已知數(shù)列{an}滿足(n+1)an-nan+1=2(n∈N*).a1=3.(Ⅰ)求a2,a3,(Ⅱ)求{an}的通項(xiàng),(Ⅲ)求和:(a1+a2)+(a2+a3)+-+(an+an+1). 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知數(shù)列{an}滿足(n+1)an-nan+1=2   (n∈N*)，a1=3．

(Ⅰ)求a2、a3；

(Ⅱ)求{an}的通項(xiàng)；

(Ⅲ)求和：(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)．

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已知數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+cn（n+1）（c為常數(shù)）
（1）證明：{
an
n
}是等差數(shù)列；
（2）問是否存在正整數(shù)p、q（p±q）使ap=aq成立？若存在，請(qǐng)寫出C滿足的條件，若不存在，說明理由．
（3）設(shè)bn=(
1
2
)nan，若當(dāng)n≥4，數(shù)列{bn}為遞數(shù)列，試求c的最小值．

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已知數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+cn（n+1）（c為常數(shù)）
（1）證明：{
an
n
}是等差數(shù)列；
（2）若{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，試給出不依賴于n的一個(gè)充分必要條件，使得數(shù)列{
an
}是等差數(shù)列，并說明理由．
（3）問是否存在正整數(shù)p，q（p≠q）使ap=aq成立？若存在，請(qǐng)寫出c滿足的條件，若不存在，說明理由．

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已知數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+cn（n+1）（c為常數(shù)）
（1）證明：數(shù)學(xué)公式是等差數(shù)列；
（2）若{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，試給出不依賴于n的一個(gè)充分必要條件，使得數(shù)列數(shù)學(xué)公式是等差數(shù)列，并說明理由．
（3）問是否存在正整數(shù)p，q（p≠q）使ap=aq成立？若存在，請(qǐng)寫出c滿足的條件，若不存在，說明理由．

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已知數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+cn（n+1）（c為常數(shù)）
（1）證明：數(shù)學(xué)公式是等差數(shù)列；
（2）問是否存在正整數(shù)p、q（p±q）使ap=aq成立？若存在，請(qǐng)寫出C滿足的條件，若不存在，說明理由．
（3）設(shè)數(shù)學(xué)公式，若當(dāng)n≥4，數(shù)列{bn}為遞數(shù)列，試求c的最小值．

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一、A卷：AADCB  DCCCB  AA

二、(13)160；(14)6π；(15)8；(16)①②③

三、(17)解：(Ⅰ)f(x)=(sinx+cosx)2=[sin(x+]2=[g(x)]2

   由f(x)=g(x),得g(x)=0,或g(x)=1

   ∴sin(x+)=0,或sin(x+)=1  ……………………………………………3分

   ∵-

   ∴x+=0,或x+=,或x+=

   x=-或x=0或x=

   所求x值的集合為{-,0,}      …………………………………………………7分

   (Ⅱ)由(Ⅰ)知，

   解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,得

   2kπ+≤x≤2kπ+     …………………………………………………………9分

   ∵-≤x≤且x≠-,

   ∴≤x≤

   ∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[，]     ………………………………………12分

18.解：所獲利潤為3000元時(shí)，所生產(chǎn)的產(chǎn)品一件為二等品，另一件不能達(dá)到一、二等品，所求概率為：P1=2×0.2×0.05=0.02       ………………………………………6分

           所獲利潤不低于14000元，所生產(chǎn)的產(chǎn)品一件為一等品，一件為二等品，或兩件均為一等品，所求概率為：P2=2×0.75×0.2+0.752=0.8625    ……………………12分

19.解法一：(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD，∴OD為PD在平面ABCD內(nèi)的射影

  又ABCD為菱形，∴AC⊥OD，∴AC⊥PD,即PD⊥AC

  在菱形ABCD中，∵∠DAB=60°，

∴OD=AO?cot60°=1

  在Rt△POD中，PD=，由PE：ED=3：1，得

  DE=又∠PDO=60°，

∴OE2+DE2=OD2，∴∠OED=90°,即PD⊥OE

 PD⊥平面EAC     …………………………………………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA,PD⊥EC,則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角tan∠AEO=，易知OE為AC的垂直平分線，所以∠AEC=2∠AEO，

∴cos∠AEC=cos2∠AEO-sin2∠AEO

=    ………………………………………8分

(Ⅲ)由O為BD中點(diǎn)，知點(diǎn)B到平面PDC的距離等于點(diǎn)O到平面PDC距離的2倍，由(Ⅰ)知，平面OEC⊥平面PDC，作OH⊥CE，垂足為H，則OH⊥平面PDC，在Rt△OEC中，∠EOC=90°，OC=

  ∴OH=

  所以點(diǎn)B到平面PDC的距離為     ……………………………………………12分

 

 

 

 

 

 

 

解法二：建 立如圖所示的坐標(biāo)系O-xyz，其中A(0，-，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，).

(Ⅰ)由PE：ED=3：1，知E(-)

∵

∴

∴PD⊥OE，PD⊥AC，∴PD⊥平面EAC……………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA，PD⊥EC，則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角

∵

∴cos∠AEC=cos<……………………………………………8分

(Ⅲ)由O為BD中點(diǎn)知，點(diǎn)B到平面PDC的距離為點(diǎn)O到平面PDC距離的2倍

又，cos∠OED=cos<

所以點(diǎn)B到平面PDC的距離

d=2………………………………………………12分

20.解：(Ⅰ)依題意，設(shè)f(x)=a(x-2)2+b(a≠0)

  當(dāng)a>0時(shí)，則f(-4)=18,f(-2)=-18,∴

  解得a=1,b= -18…………………………………………………………………………3分

  當(dāng)a<0時(shí)，則f(2)=18,f(-4)=-

  解得a=-1,b=18

  ∴所求解析式為f(x)=x2-4x-14或f(x)=-x2+4x+14……………………………………6分

  (Ⅱ)f(x)=a(x-2)2+b=ax2-4ax+4a+b

  f′(x)=2ax-4a

  ∵f′=-2,∴2a-4a=-2,∴a=1……………………………………………………………8分

  ∴f(1)=1+b,f(3)=1+b即A(1，1+b),B(3,1+b)

   f′(3)=6a-4a=2

  設(shè)l1、l2的方程為：y-(1+b)=-2(x-1)

                                y-(1+b)=2(x-3)

  上式聯(lián)立解得y=b-1

  即C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為b-1

  ∴△ABC的AB邊上的高h=|(b-1)-(1+b)|=2

  又|AB|=2

  ∴△ABC的面積S=|AB|?h=2……………………………………………………12分

21.解：(Ⅰ)在(n+1)an-nan+1=2中，令n=1,得2a1-a2=2,∴a2=2a1-2=4再令n=2,得3a2-2a3=2,得a3=a2-1=5

 ∴a2=4,a3=5…………………………………………………………………………………3分

(Ⅱ)由(n+1)an-nan+1=2,得

 ∴

當(dāng)n≥2時(shí)，=

  ∴an=n+2

  n=1時(shí)，a1=3也適合，∴an=n+2(n∩N*)…………………………………………8分

(Ⅲ)∵an+an+1=(n+2)+(n+3)=2n+5

∴(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)= …………………………12分

22.解：由已知，F()，雙曲線的漸近線y=±x的方向向量為v=(1,±1),當(dāng)l斜率k存在時(shí)，不失一般性，取A(，-1)、B(，1)、B(，1)，則在v上的投影的絕對(duì)值為，不合題意………………………………………………2分

  所以l的斜率k存在，其方程為y=k(x-).

  由得(k2-1)x2-2k2x+2k2+1=0(k2≠1)

 設(shè)A(x1,k(x1-))、B(x2,k(x2-)),則x1+x2=………………6分

當(dāng)v=(1，1)時(shí)，設(shè)與v的夾角為θ，則=(x2-x1,k(x2-x1))在v上投影的絕對(duì)值

=

=.

由，得2k2-5k+2=0,k=2或k=.

       所以直線l的方程為y=±2(x-)或y=±.…………………12分

 


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