題目列表(包括答案和解析)
過拋物線的對稱軸上的定點,作直線與拋物線相交于兩點.
(I)試證明兩點的縱坐標之積為定值;
(II)若點是定直線上的任一點,試探索三條直線的斜率之間的關系,并給出證明.
【解析】本題主要考查拋物線與直線的位置關系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.
(1)中證明:設下證之:設直線AB的方程為: x=ty+m與y2=2px聯(lián)立得消去x得y2=2pty-2pm=0,由韋達定理得
(2)中:因為三條直線AN,MN,BN的斜率成等差數(shù)列,下證之
設點N(-m,n),則直線AN的斜率KAN=,直線BN的斜率KBN=
KAN+KBN=+
本題主要考查拋物線與直線的位置關系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.
如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且對角線MN過C點,|AB|=3米,|AD|=2米,
(I)要使矩形AMPN的面積大于32平方米,則AN的長應在什么范圍內?
(II)當AN的長度是多少時,矩形AMPN的面積最小?并求出最小面積.
(Ⅲ)若AN的長度不少于6米,則當AN的長度是多少時,矩形AMPN的面積最?并求出最小面積.
【解析】本題主要考查函數(shù)的應用,導數(shù)及均值不等式的應用等,考查學生分析問題和解決問題的能力 第一問要利用相似比得到結論。
(I)由SAMPN > 32 得 > 32 ,
∵x >2,∴,即(3x-8)(x-8)> 0
∴2<X<8/3,即AN長的取值范圍是(2,8/3)或(8,+)
第二問,
當且僅當
(3)令
∴當x > 4,y′> 0,即函數(shù)y=在(4,+∞)上單調遞增,∴函數(shù)y=在[6,+∞]上也單調遞增.
∴當x=6時y=取得最小值,即SAMPN取得最小值27(平方米).
在△ABC中,為三個內角為三條邊,且
(I)判斷△ABC的形狀;
(II)若,求的取值范圍.
【解析】本題主要考查正余弦定理及向量運算
第一問利用正弦定理可知,邊化為角得到
所以得到B=2C,然后利用內角和定理得到三角形的形狀。
第二問中,
得到。
(1)解:由及正弦定理有:
∴B=2C,或B+2C,若B=2C,且,∴,;∴B+2C,則A=C,∴是等腰三角形。
(2)
在棱長為的正方體中,是線段的中點,.
(1) 求證:^;
(2) 求證://平面;
(3) 求三棱錐的表面積.
【解析】本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運用。第一問中,利用,得到結論,第二問中,先判定為平行四邊形,然后,可知結論成立。
第三問中,是邊長為的正三角形,其面積為,
因為平面,所以,
所以是直角三角形,其面積為,
同理的面積為, 面積為. 所以三棱錐的表面積為.
解: (1)證明:根據(jù)正方體的性質,
因為,
所以,又,所以,,
所以^. ………………4分
(2)證明:連接,因為,
所以為平行四邊形,因此,
由于是線段的中點,所以, …………6分
因為面,平面,所以∥平面. ……………8分
(3)是邊長為的正三角形,其面積為,
因為平面,所以,
所以是直角三角形,其面積為,
同理的面積為, ……………………10分
面積為. 所以三棱錐的表面積為
某產品的廣告費支出 (單位:百萬元)與銷售額 (單位:百萬元)之間有如下數(shù)據(jù):
2 |
4 |
5 |
6 |
8 |
|
30 |
40 |
60 |
50 |
70 |
(1)畫出散點圖.
(2)求關于的回歸直線方程.
(3)預測廣告費為9百萬元時的銷售額是多少?
【解析】本試題考查了線性回歸方程的求解,通過作出散點圖,觀察點是不是滿足線性相關,如果滿足,就利用公式進行求解運算,并能回歸實際中解釋實際的含義。
1. 由函數(shù)知,當時,,且,則它的反函數(shù)過點(3,4),故選A.
2.∵,∴,則,即,.,選B.
3. 由平行四邊形法則,,
∴,
又,
∴,當P為中點時,取得最小值.選B.
4. 設是橢圓的一個焦點,它是橢圓三個頂點,,構成的三角形的垂心(如圖).由有,即,∴,得,解得,選A.
5. 設正方形邊長為,,則,.在由正弦定理得,又在由余弦定理得,于是,,選C.
6. 在底面上的射影知,為斜線在平面上的射影,∵,由三垂線定理得,∵,所以直線與直線重合,選A.
7. 過A作拋物線的準線的垂線AA1交準線A1, 過B作橢圓的右準線的垂線交右準線于則有:BN=e|BB1|=2-xB,AN=|AA1|=xA+1,周長=|AN|+|AB|+|BN|=xA+1+(xB-xA)+(2-xB)=3+xB,
由可得兩曲線的交點x=,xB∈(,2),
∴3+xB∈(,4),即△ANB周長取值范圍是(,4),選B.
8. 先將3,5兩個奇數(shù)排好,有種排法,再將4,6兩個偶數(shù)插入3,5中,有種排法,最后將1,2 當成一個整體插入5個空位中,所以這樣的六位數(shù)的個數(shù)為,選B.
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