

于是對一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng).        ①

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①式成立.

綜上所述,的取值集合為.

(Ⅱ)由題意知,

,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.故當(dāng)

從而,

所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

 

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1. 由函數(shù)6ec8aac122bd4f6e知,當(dāng)時(shí),,且6ec8aac122bd4f6e,則它的反函數(shù)過點(diǎn)(3,4),故選A.  

 

2.∵,∴,則,即.,選B.

3. 由平行四邊形法則,,

,

,當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí),取得最小值.選B.

4. 設(shè)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),它是橢圓三個(gè)頂點(diǎn),,構(gòu)成的三角形的垂心(如圖).由,即,∴,得,解得,選A.

 

5. 設(shè)正方形邊長為,,則,.在由正弦定理得,又在由余弦定理得,于是,選C.

6. 在底面上的射影知,為斜線在平面上的射影,∵,由三垂線定理得,∵,所以直線與直線重合,選A.

 

7. 過A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線AA1交準(zhǔn)線A1,  過B作橢圓的右準(zhǔn)線的垂線交右準(zhǔn)線于則有:BN=e|BB1|=2-xB,AN=|AA1|=xA+1,周長=|AN|+|AB|+|BN|=xA+1+(xB-xA)+(2-xB)=3+xB

由可得兩曲線的交點(diǎn)x=,xB∈(,2),

∴3+xB∈(,4),即△ANB周長取值范圍是(,4),選B.

 

8. 先將3,5兩個(gè)奇數(shù)排好,有種排法,再將4,6兩個(gè)偶數(shù)插入3,5中,有種排法,最后將1,2 當(dāng)成一個(gè)整體插入5個(gè)空位中,所以這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為,選B.


同步練習(xí)冊答案