第三部分 運(yùn)動(dòng)學(xué)

第一講　基本知識(shí)介紹

一． 基本概念

1．  質(zhì)點(diǎn)

2．  參照物

3．  參照系——固連于參照物上的坐標(biāo)系（解題時(shí)要記住所選的是參照系，而不僅是一個(gè)點(diǎn)）

4．絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)：v_絕=v_相+v_牽 

二．運(yùn)動(dòng)的描述

1．位置：r=r(t) 

2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t)

3．速度：v=lim_Δt→0Δr/Δt.在大學(xué)教材中表述為：v=dr/dt, 表示r對(duì)t 求導(dǎo)數(shù)

5．以上是運(yùn)動(dòng)學(xué)中的基本物理量，也就是位移、位移的一階導(dǎo)數(shù)、位移的二階導(dǎo)數(shù)�？墒�

三階導(dǎo)數(shù)為什么不是呢？因?yàn)榕ｎD第二定律是F=ma,即直接和加速度相聯(lián)系。（a對(duì)t的導(dǎo)數(shù)叫“急動(dòng)度”。）

6．由于以上三個(gè)量均為矢量，所以在運(yùn)算中用分量表示一般比較好

三．等加速運(yùn)動(dòng)

v(t)=v₀+at           r(t)=r₀+v₀t+1/2 at² 

 一道經(jīng)典的物理問(wèn)題：二次世界大戰(zhàn)中物理學(xué)家曾經(jīng)研究，當(dāng)大炮的位置固定，以同一速度v₀沿各種角度發(fā)射，問(wèn)：當(dāng)飛機(jī)在哪一區(qū)域飛行之外時(shí)，不會(huì)有危險(xiǎn)？（注：結(jié)論是這一區(qū)域?yàn)橐粧佄锞�，此拋物線是所有炮彈拋物線的包絡(luò)線。此拋物線為在大炮上方h=v²/2g處，以v₀平拋物體的軌跡。） 

練習(xí)題：

一盞燈掛在離地板高l₂,天花板下面l₁處。燈泡爆裂，所有碎片以同樣大小的速度v 朝各個(gè)方向飛去。求碎片落到地板上的半徑（認(rèn)為碎片和天花板的碰撞是完全彈性的，即切向速度不變，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非彈性的，即碰后靜止。）

四．剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1． 我們講過(guò)的圓周運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)而不是轉(zhuǎn)動(dòng) 

  2．  角位移φ=φ（t）, 角速度ω=dφ/dt , 角加速度ε=dω/dt

 3．  有限的角位移是標(biāo)量，而極小的角位移是矢量

4．  同一剛體上兩點(diǎn)的相對(duì)速度和相對(duì)加速度 

兩點(diǎn)的相對(duì)距離不變，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，V_A=V_B+V_AB,在AB連線上

投影：[V_A]_AB=[V_B]_AB,a_A=a_B+a_AB,a_AB=_,aⁿ_AB+_,a^τ_AB, _,a^τ_AB垂直于AB,_,aⁿ_AB=V_AB²/AB 

例：A，B，C三質(zhì)點(diǎn)速度分別V_A ，V_B  ，V_C      

求G的速度。

五．課后習(xí)題：

一只木筏離開(kāi)河岸，初速度為V，方向垂直于岸邊，航行路線如圖。經(jīng)過(guò)時(shí)間T木筏劃到路線上標(biāo)有符號(hào)處。河水速度恒定U用作圖法找到在2T，3T，4T時(shí)刻木筏在航線上的確切位置。

五、處理問(wèn)題的一般方法

（1）用微元法求解相關(guān)速度問(wèn)題

例1：如圖所示，物體A置于水平面上，A前固定一滑輪B，高臺(tái)上有一定滑輪D，一根輕繩一端固定在C點(diǎn)，再繞過(guò)B、D，BC段水平，當(dāng)以恒定水平速度v拉繩上的自由端時(shí)，A沿水平面前進(jìn)，求當(dāng)跨過(guò)B的兩段繩子的夾角為α?xí)r，A的運(yùn)動(dòng)速度。

（v_A＝）

（2）拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的一般處理方法

1. 平拋運(yùn)動(dòng)
2. 斜拋運(yùn)動(dòng)
3. 常見(jiàn)的處理方法

（1）將斜上拋運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng)

（2）將沿斜面和垂直于斜面方向作為x、y軸，分別分解初速度和加速度后用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解題

（3）將斜拋運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的斜向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，用矢量合成法則求解

例2：在擲鉛球時(shí)，鉛球出手時(shí)距地面的高度為h，若出手時(shí)的速度為V₀，求以何角度擲球時(shí)，水平射程最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)射程為多少？

（α=、 x=）

第二講 運(yùn)動(dòng)的合成與分解、相對(duì)運(yùn)動(dòng)

（一）知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)撥

1. 力的獨(dú)立性原理：各分力作用互不影響，單獨(dú)起作用。
2. 運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理：分運(yùn)動(dòng)之間互不影響，彼此之間滿足自己的運(yùn)動(dòng)規(guī)律
3. 力的合成分解：遵循平行四邊形定則，方法有正交分解，解直角三角形等
4. 運(yùn)動(dòng)的合成分解：矢量合成分解的規(guī)律方法適用
1. 位移的合成分解 B.速度的合成分解 C.加速度的合成分解

參考系的轉(zhuǎn)換：動(dòng)參考系，靜參考系

相對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)

絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于靜參考系統(tǒng)（通常指固定于地面的參考系）的運(yùn)動(dòng)

牽連運(yùn)動(dòng)：動(dòng)參考系相對(duì)于靜參考系的運(yùn)動(dòng)

（5）位移合成定理：S_{A對(duì)地}=S_A對(duì)B+S_{B對(duì)地}

速度合成定理：V_絕對(duì)=V_相對(duì)+V_牽連

加速度合成定理：a_絕對(duì)=a_相對(duì)+a_牽連

（二）典型例題

（1）火車在雨中以30m/s的速度向南行駛，雨滴被風(fēng)吹向南方，在地球上靜止的觀察者測(cè)得雨滴的徑跡與豎直方向成21^。角，而坐在火車?yán)锍丝涂吹接甑蔚膹桔E恰好豎直方向。求解雨滴相對(duì)于地的運(yùn)動(dòng)。

提示：矢量關(guān)系入圖

答案：83.7m/s

（2）某人手拿一只停表，上了一次固定樓梯，又以不同方式上了兩趟自動(dòng)扶梯，為什么他可以根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算自動(dòng)扶梯的臺(tái)階數(shù)？

提示：V人對(duì)梯=n1/t1

      V梯對(duì)地=n/t2

      V人對(duì)地=n/t3

V人對(duì)地= V人對(duì)梯+ V梯對(duì)地

答案：n=t₂t₃n₁/（t₂-t₃）t₁

(3)某人駕船從河岸A處出發(fā)橫渡，如果使船頭保持跟河岸垂直的方向航行，則經(jīng)10min后到達(dá)正對(duì)岸下游120m的C處，如果他使船逆向上游，保持跟河岸成а角的方向航行，則經(jīng)過(guò)12.5min恰好到達(dá)正對(duì)岸的B處，求河的寬度。

提示：120=V水*600

        D=V船*600

 答案：200m

（4）一船在河的正中航行，河寬l=100m，流速u=5m/s，并在距船s=150m的下游形成瀑布，為了使小船靠岸時(shí)，不至于被沖進(jìn)瀑布中，船對(duì)水的最小速度為多少？

提示：如圖船航行

答案：1.58m/s

（三）同步練習(xí)

1.一輛汽車的正面玻璃一次安裝成與水平方向傾斜角為β₁=30°，另一次安裝成傾角為β₂=15°。問(wèn)汽車兩次速度之比為多少時(shí)，司機(jī)都是看見(jiàn)冰雹都是以豎直方向從車的正面玻璃上彈開(kāi)？（冰雹相對(duì)地面是豎直下落的）

2、模型飛機(jī)以相對(duì)空氣v=39km/h的速度繞一個(gè)邊長(zhǎng)2km的等邊三角形飛行，設(shè)風(fēng)速u = 21km/h ，方向與三角形的一邊平行并與飛機(jī)起飛方向相同，試求：飛機(jī)繞三角形一周需多少時(shí)間？

3.圖為從兩列蒸汽機(jī)車上冒出的兩股長(zhǎng)幅氣霧拖尾的照片（俯視）。兩列車沿直軌道分別以速度v₁=50km/h和v₂=70km/h行駛，行駛方向如箭頭所示，求風(fēng)速。

4、細(xì)桿AB長(zhǎng)L ，兩端分別約束在x 、 y軸上運(yùn)動(dòng)，（1）試求桿上與A點(diǎn)相距aL（0＜ a ＜1)的P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡；（2）如果v_A為已知，試求P點(diǎn)的x 、 y向分速度v_Px和v_Py對(duì)桿方位角θ的函數(shù)。

（四）同步練習(xí)提示與答案

1、提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角形。答案為：3。

2、提示：三角形各邊的方向?yàn)轱w機(jī)合速度的方向（而非機(jī)頭的指向）；

第二段和第三段大小相同。

參見(jiàn)右圖，顯然：

v² =  + u² － 2v_合ucos120°

可解出 v_合 = 24km/h 。

答案：0.2hour（或12min.）。

3、提示：方法與練習(xí)一類似。答案為：3

4、提示：（1）寫(xiě)成參數(shù)方程后消參數(shù)θ。

（2）解法有講究：以A端為參照， 則桿上各點(diǎn)只繞A轉(zhuǎn)動(dòng)。但鑒于桿子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情形如右圖，應(yīng)有v_牽 = v_Acosθ，v_轉(zhuǎn) = v_A，可知B端相對(duì)A的轉(zhuǎn)動(dòng)線速度為：v_轉(zhuǎn) + v_Asinθ=  。

P點(diǎn)的線速度必為  = v_相 

所以 v_Px = v_相cosθ+ v_Ax ，v_Py = v_Ay － v_相sinθ

答案：（1） +  = 1 ，為橢圓；（2）v_Px = av_Actgθ ，v_Py =（1 － a）v_A

第七部分 熱學(xué)

熱學(xué)知識(shí)在奧賽中的要求不以深度見(jiàn)長(zhǎng)，但知識(shí)點(diǎn)卻非常地多（考綱中羅列的知識(shí)點(diǎn)幾乎和整個(gè)力學(xué)——前五部分——的知識(shí)點(diǎn)數(shù)目相等）。而且，由于高考要求對(duì)熱學(xué)的要求逐年降低（本屆尤其低得“離譜”，連理想氣體狀態(tài)方程都沒(méi)有了），這就客觀上給奧賽培訓(xùn)增加了負(fù)擔(dān)。因此，本部分只能采新授課的培訓(xùn)模式，將知識(shí)點(diǎn)和例題講解及時(shí)地結(jié)合，爭(zhēng)取讓學(xué)員學(xué)一點(diǎn)，就領(lǐng)會(huì)一點(diǎn)、鞏固一點(diǎn)，然后再層疊式地往前推進(jìn)。

一、分子動(dòng)理論

1、物質(zhì)是由大量分子組成的（注意分子體積和分子所占據(jù)空間的區(qū)別）

對(duì)于分子（單原子分子）間距的計(jì)算，氣體和液體可直接用，對(duì)固體，則與分子的空間排列（晶體的點(diǎn)陣）有關(guān)。

【例題1】如圖6-1所示，食鹽（N_aCl）的晶體是由鈉離子（圖中的白色圓點(diǎn)表示）和氯離子（圖中的黑色圓點(diǎn)表示）組成的，離子鍵兩兩垂直且鍵長(zhǎng)相等。已知食鹽的摩爾質(zhì)量為58.5×10^－3kg/mol，密度為2.2×10³kg/m³，阿伏加德羅常數(shù)為6.0×10²³mol^－1，求食鹽晶體中兩個(gè)距離最近的鈉離子中心之間的距離。

【解說(shuō)】題意所求即圖中任意一個(gè)小立方塊的變長(zhǎng)（設(shè)為a）的倍，所以求a成為本題的焦點(diǎn)。

由于一摩爾的氯化鈉含有N_A個(gè)氯化鈉分子，事實(shí)上也含有2N_A個(gè)鈉離子（或氯離子），所以每個(gè)鈉離子占據(jù)空間為 v = 

而由圖不難看出，一個(gè)離子占據(jù)的空間就是小立方體的體積a³ ，

即 a³ =  = ，最后，鄰近鈉離子之間的距離l = a

【答案】3.97×10^－10m 。

〖思考〗本題還有沒(méi)有其它思路？

〖答案〗每個(gè)離子都被八個(gè)小立方體均分，故一個(gè)小立方體含有×8個(gè)離子 = 分子，所以…（此法普遍適用于空間點(diǎn)陣比較復(fù)雜的晶體結(jié)構(gòu)。）

2、物質(zhì)內(nèi)的分子永不停息地作無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)

固體分子在平衡位置附近做微小振動(dòng)（振幅數(shù)量級(jí)為0.1），少數(shù)可以脫離平衡位置運(yùn)動(dòng)。液體分子的運(yùn)動(dòng)則可以用“長(zhǎng)時(shí)間的定居（振動(dòng)）和短時(shí)間的遷移”來(lái)概括，這是由于液體分子間距較固體大的結(jié)果。氣體分子基本“居無(wú)定所”，不停地遷移（常溫下，速率數(shù)量級(jí)為10²m/s）。

無(wú)論是振動(dòng)還是遷移，都具備兩個(gè)特點(diǎn)：a、偶然無(wú)序（雜亂無(wú)章）和統(tǒng)計(jì)有序（分子數(shù)比率和速率對(duì)應(yīng)一定的規(guī)律——如麥克斯韋速率分布函數(shù)，如圖6-2所示）；b、劇烈程度和溫度相關(guān)。

氣體分子的三種速率。最可幾速率v_P ：f(v) = （其中ΔN表示v到v +Δv內(nèi)分子數(shù)，N表示分子總數(shù)）極大時(shí)的速率，v_P == ；平均速率：所有分子速率的算術(shù)平均值， ==；方均根速率：與分子平均動(dòng)能密切相關(guān)的一個(gè)速率，==〔其中R為普適氣體恒量，R = 8.31J/(mol.K)。k為玻耳茲曼常量，k =  = 1.38×10^－23J/K 〕

【例題2】證明理想氣體的壓強(qiáng)P = n，其中n為分子數(shù)密度，為氣體分子平均動(dòng)能。

【證明】氣體的壓強(qiáng)即單位面積容器壁所承受的分子的撞擊力，這里可以設(shè)理想氣體被封閉在一個(gè)邊長(zhǎng)為a的立方體容器中，如圖6-3所示。

考查yoz平面的一個(gè)容器壁，P =            ①

設(shè)想在Δt時(shí)間內(nèi)，有N_x個(gè)分子（設(shè)質(zhì)量為m）沿x方向以恒定的速率v_x碰撞該容器壁，且碰后原速率彈回，則根據(jù)動(dòng)量定理，容器壁承受的壓力

 F ==                            ②

在氣體的實(shí)際狀況中，如何尋求N_x和v_x呢？

考查某一個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)，設(shè)它的速度為v ，它沿x、y、z三個(gè)方向分解后，滿足

v² =  +  + 

分子運(yùn)動(dòng)雖然是雜亂無(wú)章的，但仍具有“偶然無(wú)序和統(tǒng)計(jì)有序”的規(guī)律，即

 =  +  +  = 3                    ③

這就解決了v_x的問(wèn)題。另外，從速度的分解不難理解，每一個(gè)分子都有機(jī)會(huì)均等的碰撞3個(gè)容器壁的可能。設(shè)Δt = ，則

 N_x = ·3N_總 = na³                         ④

注意，這里的是指有6個(gè)容器壁需要碰撞，而它們被碰的幾率是均等的。

結(jié)合①②③④式不難證明題設(shè)結(jié)論。

〖思考〗此題有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的處理方法？

〖答案〗有�！懊�令”所有分子以相同的速率v沿+x、?x、+y、?y、+z、?z這6個(gè)方向運(yùn)動(dòng)（這樣造成的宏觀效果和“雜亂無(wú)章”地運(yùn)動(dòng)時(shí)是一樣的），則 N_x =N_總 = na³ ；而且v_x = v

所以，P =  = ==nm = n

3、分子間存在相互作用力（注意分子斥力和氣體分子碰撞作用力的區(qū)別），而且引力和斥力同時(shí)存在，宏觀上感受到的是其合效果。

分子力是保守力，分子間距改變時(shí)，分子力做的功可以用分子勢(shì)能的變化表示，分子勢(shì)能E_P隨分子間距的變化關(guān)系如圖6-4所示。

分子勢(shì)能和動(dòng)能的總和稱為物體的內(nèi)能。

二、熱現(xiàn)象和基本熱力學(xué)定律

1、平衡態(tài)、狀態(tài)參量

a、凡是與溫度有關(guān)的現(xiàn)象均稱為熱現(xiàn)象，熱學(xué)是研究熱現(xiàn)象的科學(xué)。熱學(xué)研究的對(duì)象都是有大量分子組成的宏觀物體，通稱為熱力學(xué)系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱系統(tǒng)）。當(dāng)系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不再隨時(shí)間變化時(shí)，這樣的狀態(tài)稱為平衡態(tài)。

b、系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí)，所有宏觀量都具有確定的值，這些確定的值稱為狀態(tài)參量（描述氣體的狀態(tài)參量就是P、V和T）。

c、熱力學(xué)第零定律（溫度存在定律）：若兩個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)中的任何一個(gè)系統(tǒng)都和第三個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)，那么，這兩個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)也必定處于熱平衡。這個(gè)定律反映出：處在同一熱平衡狀態(tài)的所有的熱力學(xué)系統(tǒng)都具有一個(gè)共同的宏觀特征，這一特征是由這些互為熱平衡系統(tǒng)的狀態(tài)所決定的一個(gè)數(shù)值相等的狀態(tài)函數(shù)，這個(gè)狀態(tài)函數(shù)被定義為溫度。

2、溫度

a、溫度即物體的冷熱程度，溫度的數(shù)值表示法稱為溫標(biāo)。典型的溫標(biāo)有攝氏溫標(biāo)t、華氏溫標(biāo)F（F = t + 32）和熱力學(xué)溫標(biāo)T（T = t + 273.15）。

b、（理想）氣體溫度的微觀解釋： = kT （i為分子的自由度 = 平動(dòng)自由度t + 轉(zhuǎn)動(dòng)自由度r + 振動(dòng)自由度s 。對(duì)單原子分子i = 3 ，“剛性”〈忽略振動(dòng)，s = 0，但r = 2〉雙原子分子i = 5 。對(duì)于三個(gè)或三個(gè)以上的多原子分子，i = 6 。能量按自由度是均分的），所以說(shuō)溫度是物質(zhì)分子平均動(dòng)能的標(biāo)志。

c、熱力學(xué)第三定律：熱力學(xué)零度不可能達(dá)到。（結(jié)合分子動(dòng)理論的觀點(diǎn)2和溫度的微觀解釋很好理解。）

3、熱力學(xué)過(guò)程

a、熱傳遞。熱傳遞有三種方式：傳導(dǎo)（對(duì)長(zhǎng)L、橫截面積S的柱體，Q = KSΔ

（8分）某同學(xué)學(xué)過(guò)平拋運(yùn)動(dòng)后，利用平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)測(cè)量某水平噴水口的流量Q（Q＝Sv，S為出水口的橫截面積，v為出水口的水速），方法如下：

（1）先用游標(biāo)卡尺測(cè)量噴水口的內(nèi)徑D。如下圖所示，A、B、C、D四個(gè)圖中，測(cè)量方式正確的是______________________。

（2）正確測(cè)量得到的結(jié)果如圖中的游標(biāo)卡尺所示，由此可得噴水口的內(nèi)徑D＝________cm。

（3）打開(kāi)水閥，讓水從噴水口水平噴出，穩(wěn)定后測(cè)得落地點(diǎn)距噴水口水平距離為x，豎直距離為y，則噴出的水的初速度v₀＝___________（用x，y、g表示）。

（4）根據(jù)上述測(cè)量值，可得水管內(nèi)水的流量Q＝__________（用D、x、y、g表示）