設是定義在上的函數.如果存在點.對函數的圖像上任意點.關 【查看更多】

 

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設是定義在上的函數，用分點

      

將區(qū)間任意劃分成個小區(qū)間，如果存在一個常數，使得和式（）恒成立，則稱為上的有界變差函數.

（1）函數在上是否為有界變差函數？請說明理由；

（2）設函數是上的單調遞減函數，證明：為上的有界變差函數；

（3）若定義在上的函數滿足：存在常數，使得對于任意的、 時，.證明：為上的有界變差函數.

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(本小題滿分14分)
設是定義在上的函數，用分點

將區(qū)間任意劃分成個小區(qū)間，如果存在一個常數，使得和式（）恒成立，則稱為上的有界變差函數.
（1）函數在上是否為有界變差函數？請說明理由；
（2）設函數是上的單調遞減函數，證明：為上的有界變差函數；
（3）若定義在上的函數滿足：存在常數，使得對于任意的、 時，.證明：為上的有界變差函數.

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(本小題滿分14分)
設是定義在上的函數，用分點

將區(qū)間任意劃分成個小區(qū)間，如果存在一個常數，使得和式（）恒成立，則稱為上的有界變差函數.
（1）函數在上是否為有界變差函數？請說明理由；
（2）設函數是上的單調遞減函數，證明：為上的有界變差函數；
（3）若定義在上的函數滿足：存在常數，使得對于任意的、 時，.證明：為上的有界變差函數.

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如果函數f（x）在區(qū)間D上有定義，且對任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，則稱函數f（x）在區(qū)間D上的“凹函數”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判斷f（x）是否是“凹函數”，若是，請給出證明；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）對于（I）中的函數f（x）有下列性質：“若x∈[a，b]，則存在x0（a，b）使得
f(b)-f(a)
b-a
=f′（x0）”成立．利用這個性質證明x0唯一；
（Ⅲ）設A、B、C是函數f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）圖象上三個不同的點，求證：△ABC是鈍角三角形．

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如果函數y=f（x）的定義域為R，對于定義域內的任意x，存在實數a使得f（x+a）=f（-x）成立，則稱此函數具有“P（a）性質”．
（1）判斷函數y=sinx是否具有“P（a）性質”，若具有“P（a）性質”求出所有a的值；若不具有“P（a）性質”，請說明理由．
（2）已知y=f（x）具有“P（0）性質”，且當x≤0時f（x）=（x+m）2，求y=f（x）在[0，1]上的最大值．
（3）設函數y=g（x）具有“P（±1）性質”，且當-
1
2
≤x≤
1
2
時，g（x）=|x|．若y=g（x）與y=mx交點個數為2013個，求m的值．

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一、填空題（本大題滿分48分，每小題4分，共12小題）

1．；   2．；   3．；   4．；   5．；

6．；   7．；   8．；   9．； 10．；

11．；   12．.

二、選擇題（本大題滿分16分，每小題4分，共4小題）

13．C；   14．A；   15．B；   16．C；

三、解答題（本大題滿分86分，本大題共有6題）

17．（1）；

       

（2）；

18．1號至4號正四棱柱形容器是體積依次為。

∵  ，，

∴  存在必勝方案，即選擇3號和4號容器。

19．（1）∵  由正弦定理，，∴ ，。

      ∵  ， ∴  ，即。∴  。

 （2）∵  ，

∴  。

20．（1）設放水分鐘內水箱中的水量為升

依題意得；

分鐘時，水箱的水量升, 放水后分鐘水箱內水量接近最少；

（2）該淋浴器一次有個人連續(xù)洗浴， 于是，，

所以，一次可最多連續(xù)供7人洗浴。

21．（1）由及，∴時成等比數列。

（2）因，由（1）知，，故。

（3）設存在，使得成等差數列，則，

即因，所以，

∴不存在中的連續(xù)三項使得它們可以構成等差數列。

22．(1)解：設為函數圖像的一個對稱點，則對于恒成立.即對于恒成立，

由，故圖像的一個對稱點為.

（2）解：假設是函數(的圖像的一個對稱點，

則(對于恒成立，

即對于恒成立，因為，所以不

恒成立，

即函數(的圖像無對稱點.

 


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