題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分14分)本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分。有時可用函數(shù)
描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識的掌握程度,其中x表示某學(xué)科知識的學(xué)習(xí)次數(shù)(),表示對該學(xué)科知識的掌握程度,正實數(shù)a與學(xué)科知識有關(guān)。
(1) 證明:當(dāng)時,掌握程度的增加量總是下降;
(2) 根據(jù)經(jīng)驗,學(xué)科甲、乙、丙對應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為,,。當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識6次時,掌握程度是85%,請確定相應(yīng)的學(xué)科。
(本題滿分14分)本題共有2個小題,第1小題滿分7分,第2小題滿分7分.
已知△的周長為,且.
。1)求邊長的值;
。2)若(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).
(本題滿分14分)本題共有2個小題,第1小題滿分8分,第2小題滿分6分.
已知函數(shù), .
(1)若,求函數(shù)的值;
(2)求函數(shù)的值域.
(本題滿分14分)本題共有2個小題,每小題滿分各7分.
如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,垂直于底面,,分別為的中點.
(1)求證:;
(2)求與平面所成的角.
(本題滿分14分)本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.
有時可用函數(shù)
描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識的掌握程度,其中x表示某學(xué)科知識的學(xué)習(xí)次數(shù)(),表示對該學(xué)科知識的掌握程度,正實數(shù)a與學(xué)科知識有關(guān).
(1) 證明:當(dāng)時,掌握程度的增加量總是下降;
(2) 根據(jù)經(jīng)驗,學(xué)科甲、乙、丙對應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為,,
.當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識6次時,掌握程度是85%,請確定相應(yīng)的學(xué)科.
2006年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試
上海 數(shù)學(xué)試卷(理工農(nóng)醫(yī)類)
考生注意:
1.答卷前,考生務(wù)必將姓名、高考準(zhǔn)考證號、校驗碼等填寫清楚.
2.本試卷共有22道試題,滿分150分,考試時間120分鐘.請考生用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上.
一.填空題(本大題滿分48分)本大題共有12題,只要求直接填寫結(jié)果,每個空格填對得4
分,否則一律得零分.)
1.已知集合A=-1,3,2-1,集合B=3,.若BA,則實數(shù)= ;
解:由,經(jīng)檢驗,為所求;
2.已知圓-4-4+=0的圓心是點P,則點P到直線--1=0的距離是 ;
解:由已知得圓心為:,由點到直線距離公式得:;
3.若函數(shù)=(>0,且≠1)的反函數(shù)的圖像過點(2,-1),則= ;
解:由互為反函數(shù)關(guān)系知,過點,代入得:;
4.計算:= ;
解:;
5.若復(fù)數(shù)同時滿足-=2,=(為虛數(shù)單位),則= ;
解:已知;
6.如果=,且是第四象限的角,那么= ;
解:已知;
7.已知橢圓中心在原點,一個焦點為F(-2,0),且長軸長是短軸長的2倍,則該橢圓的
標(biāo)準(zhǔn)方程是 ;
解:已知為所求;
8.在極坐標(biāo)系中,O是極點,設(shè)點A(4,),B(5,-),則△OAB的面積是 ;
解:如圖△OAB中,
(平方單位);
9.兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成,每卷1本,共8本.將它們?nèi)我獾嘏懦?/p>
一排,左邊4本恰好都屬于同一部小說的概率是 (結(jié)果用分數(shù)表示);
解:分為二步完成: 1) 兩套中任取一套,再作全排列,有種方法;
2) 剩下的一套全排列,有種方法;
所以,所求概率為:;
10.如果一條直線與一個平面垂直,則稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體
中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是 ;
解:正方體中,一個面有四條棱與之垂直,六個面,共構(gòu)成24個“正交線面對”;而正方
體的六個對角截面中,每個對角面又有兩條面對角線與之垂直,共構(gòu)成12個“正交線
面對”,所以共有36個“正交線面對”;
11.若曲線=||+1與直線=+沒有公共點,則、分別應(yīng)滿足的條件是 .
解:作出函數(shù)的圖象,
如右圖所示:
所以,;
12.三個同學(xué)對問題“關(guān)于的不等式+25+|-5|≥在[1,12]上恒成立,求實數(shù)
的取值范圍”提出各自的解題思路.
甲說:“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”.
乙說:“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù),右邊僅含常數(shù),求函數(shù)的最值”.
丙說:“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù),作出函數(shù)圖像”.
參考上述解題思路,你認為他們所討論的問題的正確結(jié)論,即的取值范圍是 ;
解:由+25+|-5|≥,
而,等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立;
且,等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立;
所以,,等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立;故;
二.選擇題(本大題滿分16分)本大題共有4題,每題都給出代號為A、B、C、D的四個結(jié)
論,其中有且只有一個結(jié)論是正確的,必本大題滿分16分)須把正確結(jié)論的代號寫在題
后的圓括號內(nèi),選對得4分,不選、選錯或者選出的代號超過一個(不論是否都寫在圓括
號內(nèi)),一律得零分.
(A); (B);
(C); (D);
解:由向量定義易得, (C)選項錯誤;;
14.若空間中有四個點,則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面上”
的 [答]( )
(A)充分非必要條件;(B)必要非充分條件;(C)充要條件;(D)非充分非必要條件;
解: 充分性成立: “這四個點中有三點在同一直線上”有兩種情況:
1)第四點在共線三點所在的直線上,可推出“這四個點在同一平面上”;
2)第四點不在共線三點所在的直線上,可推出“這四點在唯一的一個平面內(nèi)”;
必要性不成立:“四個點在同一平面上”可能推出“兩點分別在兩條相交或平行直線上”;
故選(A)
15.若關(guān)于的不等式≤+4的解集是M,則對任意實常數(shù),總有[答]( )
(A)2∈M,0∈M; (B)2M,0M; (C)2∈M,0M; (D)2M,0∈M;
解:選(A)
方法1:代入判斷法,將分別代入不等式中,判斷關(guān)于的不等式解集是
否為;
方法2:求出不等式的解集:
≤+4;
16.如圖,平面中兩條直線和相交于點O,對于平面上任意一點M,若、分別是M到
已知常數(shù)≥0,≥0,給出下列命題:
① 若==0,則“距離坐標(biāo)”為(0,0)的
點有且僅有1個;
② 若=0,且+≠0,則“距離坐標(biāo)”為
(,)的點有且僅有2個;
③ 若≠0,則“距離坐標(biāo)”為(,)的點有且僅有4個.
上述命題中,正確命題的個數(shù)是 [答]( )
(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.
解:選(D)
① 正確,此點為點; ② 正確,注意到為常數(shù),由中必有一個為零,另
一個非零,從而可知有且僅有2個點,這兩點在其中一條直線上,且到另一直線的距
離為(或); ③ 正確,四個交點為與直線相距為的兩條平行線和與直線
相距為的兩條平行線的交點;
三.解答題(本大題滿分86分)本大題共有6題,解答下列各題必須寫出必要的步驟.
17.(本題滿分12分)
求函數(shù)的值域和最小正周期.
[解]
∴ 函數(shù)的值域是,最小正周期是;
18.(本題滿分12分)
如圖,當(dāng)甲船位于A處時獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待
營救.甲船立即前往救援,同時把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C處的乙
船,試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援(角度精確到)?
[解] 連接BC,由余弦定理得
BC2=202+102-2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10.
∵, ∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船應(yīng)朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援.
19.(本題滿分14分)本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分)
在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為2的菱形,∠DAB=60,對角線AC與BD相交
(1)求四棱錐P-ABCD的體積;
(2)若E是PB的中點,求異面直線
DE與PA所成角的大。ńY(jié)果用
反三角函數(shù)值表示).
[解](1)在四棱錐P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得
∠PBO是PB與平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,
于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面積為2.
∴四棱錐P-ABCD的體積V=×2×=2.
(2)解法一:以O(shè)為坐標(biāo)原點,射線OB、OC、
OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立
空間直角坐標(biāo)系.
在Rt△AOB中OA=,于是,點A、B、
D、P的坐標(biāo)分別是A(0,-,0),
B (1,0,0), D (-1,0,0), P (0,0, ).
E是PB的中點,則E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).
設(shè)的夾角為θ,有cosθ=,θ=arccos,
∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos;
解法二:取AB的中點F,連接EF、DF.
由E是PB的中點,得EF∥PA,
∴∠FED是異面直線DE與PA所成
角(或它的補角),
在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP,
于是, 在等腰Rt△POA中,
PA=,則EF=.
在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=,
cos∠FED==
∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos.
20.(本題滿分14分)本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分)
在平面直角坐標(biāo)系O中,直線與拋物線=2相交于A、B兩點.
(1)求證:“如果直線過點T(3,0),那么=3”是真命題;
(2)寫出(1)中命題的逆命題,判斷它是真命題還是假命題,并說明理由.
[解](1)設(shè)過點T(3,0)的直線交拋物線y2=2x于點A(x1,y1)、B(x2,y2).
當(dāng)直線的鈄率不存在時,直線的方程為x=3,此時,直線與拋物線相交于點A(3,)、B(3,-). ∴=3;
當(dāng)直線的鈄率存在時,設(shè)直線的方程為,其中,
由得
又 ∵ ,
∴,
綜上所述,命題“如果直線過點T(3,0),那么=3”是真命題;
(2)逆命題是:設(shè)直線交拋物線y2=2x于A、B兩點,如果=3,那么該直線過點T(3,0).該命題是假命題.
例如:取拋物線上的點A(2,2),B(,1),此時=3,
直線AB的方程為:,而T(3,0)不在直線AB上;
說明:由拋物線y2=2x上的點A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3,可得y1y2=-6,
或y1y2=2,如果y1y2=-6,可證得直線AB過點(3,0);如果y1y2=2,可證得直線
AB過點(-1,0),而不過點(3,0).
21.(本題滿分16分,本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題
滿分6分)
已知有窮數(shù)列共有2項(整數(shù)≥2),首項=2.設(shè)該數(shù)列的前項和為,且=+2(=1,2,┅,2-1),其中常數(shù)>1.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若=2,數(shù)列滿足=(=1,2,┅,2),
求數(shù)列的通項公式;
(3)若(2)中的數(shù)列滿足不等式|-|+|-|+┅+|-|+|-|
≤4,求的值.
(1) [證明] 當(dāng)n=1時,a2=2a,則=a;
2≤n≤2k-1時, an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2,
an+1-an=(a-1) an, ∴=a, ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(2) 解:由(1) 得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2,
bn=(n=1,2,…,2k).
(3)設(shè)bn≤,解得n≤k+,又n是正整數(shù),于是當(dāng)n≤k時, bn<;
當(dāng)n≥k+1時, bn>.
原式=(-b1)+(-b2)+…+(-bk)+(bk+1-)+…+(b2k-)
=(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk)
==.
當(dāng)≤4,得k2-8k+4≤0, 4-2≤k≤4+2,又k≥2,
∴當(dāng)k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立.
22.(本題滿分18分,本題共有3個小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,第3小題
滿分9分)
已知函數(shù)=+有如下性質(zhì):如果常數(shù)>0,那么該函數(shù)在0,上是減函數(shù),在,+∞上是增函數(shù).
(1)如果函數(shù)=+(>0)的值域為6,+∞,求的值;
(2)研究函數(shù)=+(常數(shù)>0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,并說明理由;
(3)對函數(shù)=+和=+(常數(shù)>0)作出推廣,使它們都是你所推廣的
函數(shù)的特例.研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性(只須寫出結(jié)論,不必證明),并求函數(shù)
=+(是正整數(shù))在區(qū)間[,2]上的最大值和最小值(可利
用你的研究結(jié)論).
[解](1)函數(shù)y=x+(x>0)的最小值是2,則2=6, ∴b=log29.
(2) 設(shè)0<x1<x2,y2-y1=.
當(dāng)<x1<x2時, y2>y1, 函數(shù)y=在[,+∞)上是增函數(shù);
當(dāng)0<x1<x2<時y2<y1, 函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù).
又y=是偶函數(shù),于是,
該函數(shù)在(-∞,-]上是減函數(shù), 在[-,0)上是增函數(shù);
(3) 可以把函數(shù)推廣為y=(常數(shù)a>0),其中n是正整數(shù).
當(dāng)n是奇數(shù)時,函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞) 上是增函數(shù),
在(-∞,-]上是增函數(shù), 在[-,0)上是減函數(shù);
當(dāng)n是偶數(shù)時,函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞) 上是增函數(shù),
在(-∞,-]上是減函數(shù), 在[-,0)上是增函數(shù);
F(x)=+
=
因此F(x) 在 [,1]上是減函數(shù),在[1,2]上是增函數(shù).
所以,當(dāng)x=或x=2時,F(xiàn)(x)取得最大值()n+()n;
當(dāng)x=1時F(x)取得最小值2n+1;
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