1.一個袋中有5個白球和3個紅球,從中任取3個,則隨機(jī)變量為………………(  )

A.所取球的個數(shù)                B.其中所含白球的個數(shù)

C.所取白球和紅球的總數(shù)        D.袋中球的總數(shù)

解析 根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義,可知B中的試驗(yàn)結(jié)果ξ可能取得的值是一個變量,并可以按一定次序一一列出.而A、C、D中的試驗(yàn)結(jié)果是一常量,不符合隨機(jī)變量的定義.

答案 B

2.下面表可以作為離散型隨機(jī)變量的分布列. ……………………………(  )

ξ₁

-1

0

1

P

ξ₃

0

1

2

P

-

A.                                                       B.

ξ₃

0

1

2

P

ξ₄

1

2

1

P

    C.                                                                                              D.

分析 本題主要考查任一離散型隨機(jī)變量的分布列所具有的兩個性質(zhì)：

(1)P_i≥0,i=1,2,3,…；

(2)P₁+P₂+…=1.

解 對于B,由于P(0)=-＜0,不符合離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)(1)；

對于C,由于P(0)+ P(1)+P(2)= ++=＞1,不符合離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)(2)；

對于D,隨機(jī)變量ξ₄的取值x₁=x₃=1,不符合隨機(jī)變量的意義；

只有A完全符合離散型隨機(jī)變量的要求.

答案 A

3.某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下:

ξ

4

5

6

7

8

9

10

P

0.02

0.04

0.06

0.09

0.28

0.29

0.22

如果命中8~10環(huán)為優(yōu)秀,那么他射擊一次為優(yōu)秀的概率是…………………………(　　)

A.0.29　　            B.0.57                C.0.79                   D.0.51

分析 一般地,離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和.

解 根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列,有

P(ξ=8)=0.28,P(ξ=9)=0.29,P(ξ=10)=0.22,

所求概率為P(ξ≥8)=0.28+0.29+0.22=0.79.

ξ

-1

0

1

P

答案 C

4.已知ξ的分布列為

且設(shè)η=2ξ+1,則η的數(shù)學(xué)期望Eη的值是………………………………(  )

A.               B.                  C.1                     D.

分析 本題考查期望的計算公式,E(aξ+b)=aEξ+b.

解 因?yàn)镋ξ=-1×+0×+1×=,

所以Eη=E(2ξ+1)=2Eξ+1=2×()+1=.

答案 B

5.設(shè)某批電子管正品率為,次品率為,現(xiàn)對這批電子管進(jìn)行測試,設(shè)第ξ次首次測到正品,則P(ξ=3)等于……………………………………………………(  )

A.()²×                          B.()²×

C.()²×                          D.()²×

分析 本題考查離散型隨機(jī)變量的幾何分布.

解 根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計算公式,有P(ξ=3)= ××=()²×.

答案 B

6.箱子里有5個黑球,4個白球,每次隨機(jī)取出一個球,若取出黑球,則放回箱中,重新取球;若取出白球,則停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率為………………………………(  )

A.                    B.()³×

C. ×                     D.×()³×

分析 本題中,每次隨機(jī)取出一個球是等可能性事件,取出的是黑球或白球應(yīng)用的是等可能性事件的概率公式.由于放回取球使得各次取球之間取得黑球或白球的概率互不影響,因而各次取球才構(gòu)成相互獨(dú)立事件,才可以利用相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率計算公式.

解 由題意,第4次取球后停止的事件應(yīng)是前3次取出的均是黑球,第4次取出的是白球.因?yàn)槿〕龊谇蚝笠�放回箱中重新取�?故前3次每次取出黑球的概率都是=.第4次取出白球的概率是=,4次取球是相互獨(dú)立事件,彼此概率不受影響,利用相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的乘法公式可得“在第4次取球之后停止的概率”為×××=()³×().

答案 B

7.若ξ~B(5,0.1),那么P(ξ≤2)等于………………………………(  )

A.0.072 9                                        B.0.008 56

C.0.918 54                                D.0.991 44

分析 本題考查二項分布中互斥事件和的概率.一般地,離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和.

解 P(ξ≤2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)

=?(0.1)^k?(0.9)^5-k

=(0.9)⁵+5?(0.1)?(0.9)⁴+?(0.1)²?(0.9)³

=0.590 49+0.328 05+0.072 9=0.991 44.

答案 D

8.★隨機(jī)變量ξ的分布規(guī)律為P(ξ=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常數(shù),則P(＜ξ＜)的值為………………………………………………(  )

A.              B.             C.            D.

分析 本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及互斥事件和的概率計算.

解 由題意可知

,可得a=.

P(＜ξ＜)=P(ξ=1)+P(ξ=2)= ==×=.

答案 D

9.設(shè)ξ~B(n,p)且Eξ=15,Dξ=,則n、p的值分別是……………………(  )

A.50,              B.60,              C.50,             D.60,

分析 本題考查二項分布的期望與方差.

解 由題意,得   解得

答案 B

10.一射手對靶射擊,直到第一次擊中為止,每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,命中后尚余子彈數(shù)目ξ的數(shù)學(xué)期望為……………………………………(  )

A.2.44               B.2.386              C.2.376               D.2.4

分析 本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望的求法.解答本題要注意不要忽略ξ=0的情況.“ξ=0”的含義說明前3次一定沒有命中,但第4次有可能命中,也有可能沒有命中.

解

ξ

0

1

2

3

P

0.4³

0.4²×0.6

0.4×0.6

0.6

∴Eξ=0×0.4³+1×0.4²×0.6+2×0.4×0.6+3×0.6=2.376.

答案 C

第Ⅱ卷(非選擇題 共60分)

11.若離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ

0

1

P

9c²-c

3-8c

 則常數(shù)c的值為                .

分析  考查離散型隨機(jī)變量分布列的兩個性質(zhì).

由0≤P(ξ=0)≤1,0≤P(ξ=1)≤1及P(ξ=0)+P(ξ=1)=1,即可求出c的值.

解 由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì),知

9c²-c+3-8c=1且0≤9c²-c≤1,0≤3-8c≤1,

解得常數(shù)c=.

答案

12.從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機(jī)取出2個球,設(shè)其中有ξ個紅球,則隨機(jī)變量ξ的概率分布為:

ξ

0

1

2

分析 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及等可能事件的概率計算問題.

解 由等可能事件的概率計算公式可知:

P(ξ=0)= =,

P(ξ=1)= =，

P(ξ=2)= =.

答案

ξ

0

1

2

P

13.某射手射擊1次,擊中目標(biāo)的概率是0.9.他連續(xù)射擊4次,且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響.有下列結(jié)論:

①他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9;

②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是0.9³×0.1;

③他至少擊中目標(biāo)1次的概率是1-0.1⁴.

其中正確結(jié)論的序號是(寫出所有正確結(jié)論的序號).

分析 本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率等基礎(chǔ)知識.解題的關(guān)鍵是正確使用相互獨(dú)立事件的概率公式.

解 ①因?yàn)楦鞔紊鋼羰欠駬糁心繕?biāo)相互之間沒有影響,所以第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9.正確.

②恰好3次擊中目標(biāo)的概率應(yīng)為×0.9³×0.1.

③4次射擊都未擊中目標(biāo)的概率為0.1⁴,所以至少擊中1次目標(biāo)的概率為1-0.1⁴.

答案 ①③

14.★設(shè)ξ是離散型隨機(jī)變量,P(ξ=x₁)= ,P(ξ=x₂)=,且x₁＜x₂,又已知Eξ=,Dξ=,則x₁+x₂的值為                    .

解析 由題意可知

解得       x₁+x₂=1+2=3.

答案 3

15.(本小題滿分8分)有甲、乙兩個單位都愿意聘用你,而你能獲得如下信息:

甲單位不同職位月工資x₁/元

1 200

1 400

1 600

1 800

獲得相應(yīng)職位的概率P₁

0.4

0.3

0.2

0.1

乙單位不同職位月工資x₂/元

1 000

1 400

1 600

2 200

獲得相應(yīng)職位的概率P₂

0.4

0.3

0.2

0.1

根據(jù)工資待遇的差異情況,你愿意選擇哪家單位?

解 根據(jù)月工資的分布列,計算得

Ex₁=1 200×0.4+1 400×0.3+1 600×0.2+1 800×0.1=1 400,

Dx₁=(1 200-1 400)²×0.4+(1 400-1 400)²×0.3+(1 600-1 400)²×0.2+(1 800-1 400)²×0.1=40 000; 3分

Ex₂=1 000×0.4+1 400×0.3+1 800×0.2+2 200×0.1=1 400,

Dx₂=(1 000-1 400)²×0.4+(1 400-1 400)²×0.3+(1 800-1 400)²×0.2+(2 200-1 400)²×0.1=112 000.                         6分

因?yàn)镋x₁=Ex₂,Dx₁＜Dx₂,所以兩家單位的工資均值相等,但甲單位不同職位的工資相對集中,乙單位不同職位的工資相對分散.這樣,如果你希望不同職位的工資差距小一些,就選擇甲單位;如果你希望不同職位的工資差距大一些,就選擇乙單位.        8分

16.(本小題滿分8分)某同學(xué)參加科普知識競賽,需回答三個問題,競賽規(guī)則規(guī)定:每題回答正確得100分,回答不正確得-100分.假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.

(1)求這名同學(xué)回答這三個問題的總得分ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望;

(2)求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分(即ξ≥0)的概率.

分析 本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概念,以及運(yùn)用統(tǒng)計知識解決實(shí)際問題的能力.求解的關(guān)鍵是搞清隨機(jī)變量ξ的可能取值,即所得分?jǐn)?shù).其中,答對0道題得-300分,答對1道題得100-200=-100分,答對2道題得2×100-100=100分,答對3道題得300分.

總分不為負(fù)共包括:總分為100分,總分為300分兩種情況.

解 (1)ξ的可能取值為-300,-100,100,300.       2分

P(ξ=-300)=0.2³=0.008,

P(ξ=-100)=3×0.2²×0.8=0.096,

P(ξ=100)=3×0.2×0.8²=0.384,

P(ξ=300)=0.8³=0.512.

所以ξ的概率分布為

ξ

-300

-100

100

300

P

0.008

0.096

0.384

0.512

5分

Eξ=(-300)×0.008+(-100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180.                    7分

(2)這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P(ξ≥0)=0.384+0.512=0.896.                 8分

17.★(本小題滿分8分)某同學(xué)向如圖所示的圓形靶投擲飛鏢,飛鏢落在靶外的概率為0.1,飛鏢落在靶內(nèi)的各個點(diǎn)是隨機(jī)的.已知圓形靶中三個圓為同心圓,半徑分別為30 cm,20 cm,10 cm,飛鏢落在不同區(qū)域的環(huán)數(shù)如圖中標(biāo)示.設(shè)這位同學(xué)投擲一次得到的環(huán)數(shù)這個隨機(jī)變量為x,求x的分布列.

解 由題意可知,飛鏢落在靶內(nèi)各個區(qū)域的概率與它們的面積成正比,而與它們的位置和形狀無關(guān).                                          2分

由圓的半徑值可得到三個同心圓的半徑比為3∶2∶1,面積比為9∶4∶1,所以8環(huán)區(qū)域,9環(huán)區(qū)域,10環(huán)區(qū)域的面積比為5∶3∶1,則擲得8環(huán),9環(huán),10環(huán)的概率可分別設(shè)為5k,3k,k,根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)(2)有0.1+5k+3k+k=1,                                 6分

解得k=0.1.得到離散型隨機(jī)變量x的分布列為

X

0

8

9

10

P

0.1

0.5

0.3

0.1

8分

18.(本小題滿分10分)某廠生產(chǎn)電子元件,其產(chǎn)品的次品率為5%,現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件.

(1)寫出其中次品數(shù)ξ的分布列；

(2)求P(ξ≥1).

分析 本題考查二項分布的概率分布公式和某些簡單的離散型隨機(jī)變量的分布列以及由分布列求出一些事件的概率.這是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),出現(xiàn)次品數(shù)ξ服從二項分布,由概率公式P(ξ=k)= p^kq^n-k(0＜p＜1,p+q=1且k=0,1,2,…,n)就可求出ξ的分布列,從而求出P(ξ≥1).

解 依題意,隨機(jī)變量ξ~B(2,5%).       3分

P(ξ=0)=(95%)²=0.902 5,          4分

P(ξ=1)=(5%)(95%)=0.095,        5分

P(ξ=2)=(5%)²=0.002 5.           6分

因此,

(1)次品數(shù)ξ的分布列是

ξ

0

1

2

P

0.902 5

0.095

0.002 5

8分

(2)P(ξ≥1)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=0.095+0.002 5=0.097 5.                            10分

19.★(本小題滿分10分)西安市一中高二年級研究性學(xué)習(xí)組在網(wǎng)上查到某種子在一定條件下發(fā)芽成功的概率為,該研究性學(xué)習(xí)組分成三個小組開展了驗(yàn)證性試驗(yàn)(每次均種下一粒種子).

(1)求第一小組種下的前2粒種子未發(fā)芽,第3粒種子發(fā)芽的概率;

(2)第二小組做了若干次發(fā)芽試驗(yàn),如果在試驗(yàn)中種子發(fā)芽成功就終止試驗(yàn),否則就將繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn),直到種子發(fā)芽成功為止,但試驗(yàn)的次數(shù)最多不超過5次,求試驗(yàn)次數(shù)ξ的分布列和期望.

分析 本題考查相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率,離散型隨機(jī)變量的分布列,數(shù)學(xué)期望等概念,以及運(yùn)用概率統(tǒng)計知識解決實(shí)際問題的能力.

解 (1)∵前2粒未發(fā)芽,第3粒才發(fā)芽,

∴P=(1-)×(1-)×=.        2分

(2)發(fā)芽試驗(yàn)次數(shù)ξ取1~5的整數(shù),種子發(fā)芽成功的概率為,不成功的概率為,則前k-1次發(fā)芽不成功而第k次發(fā)芽成功的概率為

P(ξ=k)=()^k-1?(k=1,2,3,4).     5分

進(jìn)行第5次發(fā)芽試驗(yàn)前4次不成功的概率為

P(ξ=5)=()⁴.                  7分

由此可得ξ的概率分布為

ξ

1

2

3

4

5

P

∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×=.        10分