給出以下四個(gè)命題：

①函數(shù)在R上是增函數(shù)的充分不必要條件是對(duì)R恒成立；

②等比數(shù)列；

③把函數(shù)的圖像向左平移1個(gè)單位，則得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為；

④若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，則a₁＋a₂＋a₃＋a₄，a₅＋a₆＋a₇＋a₈，a₉＋a₁₀＋a₁₁＋a₁₂也一定成等比數(shù)列。

其中正確的是  ▲  ．

給出以下四個(gè)命題：

①函數(shù)在R上是增函數(shù)的充分不必要條件是對(duì)R恒成立；

②等比數(shù)列；

③把函數(shù)的圖像向左平移1個(gè)單位，則得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為；

④若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，則a₁＋a₂＋a₃＋a₄，a₅＋a₆＋a₇＋a₈，a₉＋a₁₀＋a₁₁＋a₁₂也一定成等比數(shù)列。

其中正確的是  ▲  ．

已知函數(shù)．（）

（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方，求的取值范圍．

【解析】第一問(wèn)中，首先利用在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立，然后分離參數(shù)法得到，進(jìn)而得到范圍；第二問(wèn)中，在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價(jià)于在區(qū)間上恒成立．然后求解得到。

解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則在區(qū)間上恒成立．  …………3分

即，而當(dāng)時(shí)，，故． …………5分

所以．                 …………6分

（2）令，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061918574873515193/SYS201206191859562664899842_ST.files/image016.png">．

在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價(jià)于在區(qū)間上恒成立．   

∵        …………9分

① 若，令，得極值點(diǎn)，，

當(dāng)，即時(shí)，在（，+∞)上有，此時(shí)在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有，不合題意；

當(dāng)，即時(shí)，同理可知，在區(qū)間上遞增，

有，也不合題意；                     …………11分

② 若，則有，此時(shí)在區(qū)間上恒有，從而在區(qū)間上是減函數(shù)；

要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，

由此求得的范圍是．        …………13分

綜合①②可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在直線下方．

 

已知函數(shù) R)．

（Ⅰ）若 ，求曲線  在點(diǎn)  處的的切線方程；

（Ⅱ）若  對(duì)任意  恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

第一問(wèn)中，利用當(dāng)時(shí)，．

因?yàn)榍悬c(diǎn)為（）， 則，                 

所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：

第二問(wèn)中，由題意得，即即可。

Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．

，                                  

因?yàn)榍悬c(diǎn)為（）， 則，                  

所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：．    ……5分

（Ⅱ）解法一：由題意得，即．      ……9分

（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）

，           

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">，所以恒成立，

故在上單調(diào)遞增，                            ……12分

要使恒成立，則，解得．……15分

解法二：                 ……7分

      （1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

故在上單調(diào)遞增，

即．                  ……10分

（2）當(dāng)時(shí)，令，對(duì)稱軸，

則在上單調(diào)遞增，又    

① 當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，

所以在單調(diào)遞增，

即，不合題意，舍去  

②當(dāng)時(shí)，， 不合題意，舍去 14分

綜上所述： 

 

（本小題滿分12分）已知函數(shù)

（I）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（II）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

（Ⅲ）求證：解：（1），其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052512313679685506/SYS201205251234077812428021_ST.files/image007.png">，則令，

則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在（0，1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值.                                       （3分）

函數(shù)在區(qū)間上存在極值，

 ，解得                                            （4分）

（2）不等式，即

令

（6分）

令，則，

，即在上單調(diào)遞增，                          （7分）

，從而，故在上單調(diào)遞增，       （7分）

          （8分）

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，

令，則，                               （9分）

                                                                       （10分）

以上各式相加得，

即，

即                           

                                        （12分）

。