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題目列表(包括答案和解析)

已知，函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線(xiàn)方程；

(2)求函數(shù)在[－1，1]的極值；

(3)若在上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使>g(xo)成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍。

【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。（1）中，那么當(dāng)時(shí)，  又    所以函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線(xiàn)方程為；（2）中令   有 

對(duì)a分類(lèi)討論，和得到極值。（3）中，設(shè)，，依題意，只需那么可以解得。

解：（Ⅰ）∵  ∴

∴  當(dāng)時(shí)，  又    

∴  函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線(xiàn)方程為 --------4分

（Ⅱ）令   有 

①         當(dāng)即時(shí)

（－1，0）

0

（0，）

（，1）

+

0

－

0

+

極大值

極小值

故的極大值是，極小值是

②         當(dāng)即時(shí)，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為，無(wú)極小值。 

綜上所述   時(shí)，極大值為，無(wú)極小值

時(shí)  極大值是，極小值是        ----------8分

（Ⅲ）設(shè)，

對(duì)求導(dǎo)，得

∵，    

∴ 在區(qū)間上為增函數(shù)，則

依題意，只需，即 

解得  或（舍去）

則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（，）

 

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解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟

過(guò)點(diǎn)P(1，0)作曲線(xiàn)C：y＝x2(x∈(0,＋∞))的切線(xiàn)，切點(diǎn)為Q1，設(shè)點(diǎn)Q1在x軸上的投影為P1(即過(guò)點(diǎn)Q1作x軸的垂線(xiàn)，垂足為P1)，又過(guò)點(diǎn)P1作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)，切點(diǎn)為Q2，設(shè)點(diǎn)Q2在x軸上的投影為P2，…，依次下去，得到一系列點(diǎn)Q1，Q2，Q3，…，Qn，…，設(shè)點(diǎn)Qn的橫坐標(biāo)為an，n∈N*．

(1)

求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)

比較an與的大小,并證明你的結(jié)論；

(3)

設(shè),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證：對(duì)任意的正整數(shù)n均有≤Sn＜2．

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給出下列四個(gè)命題：
①“向量，的夾角為銳角”的充要條件是“·>0”；
②如果f(x)=lgx,則對(duì)任意的x1、x2Î(0,+¥),且x1¹x2,都有f()>；
③設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a,b]上的兩個(gè)函數(shù),若對(duì)任意xÎ[a,b],都有|f(x)?g(x)|£1成立,則稱(chēng)f(x)和g(x)在[a,b]上是“密切函數(shù)”,區(qū)間[a,b]稱(chēng)為“密切區(qū)間”.若f(x)=x2?3x+4與g(x)=2x?3在[a,b]上是“密切函數(shù)”,則其“密切區(qū)間”可以是[2,3]；
④記函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為y=f?1(x),要得到y(tǒng)=f?1(1?x)的圖象,可以先將y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x做對(duì)稱(chēng)變換,再將所得的圖象關(guān)于y軸做對(duì)稱(chēng)變換,再將所得的圖象沿x軸向左平移1個(gè)單位,即得到y(tǒng)=f?1(1?x)的圖象．其中真命題的序號(hào)是           。(請(qǐng)寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))

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如圖，F(xiàn)是定直線(xiàn)l外的一個(gè)定點(diǎn)，C是l上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：若以C為圓心，CF為半徑的圓與l交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B分別作l的垂線(xiàn)與圓

C過(guò)F的切線(xiàn)交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則P、Q必在以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線(xiàn)的同一條拋物線(xiàn)上.

（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出該拋物線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）對(duì)以上結(jié)論的反向思考可以得到另一個(gè)命題：

“若過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于P、Q兩點(diǎn)，

則以PQ為直徑的圓一定與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l相切”請(qǐng)

問(wèn)：此命題是否正確？試證明你的判斷；

（Ⅲ）請(qǐng)選擇橢圓或雙曲線(xiàn)之一類(lèi)比（Ⅱ）寫(xiě)出相應(yīng)的命題并

證明其真假.（只選擇一種曲線(xiàn)解答即可，若兩種都選，則以第一選擇為評(píng)分依據(jù)）

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如圖，F(xiàn)是定直線(xiàn)l外的一個(gè)定點(diǎn)，C是l上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：若以C為圓心，CF為半徑的圓與l交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B分別作l的垂線(xiàn)與圓

C過(guò)F的切線(xiàn)交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則P、Q必在以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線(xiàn)的同一條拋物線(xiàn)上.
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出該拋物線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）對(duì)以上結(jié)論的反向思考可以得到另一個(gè)命題：
“若過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于P、Q兩點(diǎn)，
則以PQ為直徑的圓一定與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l相切”請(qǐng)
問(wèn)：此命題是否正確？試證明你的判斷；
（Ⅲ）請(qǐng)選擇橢圓或雙曲線(xiàn)之一類(lèi)比（Ⅱ）寫(xiě)出相應(yīng)的命題并
證明其真假.（只選擇一種曲線(xiàn)解答即可，若兩種都選，則以第一選擇為評(píng)分依據(jù)）

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