題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
當時單調(diào)遞減;當時單調(diào)遞增,故當時,取最小值
于是對一切恒成立,當且僅當. 、
令則
當時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞減.
故當時,取最大值.因此,當且僅當時,①式成立.
綜上所述,的取值集合為.
(Ⅱ)由題意知,令則
令,則.當時,單調(diào)遞減;當時,單調(diào)遞增.故當,即
從而,又
所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使即成立.
【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進行推理,然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷.
在四棱錐中,平面,底面為矩形,.
(Ⅰ)當時,求證:;
(Ⅱ)若邊上有且只有一個點,使得,求此時二面角的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當a=1時,底面ABCD為正方形,
又因為,………………2分
又,得證。
第二問,建立空間直角坐標系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》
要使,只要
所以,即………6分
由此可知時,存在點Q使得
當且僅當m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得
由此知道a=2, 設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解:(Ⅰ)當時,底面ABCD為正方形,
又因為,又………………3分
(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系,如圖所示,
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要
所以,即………6分
由此可知時,存在點Q使得
當且僅當m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得由此知道a=2,
設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
已知數(shù)列是各項均不為0的等差數(shù)列,公差為d,為其前n項和,且滿足,.數(shù)列滿足,,為數(shù)列的前n項和.
(1)求數(shù)列的通項公式和數(shù)列的前n項和;
(2)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列?若存在,求出所有的值;若不存在,請說明理由.
【解析】第一問利用在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,, [
又時,滿足,
,
第二問,①當n為偶數(shù)時,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
,等號在n=2時取得.
此時 需滿足.
②當n為奇數(shù)時,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
是隨n的增大而增大, n=1時取得最小值-6.
此時 需滿足.
第三問,
若成等比數(shù)列,則,
即.
由,可得,即,
.
(1)(法一)在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,, [
又時,滿足,
,
.
(2)①當n為偶數(shù)時,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
,等號在n=2時取得.
此時 需滿足.
②當n為奇數(shù)時,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
是隨n的增大而增大, n=1時取得最小值-6.
此時 需滿足.
綜合①、②可得的取值范圍是.
(3),
若成等比數(shù)列,則,
即.
由,可得,即,
.
又,且m>1,所以m=2,此時n=12.
因此,當且僅當m=2, n=12時,數(shù)列中的成等比數(shù)列
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