2009年撫州市高三年級教學(xué)質(zhì)量檢測
數(shù)學(xué)試卷(文科)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共150分.考試時間120分鐘.
第Ⅰ卷 (選擇題,共60分)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每一小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.設(shè)U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,4},則A∩(UB)等于
A.{1,3} B.{2,4}
C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}
2.命題p:|x|≥1,命題q:x2+x-6≥0,則“非p”是“非q”成立的
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0),其導(dǎo)函數(shù)的圖象過二、三、四象限,則函數(shù)f(x)的圖象不經(jīng)過
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.運載“神舟七號”飛船的“長征2號”火箭在點火1分鐘內(nèi)飛行了2 km,以后每分鐘飛行的路程增加2 km,15分鐘后,火箭與飛船分離,此時飛船距離發(fā)射點大約是
A.30 km B.215km C.240 km D.2(215-1)km
5.如圖在正方體ABCD―A1B1C1D1中,點E、F分別在棱AD,CC1上,若AF⊥A1E,則
A.AE=ED B.AE=C1F
C.AE=CF D.C1F=CF
6.如圖,A,B,C,D是四個采礦點,圖中的直線和線段均表示公路,四邊形ABQP,BCRQ,CDSR近似于正方形,A,B,C,D采礦量之比為6∶2∶3∶4,且運礦費與路程和采礦量的乘積成正比.現(xiàn)從P,Q,R,S
中選一個中轉(zhuǎn)站,使中轉(zhuǎn)費用最少,應(yīng)選
A.P點 B.Q點
C.R點 D.S點
7.已知直線l1:x+y+2=0和直線l2:x+y=0,設(shè)點P到l1與l2的距離分別為d1與d2,記d=max{d1,d2},那么當(dāng)d≥時點P所在的區(qū)域是
A B C D
8.若AB是過橢圓+=1(a>b>0)中心的一條弦,M是橢圓上任意一點,且AM、BM與坐標(biāo)軸不平行,kAM、kBM分別表示直線AM、BM的斜率,則kAM?kBM等于
A.- B.- C.- D.-
9.若△ABC三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知m=(a+b,c),n=(a-b,c-a),若|m+n|=|m-n|,則角B的大小
A.30° B.60° C.90° D.120°
10.將1、2、3、4填入4×4方格中,要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字.右圖是一種填法.不同的填法共有
A.24種 B.144種
C.216種 D.432種
11.在函數(shù)y=|x|(x∈[-1,1])的圖象上有一點p(t,|t|),此函數(shù)與x軸、直線x=-1及x=t圍成圖形(如圖陰影部分)的面積為S,則S關(guān)于t的函數(shù)圖象可能為
12.x、y、z均為正實數(shù),且4xy+z2+2yz+2xz=8,則x+y+z的最小值為
A.8 B.4 C.2 D.2
第Ⅱ卷 (非選擇題,共90分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分,答案填寫在題中橫線上.
13.已知函數(shù)f(x)=,則f-1(-)的值是 .
14.在(-)n的展開式中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,則展開式中常數(shù)項是 .
15.給出下列命題:
①已知A,B是非空數(shù)集,若x∉A,且x∉B,那么A⊆B;
②一個球與棱長為的正方體的所有棱都相切,則此球的體積為;
③已知函數(shù)f(x)=lg(x2+1),則方程f(x)=0在(1,2)內(nèi)必有實根;
④圓(x-2)2+y2=2外的點M對該圓的視角為90°時,則點M的軌跡方程是(x-2)2+y2=4.
其中正確的命題序號是 .
16.在實數(shù)集R中定義一種運算“*”,具有性質(zhì):
①對任意a,b∈R,a*b=b*a;
②對任意a∈R,a*0=a;
③對任意a,b,c∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-2c.
則函數(shù)f(x)=x*(x>0)的最小值為 .
三、解答題:本大題共6小題,滿分74分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、推理過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
已知f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A>0,ω>0,0<φ<)的圖象過點(0,2),f(x)的最小正周期為4π,且最大值與最小值的差為2.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)在△ABC中,B=,其對邊為b,若f(B)=b,求△ABC的最大面積.
18.(本小題滿分12分)
某公司通過三次測試來聘用職員,一旦某次測試通過就聘用,否則就一直測試到第三次為止,現(xiàn)有4人前來應(yīng)聘,假設(shè)每位應(yīng)聘者三次通過測試的概率都依次為,,p,每位應(yīng)聘者被聘用的概率為p0.
(1)求某應(yīng)聘者能被聘用的概率(結(jié)果用p表示);
(2)若4位應(yīng)聘者中要求恰有2人被聘用的概率不低于恰有3位被聘用的概率,求p的取值范圍.
19.(本小題滿分12分)
如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,Q是BC邊上的一點,又PA⊥平面ABCD,且PA=4,直線PQ與平面ABCD所成角的正切值為.
(1)求二面角Q―PD―A的大;
(2)求點A到平面PDQ的距離.
20.(本小題滿分12分)
已知a1=b1=1,an+1=bn+n,bn+1=an+(-1)n,n∈N*.
(1)求a3,a4的值,并求a2n-1和a2n;
(2)設(shè)Sn=++…+,求S2009.
21.(本小題滿分12分)
已知點A(-2,0),B(2,0),動點P滿足?=||?||-4.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)過點B的直線l與軌跡C交于M、N兩點,試問:在x軸上是否存在定點F,使?為常數(shù)?若存在,求出點F的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
22.(本小題滿分14分)
已知函數(shù)f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中a,b∈R.
(1)當(dāng)a=-時,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)僅在x=0處有極值,求a的取值范圍;
(3)若對于任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在x∈[ -1,1]上恒成立,求b的取值范圍.
撫州市2009屆高三統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題(文)
1.A 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 7.D 8.B 9.B 10.D 11.B 12.D
13.-3 14.7 15.②④ 16.3
17.解:(1)f(x)=Acos2(ωx+φ)+1=cos(2ωx+2φ)++1.
又A>0,ω>0,0<φ<,∴f(x)的最大值為A+1,最小值為1.
由f(x)的最大值與最小值的差為2,∴A=2.
由f(x)過點(0,2),f(0)=cos 2φ+2=2,∴φ=,
則T=4π=,∴ω=,f(x)=cos(x+)+2=2-sinx.6分
(2)∵B=,∴b=f(B)=2-sin(?)=.
設(shè)A,C所對的邊分別為a,c,由余弦定理得=a2+c2-2accos,+ac=a2+c2≥2ac,ac≤,
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=時等號成立,△ABC的面積S=acsin≤.12分
18.解:(1)某應(yīng)聘者能被聘用的概率為p0=1-(1-)(1-)(1-p)=+p.4分
(2)在4位應(yīng)聘者中恰好有2人被聘用的概率為CP?(1-P0)2,
恰有3位被聘用的概率為Cp?(1-p0)1,依題意Cp?(1-p0)2≥Cp?(1-p0)1,解得p0≤,
即+p≤⇒0≤p≤.12分
19.解:(1)連AQ,∠PQA是PQ與平面ABCD所成角,AQ=2,BQ=2,即Q是BC的中點,過Q作QH⊥AD于H,則QH⊥平面PAD,過Q作QM⊥PD,連MH,則∠QMH為所求二面角的平面角.
在Rt△PAD中,=⇒MH===,
所以tan∠QMH===,
從而所求二面角的大小為arctan .6分
(2)由于Q是BC的中點,可得DQ⊥PQ,
⇒面PAQ⊥面PDQ,
過A作AG⊥PQ于G,則AG為點A到平面PQD的距離.
AG===.12分
另解:分別以AD,AB,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
由條件知Q是BC的中點,面PAD的一個法向量是=(0,2,0).
又D(4,0,0),Q(2,2,0),P(0,0,4),
故=(0,2,0),=(-4,0,4),
設(shè)面PDQ的法向量為n=(x,y,z),
則⇒由此可取n=(1,1,1),
從而(1)cos〈,n〉===.
(2)面PDQ的一個法向量為n=(1,1,1),=(2,2,0),
故點A到平面PDQ的距離d===.
20.解:(1)an+1=an-1+(-1)n-1+n,于是a3=a1+2-1=2,a2n-1=a2n-3-1+2n-2(n≥2),
∴a2n-1=a2n-3+2n-3(n≥2).
…………
a3=a1+1
a2n-1=a1+=n2-2n+2.2分
而a2=b1+1=2
a4=b3+3=a2+4
…………
a2n=a2n-2+2n
∴a2n=a2n-2+2n
∴a2n=a2+=n2+n.8分
(2)Sn=++…+
=++…+=1-
∴S2009=1-=.12分
21.解:(1)設(shè)P(x,y),則=(-2-x,-y),=(2-x,-y),依題意有(-2-x)(2-x)+y2=?,化簡得x2-y2=2.4分
(2)假設(shè)存在定點F(m,0),使?為常數(shù).
當(dāng)直線l與x軸不垂直時,設(shè)l:y=k(x-2),
⇒(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0,
依題意k2≠1,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則
于是?=(x1-m,y1)(x2-m,y2)=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+4k2+m2
=+m2-4m+2.8分
要使?是與k無關(guān)的常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)m=1,此時?=-1.
當(dāng)直線l⊥x軸時,可得M(2,),N(2,-),若m=1,則?=(1,)(1,-)=-1.
所以在x軸上存在定點F(1,0),使?為常數(shù).12分
22.解:f′(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).
(1)當(dāng)a=-時,f′(x)=4x3+3ax2+4x=2x(2x-1)(x-2),令f′(x)≥0,得0≤x≤或x≥2,所以f(x)的增區(qū)間為[0,]與[2,+∞).4分
(2)f′(x)=x(4x2+3ax+4),顯然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根,為使f(x)僅在x=0處有極值,4x2+3ax+4≥0必須恒成立,即有Δ=9a3-64≤0,解得a∈[-,].8分
(3)由條件a∈[-2,2]知Δ=9a2-64<0,從而4x2+3ax+4>0恒成立.
當(dāng)x<0時f′(x)<0;當(dāng)x>0時,f′(x)>0.
因此f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為max{f(-1),f(1)}.
為使對任意a∈[-2,2],f(x)≤1在x∈[-1,1]上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)⇒在a∈[-2,2]上恒成立,解得b≤-4,故b的取值范圍是(-∞,-4].
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