（文）已知等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式分別為a_n=2（n-1）、，（其中n∈N*）．
（1）求數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和；
（2）求數(shù)列{b_n}各項(xiàng)的和；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足，求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)的和．

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已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為p，公差為d（d＞0）．對(duì)于不同的自然數(shù)n，直線x=a_n與x軸和指數(shù)函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)A_n與B_n（如圖所示），記B_n的坐標(biāo)為（a_n，b_n），直角梯形A₁A₂B₂B₁、A₂A₃B₃B₂的面積分別為s₁和s₂，一般地記直角梯形A_nA_n+1B_n+1B_n的面積為s_n．
（1）求證數(shù)列{s_n}是公比絕對(duì)值小于1的等比數(shù)列；
（2）設(shè){a_n}的公差d=1，是否存在這樣的正整數(shù)n，構(gòu)成以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長(zhǎng)的三角形？并請(qǐng)說明理由；
（3）（理科做，文科不做）設(shè){a_n}的公差d=1，是否存在這樣的實(shí)數(shù)p使得（1）中無窮等比數(shù)列{s_n}各項(xiàng)的和S＞2010？如果存在，給出一個(gè)符合條件的p值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：2¹⁰=1024）

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說明

    1. 本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評(píng)分.

    2. 評(píng)閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱到底，不要因?yàn)榭忌�的解答中出現(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱. 當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響程度決定后面部分的給分，這時(shí)原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤，就不給分.

    3. 第17題至第21題中右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題累加分?jǐn)?shù).

    4. 給分或扣分均以1分為單位.

答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1．；   2．；   3．；   4．；   5．（理）元；（注：課本答案為）（文）0.7；

6．（理）； （文）200赫茲；   7．（理）5；  （文）p=4．

8．（理）； （文）

9．；    10．（理）；  （文）方程為．

11．（理）；  （文）；    12．12．

13――16：A；  C ；  C；  理B文A

17．設(shè)熊貓居室的總面積為平方米，由題意得：．… 6分

解法1：，因?yàn)?sub>，而當(dāng)時(shí)，取得最大值75． 10分

所以當(dāng)熊貓居室的寬為5米時(shí)，它的面積最大，最大值為75平方米．      …… 12分

解法2：=75，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值75．                        …… 10分

所以當(dāng)熊貓居室的寬為5米時(shí)，它的面積最大，最大值為75平方米．      …… 12分

18．理：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為、、、、、．                                  ……2分

設(shè)平面的法向量為，則，．

因?yàn)?sub>，，                          ……3分

，，

所以解得，取，得平面一個(gè)法向量，且．                                                     ……5分

（1）在平面取一點(diǎn)，可得，于是頂點(diǎn)到平面的距離，所以頂點(diǎn)到平面的距離為，         ……8分

（2）因?yàn)槠矫?sub>的一個(gè)法向量為，設(shè)與的夾角為a，則

，                                        ……12分

結(jié)合圖形可判斷得二面角是一個(gè)銳角，它的大小為．……14分

文：（1）圓錐底面積為 cm²，                                    ……1分

設(shè)圓錐高為cm，由體積，                             ……5分

由cm³得cm；                                        ……8分

（2）母線長(zhǎng)cm，                                             ……9分

設(shè)底面周長(zhǎng)為，則該圓錐的側(cè)面積=，                          ……12分

所以該圓錐的側(cè)面積=cm²．                                     ……14分

19．（理）（1）；                                          ……3分

（2）當(dāng)時(shí)，（）

， ……6分

所以，（）．                                      ……8分

（3）與（2）同理可求得：，                       ……10分

設(shè)=，

則，（用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法），相減得

，所以

．                          ……14分

（文）（1）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，則．     ……3分

（2）公比，所以由無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和公式得：

數(shù)列各項(xiàng)的和為=1．                                     ……7分

（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，=

；                                           ……11分

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=．    ……14分

即．                   ……15分

20．（1）即，又，2分

所以，從而的取值范圍是．      ……5分

（2），令，則，因?yàn)?sub>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，8分

由解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；                                             ……11分

下面求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值．

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為減函數(shù)．所以函數(shù)的最小值為．            ……12分

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)的證明：任取，，因?yàn)?sub>，，所以，，由單調(diào)性的定義函數(shù)在上為減函數(shù)．

于是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值．                               ……15分

21．（1）由解得；由解得．

由點(diǎn)斜式寫出兩條直線的方程，，

所以直線AB的斜率為．                                   ……4分

（2）推廣的評(píng)分要求分三層

一層:點(diǎn)P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般（3分，問題1分、解答2分）

例：1．已知是拋物線上的相異兩點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)且斜率為-1的直線，與過點(diǎn)且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點(diǎn)P，求直線AB的斜率；

2．已知是拋物線上的相異兩點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)且斜率為-k 1的直線，與過點(diǎn)且斜率為k的直線相交于拋物線上的一點(diǎn)P（4，4），求直線AB的斜率；

3．已知是拋物線上的相異兩點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)且斜率為-1的直線，與過點(diǎn)且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點(diǎn)P，求直線AB的斜率； AB的斜率的值．

二層:兩個(gè)一般或推廣到其它曲線（4分，問題與解答各占2分）

例：4．已知點(diǎn)R是拋物線上的定點(diǎn)．過點(diǎn)P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，試計(jì)算直線AB的斜率．

三層:滿分（對(duì)拋物線，橢圓，雙曲線或?qū)λ�有圓錐曲線成立的想法．）（7分，問題3分、解答4分）

例如：5.已知拋物線上有一定點(diǎn)P，過點(diǎn)P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，試計(jì)算直線AB的斜率．

過點(diǎn)P（），斜率互為相反數(shù)的直線可設(shè)為，，其中。

 由得，所以

同理，把上式中換成得，所以

當(dāng)P為原點(diǎn)時(shí)直線AB的斜率不存在，當(dāng)P不為原點(diǎn)時(shí)直線AB的斜率為。

（3）（理）點(diǎn)，設(shè)，則．

設(shè)線段的中點(diǎn)是，斜率為，則=．12分

所以線段的垂直平分線的方程為，

又點(diǎn)在直線上，所以，而，于是．                                                       ……13分

 (斜率