解:(I)由題意知雙曲線焦點(diǎn)在軸.設(shè)雙曲線的方程為 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.

(I)求橢圓的方程;

(II)若過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且滿足O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng) 時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

第一問(wèn)中,利用

第二問(wèn)中,利用直線與橢圓聯(lián)系,可知得到一元二次方程中,可得k的范圍,然后利用向量的不等式,表示得到t的范圍。

解:(1)由題意知

 

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學(xué)校要用三輛車(chē)從北湖校區(qū)把教師接到文廟校區(qū),已知從北湖校區(qū)到文廟校區(qū)有兩條公路,汽車(chē)走公路①堵車(chē)的概率為,不堵車(chē)的概率為;汽車(chē)走公路②堵車(chē)的概率為,不堵車(chē)的概率為,若甲、乙兩輛汽車(chē)走公路①,丙汽車(chē)由于其他原因走公路②,且三輛車(chē)是否堵車(chē)相互之間沒(méi)有影響。(I)若三輛車(chē)中恰有一輛車(chē)被堵的概率為,求走公路②堵車(chē)的概率;(Ⅱ)在(I)的條件下,求三輛車(chē)中被堵車(chē)輛的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望。

【解析】第一問(wèn)中,由已知條件結(jié)合n此獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可知,得

第二問(wèn)中可能的取值為0,1,2,3  ,       

 , 

從而得到分布列和期望值

解:(I)由已知條件得 ,即,則的值為。

 (Ⅱ)可能的取值為0,1,2,3  ,       

 , 

   的分布列為:(1分)

 

0

1

2

3

 

 

 

 

所以 

 

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已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.

(1)若對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

【解析】解:.

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值

于是對(duì)一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng).        ①

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①式成立.

綜上所述,的取值集合為.

(Ⅱ)由題意知,

,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.故當(dāng)

從而,

所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等,考查運(yùn)算能力,考查分類(lèi)討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

 

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給出問(wèn)題:已知滿足,試判定的形狀.某學(xué)生的解答如下:

解:(i)由余弦定理可得,

,

,

,

是直角三角形.

(ii)設(shè)外接圓半徑為.由正弦定理可得,原式等價(jià)于

,

是等腰三角形.

綜上可知,是等腰直角三角形.

請(qǐng)問(wèn):該學(xué)生的解答是否正確?若正確,請(qǐng)?jiān)谙旅鏅M線中寫(xiě)出解題過(guò)程中主要用到的思想方法;若不正確,請(qǐng)?jiān)谙旅鏅M線中寫(xiě)出你認(rèn)為本題正確的結(jié)果.           .

 

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如圖,已知圓錐體的側(cè)面積為,底面半徑互相垂直,且,是母線的中點(diǎn).

(1)求圓錐體的體積;

(2)異面直線所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示).

【解析】本試題主要考查了圓錐的體積和異面直線的所成的角的大小的求解。

第一問(wèn)中,由題意,,故

從而體積.2中取OB中點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)PH,AH.

由P是SB的中點(diǎn)知PH//SO,則(或其補(bǔ)角)就是異面直線SO與PA所成角.

由SO平面OAB,PH平面OAB,PHAH.在OAH中,由OAOB得

中,,PH=1/2SB=2,

,所以異面直線SO與P成角的大arctan

解:(1)由題意,,

從而體積.

(2)如圖2,取OB中點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)PH,AH.

由P是SB的中點(diǎn)知PH//SO,則(或其補(bǔ)角)就是異面直線SO與PA所成角.

由SO平面OAB,PH平面OAB,PHAH.

OAH中,由OAOB得

中,,PH=1/2SB=2,

,所以異面直線SO與P成角的大arctan

 

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