題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
當時單調遞減;當時單調遞增,故當時,取最小值
于是對一切恒成立,當且僅當. ①
令則
當時,單調遞增;當時,單調遞減.
故當時,取最大值.因此,當且僅當時,①式成立.
綜上所述,的取值集合為.
(Ⅱ)由題意知,令則
令,則.當時,單調遞減;當時,單調遞增.故當,即
從而,又
所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使即成立.
【點評】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)單調性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學方法.第一問利用導函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設存在的情況下進行推理,然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題,通過構造函數(shù),研究這個函數(shù)的性質進行分析判斷.
某省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進行調查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)與時刻(時) 的關系為,其中是與氣象有關的參數(shù),且.
(1)令, ,寫出該函數(shù)的單調區(qū)間,并選擇其中一種情形進行證明;
(2)若用每天的最大值作為當天的綜合放射性污染指數(shù),并記作,求;
(3)省政府規(guī)定,每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2,試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標?
【解析】第一問利用定義法求證單調性,并判定結論。
第二問(2)由函數(shù)的單調性知,
∴,即t的取值范圍是.
當時,記
則
∵在上單調遞減,在上單調遞增,
第三問因為當且僅當時,.
故當時不超標,當時超標.
已知點(),過點作拋物線的切線,切點分別為、(其中).
(Ⅰ)若,求與的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若以點為圓心的圓與直線相切,求圓的方程;
(Ⅲ)若直線的方程是,且以點為圓心的圓與直線相切,
求圓面積的最小值.
【解析】本試題主要考查了拋物線的的方程以及性質的運用。直線與圓的位置關系的運用。
中∵直線與曲線相切,且過點,∴,利用求根公式得到結論先求直線的方程,再利用點P到直線的距離為半徑,從而得到圓的方程。
(3)∵直線的方程是,,且以點為圓心的圓與直線相切∴點到直線的距離即為圓的半徑,即,借助于函數(shù)的性質圓面積的最小值
(Ⅰ)由可得,. ------1分
∵直線與曲線相切,且過點,∴,即,
∴,或, --------------------3分
同理可得:,或----------------4分
∵,∴,. -----------------5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,則的斜率,
∴直線的方程為:,又,
∴,即. -----------------7分
∵點到直線的距離即為圓的半徑,即,--------------8分
故圓的面積為. --------------------9分
(Ⅲ)∵直線的方程是,,且以點為圓心的圓與直線相切∴點到直線的距離即為圓的半徑,即, ………10分
∴
,
當且僅當,即,時取等號.
故圓面積的最小值.
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