精析精練

                     ---------常用邏輯用語(yǔ)

典例分析:

一. 邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題

例1.寫出由下述各命題構(gòu)成的“p或q”,“p且q”,“非p”形式的復(fù)合命題,并指出所構(gòu)成的這些復(fù)合命題的真假.

(1)p:9是144的約數(shù),q:9是225的約數(shù)。

(2)p:方程x2-1=0的解是x=1,q:方程x2-1=0的解是x=-1;

(3)p:實(shí)數(shù)的平方是正數(shù),q:實(shí)數(shù)的平方是0.

分析:由簡(jiǎn)單命題構(gòu)成復(fù)合命題時(shí),若兩個(gè)命題屬于同時(shí)都要滿足的為“且”,屬于并列的為“或”.然后通過“或”、“且”、“非”命題的真值表判斷各命題的正誤.

解析:(1)p或q:9是144或225的約數(shù);p且q:9是144與225的公約數(shù),(或?qū)懗桑?是144的約數(shù),且9是225的約數(shù)); 非p:9不是144的約數(shù).

 ∵p真,q真,∴“p或q”為真,“p且q” 為真,而“非p”為假.

(2)p或q:方程x2-1=0的解是x=1,或方程x2-1=0的解是x=-1(注意,不能寫成“方程x2-1=0的解是x=±1”,這與真值表不符);p且q:方程x2-1=0的解是x=1,且方程x2-1=0的解是x=-1;非p:方程x2-1=0的解不都是x=1(注意,在命題p中的“是”應(yīng)理解為“都是”的意思);

∵p假,q假,∴“p或q”與,“p且q” 均為假,而“非p”為真.

(3)p或q:實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)或?qū)崝?shù)的平方都是0; p且q:實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)且實(shí)數(shù)的平方都是0; 非p:實(shí)數(shù)的平方不都是正數(shù),(或:存在實(shí)數(shù),其平方不是正數(shù));

∵p假,q假,∴“p或q”與“p且q” 均為假,而“非p”為真.

點(diǎn)評(píng): “p或q”是指p,q中的任何一個(gè)或兩者.例如,“xA或xB”,是指x可能屬于A但不屬于B(這里的“但”等價(jià)于“且”),x也可能不屬于A但屬于B,x還可能既屬于A又屬于B(即xAB);“p且q”是指p,q中的兩者.例如,“xA且xB”,是指x屬于A,同時(shí)x也屬于B(即xAB).“非p”是指p的否定,即不是p.  例如,p是“xA”,則“非p”表示x不是集合A的元素(即x

二.四種命題及其相互關(guān)系

例2. (1)“若,則沒有實(shí)根”,其否命題是                .

(2)判斷命題:“對(duì)于實(shí)數(shù),若≠8,則≠2或6”的真假.

分析:書寫命題的幾種形式時(shí),要分清條件與結(jié)論,依據(jù)定義書寫;對(duì)于直接較難判斷真假的命題可依據(jù)命題間的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化解答.

解析:(1)否命題為:若,則有實(shí)根 

(2)本題若直接判斷,很難確定≠8是否能推出≠2或≠6,若利用原命題與逆否命題等價(jià)這一結(jié)論,可使本題的解題思路清晰,步驟簡(jiǎn)潔,原命題的逆否命題為:若=2且=6則=8。而我們?nèi)菀字,?dāng)=2且=6時(shí)=8 成立.∴原命題的逆否命題為真,則原命題為真。

點(diǎn)評(píng):在書寫命題的幾種形式或判斷命題的真假時(shí)要注意如下幾方面:(1)若原命題是“若p則q”,則逆命題為“若q則p”;否命題為“若?p 則?q” ;逆否命題為“若?q 則?p”;(2)在寫出一個(gè)含有“或”、“且”命題的否命題時(shí),要注意“非或即且,非且即或”;(3)要注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”:否命題要對(duì)命題的條件和結(jié)論都否定,而命題的否定僅對(duì)命題的結(jié)論否定;(4)對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否定式的命題,一般利用等價(jià)關(guān)系“”判斷其真假,這也是反證法的理論依據(jù)。

三.充要條件

例3.在下列四個(gè)結(jié)論中,正確的有________.(填序號(hào))

①若AB的必要不充分條件,則非B也是非A的必要不充分條件

②“”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集為R”的充要條件

③“x1”是“x21”的充分不必要條件

④“x0”是“x+|x|>0”的必要不充分條件

分析:關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論(劃主謂賓),由條件可推出結(jié)論,條件是結(jié)論成立的充分條件;由結(jié)論可推出條件,則條件是結(jié)論成立的必要條件。

解析: ①∵原命題與其逆否命題等價(jià),∴若AB的必要不充分條件,則非B也是非A的必要不充分條件. ②結(jié)合二次函數(shù)的圖象易知命題是正確的;③x≠1x2≠1,反例:x=-1x2=1,∴“x1”是“x21”的不充分條件. ④x≠0x+|x|>0,反例x=-2x+|x|=0.但x+|x|>0x>0x≠0,∴“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分條件.答案:①②④

點(diǎn)評(píng):判斷充要條件關(guān)系有三種方法:

①定義法:若,則A是B的充分條件,B是A的必要條件;若,則A是B的充要條件。

②利用原命題和逆否命題的等價(jià)性來確定 “若A,則B”及“若B,則A”的真假性。

③利用集合的包含關(guān)系:若則A是B的充分條件,B是A的必要條件;

若A=B,則A是B的充要條件。

鞏固練習(xí)

基礎(chǔ)驗(yàn)收

1.p:“有些三角形是等腰三角形”,則┐p是(    )

 A.有些三角形不是等腰三角形    B.所有三角形是等腰三角形

 C.所有三角形不是等腰三角形    D.所有三角形是等腰三角形

2.若集合,則“”是“”的

A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件.

3.原命題:“設(shè)、,若”的逆命題、否命題、逆否命題真命題共有:(    )

A.0個(gè)           B.1個(gè)         C.2個(gè)          D.3個(gè)

4.設(shè)命題p:若. 給出下列四個(gè)復(fù)合命題:

    ①p或q;②p且q;③p;④q,其中真命題的個(gè)數(shù)有             (       )

       A.0個(gè)                    B.1個(gè)                    C.2個(gè)                    D.3個(gè)

5.在原命題及其逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中,真命題的個(gè)數(shù)可以是(    )

(A)1或2或3或4      (B)0或2或4

(C)1或3              (D)0或4

6..下列四個(gè)命題中真命題是

①“若xy=1,則xy互為倒數(shù)”的逆命題  ②“面積相等的三角形全等”的否命題  ③“若m≤1,則方程x2-2x+m=0有實(shí)根”的逆否命題  ④“若AB=B,則AB”的逆否命題

A.①②                         B.②③                         C.①②③                            D.③④

7.已知真命題“”和“”, 那么“”是“”的(   )

A. 充分不必要條件    B. 必要不充分條件    C. 充要條件   D. 既不充分也不必要條件

8.若命題“非p”與命題“p或q”都是真命題,那么                   (    )

       A.命題p與命題q的真值相同          B.命題q一定是真命題

C. 命題P一定是真命題               D.無法確定

9.若都是非零向量,則“”是“”的(    )

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

10.命題“a、b都是偶數(shù),則a+b是偶數(shù)”的逆否命題為

A.a+b不是偶數(shù),則ab不都是偶數(shù)B.a+b不是偶數(shù),則ab都不是偶數(shù)

C.a、b不都是偶數(shù),則a+b不是偶數(shù)D.a、b都不是偶數(shù),則a+b不是偶數(shù)

11.使不等式2x2-5x-3≥0成立的一個(gè)充分而不必要條件是()

A.x<0       B.x0       C.x∈{-1,3,5}          D.x≤-x≥3

12.若已知AB的充分條件,CD的必要條件,而BD的充要條件,則DC的_______條件;DA的_______條件;AC的_______條件,DB的_______條件.

13.有下列四個(gè)命題:

①命題“若,則互為倒數(shù)”的逆命題②、命題“面積相等的三角形全等”的否命題;

③命題“若≤1,則有實(shí)根”的逆否命題④命題“若=,則

的逆否命題其中是真命題的是            (填上你認(rèn)為正確命題的序號(hào))

14.指出下列復(fù)合命題的形式及其構(gòu)成.

(1)若α是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角,則α不大于60°;

(2)一個(gè)內(nèi)角為90°,另一個(gè)內(nèi)角為45°的三角形是等腰直角三角形;

(3)有一個(gè)內(nèi)角為60°的三角形是正三角形或直角三角形.

15.若a、bcR,寫出命題“若ac<0,則ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷這三個(gè)命題的真假.

16.已知:命題,命題,若的充分不必要條件,求的取值范圍。

17.設(shè)命題:函數(shù)的定義域?yàn)?sub>;命題:不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立.如果命題“”與命題“”的真假性不同,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

挑戰(zhàn)高考

18.(07山東理7)命題“對(duì)任意的”的否定是(    )  

A.不存在,B.存在

C.存在, D.對(duì)任意的

19.(06江西卷)下列四個(gè)條件中,必要不充分條件的是( 。

,             B,

為雙曲線,,

20.(07重慶)命題“若,則”的逆否命題是( 。

A.若,則         B.若,則

C.若,則            D.若,則

21.(07湖南文)設(shè)),關(guān)于的方程)有實(shí)根,則的(    )

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

22.(06?湖北)有限集合中元素的個(gè)數(shù)記做,設(shè)都為有限集合,給出下列命題:①的充要條件是;

的必要條件是;③的充分條件是;

的充要條件是;其中真命題的序號(hào)是(     )

A.③④    B.①②    C.①④    D.②③

23.(07全國(guó)卷1),是定義在上的函數(shù),,則“均為偶函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的( 。

A充要條件B充分而不必要的條件C必要而不充分的條件D既不充分也不必要的條件

24.(07湖北)已知的充分條件而不是必要條件,的充分條件,的必要條件,的必要條件,F(xiàn)有下列命題:①的充要條件;②的充分條件而不是必要條件;③的必要條件而不是充分條件;④的必要條件而不是充分條件;⑤的充分條件而不是必要條件,則正確命題序號(hào)是()

A.①④⑤        B.①②④      C.②③⑤      D. ②④⑤

25.下列各小題中,的充分必要條件的是

有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

是偶函數(shù)③

A.①②        B.②③     C.③④      D. ①④

鞏固練習(xí)答案部分

基礎(chǔ)驗(yàn)收

1.答案C;解析:本題屬存在性命題的否定命題,一般地若命題p:“存在使P(x)成立”,┐p為:“對(duì)任意,有不成立”.

2.答案:A;解析:據(jù)定義判斷.

3.答案:B;解析:若,則,即原命題正確; 而若,則,不一定成立(不成立),即得其逆命題為假命題.∴逆否命題為真命題,否命題為假命題,真命題共的1個(gè),故應(yīng)選B.

4.答案:C;解析:命題p:若為假命題,因?yàn)?sub>中有一個(gè)為0,則此命題就是不成立;命題也是假命題.則①為假命題;②為假命題;③為真命題;④真命題;綜上所述,其中真命題有2個(gè),故選C.

5.答案:B;解析:結(jié)合命題的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行判斷.

6.答案:C;解析:寫出滿足條件的命題再進(jìn)行判斷.

7.答案:A;解析:轉(zhuǎn)化為逆否命題進(jìn)行判斷.

8.B;解析:據(jù)已知易知P假,q一定真.

9.答案:C;解析:由于為非零向量,故.故應(yīng)選C.

10.答案: A;解析:命題“ab都是偶數(shù),則a+b是偶數(shù)”的逆否命題為“a+b不是偶數(shù),則a、b不都是偶數(shù)”

11.答案:C;解析:∵2x2-5x-3≥0成立的充要條件是x≤-x≥3,只需已知范圍對(duì)應(yīng)的集合是此不等式的解集的真子集即可.

12.答案:充分、必要、充分、充要;解析:ABDC, DC的充分條件,DA的必要條件,AC的充分條件,DB的充要條件.

13答案:①②③;解析:依次寫出再作出判斷.

14.解析:(1)是非p形式的復(fù)合命題,其中p:若α是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角,則α>60°.

(2)是pq形式的復(fù)合命題,其中p:一個(gè)內(nèi)角為90°,另一個(gè)內(nèi)角為45°的三角形是等腰三角形,q:一個(gè)內(nèi)角為90°,另一個(gè)內(nèi)角為45°的三角形是直角三角形.

(3)是pq形式的復(fù)合命題,其中p:有一個(gè)內(nèi)角為60°的三角形是正三角形,q:有一個(gè)內(nèi)角為60°的三角形是直角三角形.

15.解:逆命題“若ax2+bx+c=0(a、bcR)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則ac0”是假命題,如當(dāng)a=1,b=-3,c=2時(shí),方程x2-3x+2=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1=1,x2=2,但ac=2>0.

否命題“若ac≥0,則方程ax2+bx+c=0(ab、cR)沒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是假命題.這是因?yàn)樗湍婷}互為逆否命題,而逆命題是假命題.

逆否命題“若ax2+bx+c=0(a、bcR)沒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則ac0”是真命題.因?yàn)樵}是真命題,它與原命題等價(jià)

16.分析:因?yàn)?sub>的充分不必要條件,即,由逆否命題與原命題等價(jià),得,使已知條件簡(jiǎn)單化。

解析:由,從而,所以命題:A=;由,所以命題

∵  ,∴,即,∴,∴,又∵

17.命題為真命題等價(jià)于對(duì)恒成立.當(dāng)時(shí),則矛盾.故,即得.命題為真命題等價(jià)于對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立.而當(dāng)時(shí),,所以.因?yàn)槊}“”與命題“”的真假性不同,則必有:命題“”為真,命題“”為假.所以,命題有且僅有一個(gè)真命題.當(dāng)假時(shí),則實(shí)數(shù)的取值范圍為,當(dāng)假時(shí),則實(shí)數(shù)的取值范圍為.綜合以上得,所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.

挑戰(zhàn)高考

18.答案:C;解析:(1)原命題含有全稱量詞“任意”,是一個(gè)全稱命題,根據(jù)全稱命題的否定方法知:存在,成立,故選C.

19.答案:D;解:A. p不是q的充分條件,也不是必要條件;B. pq的充要條件;C. pq的充分條件,不是必要條件;D.正確

20.答案:D;解析:若原命題是“若p則q”,則逆否命題為“若?q 則?p”;

21.答案:A;解析: 關(guān)于的方程)有實(shí)根的充要條件為.

22.答案:B;解析:由, 知命題①正確;

,但當(dāng)時(shí),不一定有(其元素個(gè)數(shù)多少不決定兩個(gè)集合間的包含關(guān)系,從而得的必要非充分條件是,即命題②正確;由的既不充分與不必要條件,知命題③不正確;由的必要非充分條件是,知命題④不正確, 故應(yīng)選B.

23.答案:B;解析:易知若均為偶函數(shù)則必為偶函數(shù),但反之若為偶函數(shù),則,不一定均為偶函數(shù),如取.

24.答案:B;解析:可結(jié)合推出符合直觀判斷.

25.答案:D;解析: ②不符合,函數(shù)定義域不一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱; ③不符合,如取,此時(shí)無意義.


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