題目列表(包括答案和解析)
設(shè)定義在(0,+)上的函數(shù)
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求的值。
【解析】 (Ⅰ)因,故,取等號(hào)的條件是,即。
(Ⅱ)因,由,求得,又由,可得,解得
【解析】B.由題得所以選B.
把函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象.
(1)求函數(shù)的解析式; (2)若,證明:.
【解析】本試題主要考查了函數(shù) 平抑變換和運(yùn)用函數(shù)思想證明不等式。第一問(wèn)中,利用設(shè)上任意一點(diǎn)為(x,y)則平移前對(duì)應(yīng)點(diǎn)是(x+1,y-2)代入 ,便可以得到結(jié)論。第二問(wèn)中,令,然后求導(dǎo),利用最小值大于零得到。
(1)解:設(shè)上任意一點(diǎn)為(x,y)則平移前對(duì)應(yīng)點(diǎn)是(x+1,y-2)代入 得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以.……4分
(2) 證明:令,……6分
則……8分
,∴,∴在上單調(diào)遞增.……10分
故,即
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值
于是對(duì)一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng). 、
令則
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.
故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①式成立.
綜上所述,的取值集合為.
(Ⅱ)由題意知,令則
令,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.故當(dāng),即
從而,又
所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使即成立.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等,考查運(yùn)算能力,考查分類(lèi)討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
已知,函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程;
(2)求函數(shù)在[-1,1]的極值;
(3)若在上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使>g(xo)成立,求正實(shí)數(shù)的取值范圍。
【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。(1)中,那么當(dāng)時(shí), 又 所以函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程為;(2)中令 有
對(duì)a分類(lèi)討論,和得到極值。(3)中,設(shè),,依題意,只需那么可以解得。
解:(Ⅰ)∵ ∴
∴ 當(dāng)時(shí), 又
∴ 函數(shù)在點(diǎn)(1,)的切線方程為 --------4分
(Ⅱ)令 有
① 當(dāng)即時(shí)
(-1,0) |
0 |
(0,) |
(,1) |
||
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
極大值 |
極小值 |
故的極大值是,極小值是
② 當(dāng)即時(shí),在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,則的極大值為,無(wú)極小值。
綜上所述 時(shí),極大值為,無(wú)極小值
時(shí) 極大值是,極小值是 ----------8分
(Ⅲ)設(shè),
對(duì)求導(dǎo),得
∵,
∴ 在區(qū)間上為增函數(shù),則
依題意,只需,即
解得 或(舍去)
則正實(shí)數(shù)的取值范圍是(,)
1. 由函數(shù)知,當(dāng)時(shí),,且,則它的反函數(shù)過(guò)點(diǎn)(3,4),故選A.
2.∵,∴,則,即,.,選B.
3. 由平行四邊形法則,,
∴,
又,
∴,當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí),取得最小值.選B.
4. 設(shè)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),它是橢圓三個(gè)頂點(diǎn),,構(gòu)成的三角形的垂心(如圖).由有,即,∴,得,解得,選A.
5. 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為,,則,.在由正弦定理得,又在由余弦定理得,于是,,選C.
6. 在底面上的射影知,為斜線在平面上的射影,∵,由三垂線定理得,∵,所以直線與直線重合,選A.
7. 過(guò)A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線AA1交準(zhǔn)線A1, 過(guò)B作橢圓的右準(zhǔn)線的垂線交右準(zhǔn)線于則有:BN=e|BB1|=2-xB,AN=|AA1|=xA+1,周長(zhǎng)=|AN|+|AB|+|BN|=xA+1+(xB-xA)+(2-xB)=3+xB,
由可得兩曲線的交點(diǎn)x=,xB∈(,2),
∴3+xB∈(,4),即△ANB周長(zhǎng)取值范圍是(,4),選B.
8. 先將3,5兩個(gè)奇數(shù)排好,有種排法,再將4,6兩個(gè)偶數(shù)插入3,5中,有種排法,最后將1,2 當(dāng)成一個(gè)整體插入5個(gè)空位中,所以這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為,選B.
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