絕密★啟用前

2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3

至4頁．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試時間120分鐘．

注意事項：

1．  答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼．

2．  每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．答在試卷上的答案無效．

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么                         球的表面公式

P(A＋B)＝P(A)＋P(B)                                 S＝4πR²

如果事件A、B相互獨立，那么                     其中R表示球的半徑

P(AB)＝P(A)P(B)                                球的體積公式

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么        V＝πR²

n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率              其中R表示球的半徑

P(k)＝P^k(1－P)^n－k

本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

 第Ⅰ卷（選擇題  共30分）

一、選擇題

試題詳情

評分說明：

1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分參考制訂相應(yīng)的評分細(xì)則．

2．對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．

3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．

4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)―選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題

⑴D   ⑵D   ⑶A   ⑷A   ⑸C   ⑹B   ⑺A   ⑻D   ⑼A   ⑽C   ⑾A   ⑿C

二、填空題

⒀45   ⒁   ⒂   ⒃25

三、解答題

17．解：（Ⅰ）若a⊥b，則sinθ＋cosθ＝0，……………2分

由此得   tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以  θ＝－；………………4分

（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得

｜a＋b｜＝＝

＝，………………10分

當(dāng)sin(θ＋)＝1時，|a＋b|取得最大值，即當(dāng)θ＝時，|a＋b|最大值為＋1．……12分

18．解：（Ⅰ）ξ可能的取值為0，1，2，3．

P(ξ＝0)＝?＝＝

P(ξ＝1)＝?＋?＝

P(ξ＝2)＝?＋?＝

P(ξ＝3)＝?＝．         ………………8分

ξ的分布列為

ξ

0

1

2

3

P

數(shù)學(xué)期望為Eξ＝1.2．

(Ⅱ)所求的概率為

p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝    ……………12分

19．解法一：

（Ⅰ）設(shè)O為AC中點，連接EO，BO，則EO∥＝C₁C，又C₁C∥＝B₁B，所以EO∥＝DB，EOBD為平行四邊形，ED∥OB．     ……2分

∵AB＝BC，∴BO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC₁A₁，

∴ED⊥平面ACC₁A₁，BD⊥AC₁，ED⊥CC₁，

∴ED⊥BB₁，ED為異面直線AC₁與BB₁的公垂線．……6分

（Ⅱ）連接A₁E，由AA₁＝AC＝AB可知，A₁ACC₁為正方形，

∴A₁E⊥AC₁，又由ED⊥平面ACC₁A₁和EDÌ平面ADC₁知平面

ADC₁⊥平面A₁ACC₁，∴A₁E⊥平面ADC₁．作EF⊥AD，垂足為F，連接A₁F，則A₁F⊥AD，∠A₁FE為二面角A₁－AD－C₁的平面角．

不妨設(shè)AA₁＝2，則AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，

tan∠A₁FE＝，∴∠A₁FE＝60°．

所以二面角A₁－AD－C₁為60°．          ………12分

解法二：

（Ⅰ）如圖，建立直角坐標(biāo)系O－xyz，其中原點O為AC的中點．

設(shè)A(a，0，0)，B(0，b，0)，B₁(0，b，2c)．

則C(－a，0，0)，C₁(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)．   ……3分

＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．

?＝0，∴ED⊥BB₁．

又＝(－2a，0，2c)，

?＝0，∴ED⊥AC₁，    ……6分

所以ED是異面直線BB₁與AC₁的公垂線．

（Ⅱ）不妨設(shè)A(1，0，0)，則B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A₁(1，0，2)，

＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，

?＝0，?＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA₁，又AB∩AA₁＝A，

∴BC⊥平面A₁AD．

又　　E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，

＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，

?＝0，?＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，

∴　　EC⊥面C₁AD．　　……10分

cos＜，＞＝＝，即得和的夾角為60°．

所以二面角A₁－AD－C₁為60°．          ………12分

20．解法一：

令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，

對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a

令g′(x)＝0，解得x＝e^a－1－1，                ……5分

(i)當(dāng)a≤1時，對所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，

又g(0)＝0，所以對x≥0，都有g(shù)(x)≥g(0)，

即當(dāng)a≤1時，對于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．    ……9分

(ii)當(dāng)a＞1時，對于0＜x＜e^a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e^a－1－1)是減函數(shù)，

又g(0)＝0，所以對0＜x＜e^a－1－1，都有g(shù)(x)＜g(0)，

即當(dāng)a＞1時，不是對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．

綜上，a的取值范圍是（－∞，1]．    ……12分

解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，

于是不等式f(x)≥ax成立即為g(x)≥g(0)成立．　　……3分

對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a

令g′(x)＝0，解得x＝e^a－1－1，                ……6分

當(dāng)x＞ e^a－1－1時，g′(x)＞0，g(x)為增函數(shù)，

當(dāng)－1＜x＜e^a－1－1，g′(x)＜0，g(x)為減函數(shù)，    ……9分

所以要對所有x≥0都有g(shù)(x)≥g(0)充要條件為e^a－1－1≤0．

由此得a≤1，即a的取值范圍是（－∞，1]．    ……12分

21．解：(Ⅰ)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0．

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．由＝λ，

即得　　(－x₁，1－y)＝λ(x₂，y₂－1)，

將①式兩邊平方并把y₁＝x₁²，y₂＝x₂²代入得　　y₁＝λ²y₂   ③

解②、③式得y₁＝λ，y₂＝，且有x₁x₂＝－λx₂²＝－4λy₂＝－4，

拋物線方程為y＝x²，求導(dǎo)得y′＝x．

所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是

y＝x₁(x－x₁)＋y₁，y＝x₂(x－x₂)＋y₂，

即y＝x₁x－x₁²，y＝x₂x－x₂²．

解出兩條切線的交點M的坐標(biāo)為(，)＝(，－1)．   ……4分

所以?＝(，－2)?(x₂－x₁，y₂－y₁)＝(x₂²－x₁²)－2(x₂²－x₁²)＝0

所以?為定值，其值為0．　　　……7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而S＝|AB||FM|．

|FM|＝＝

＝

＝＝＋．

因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y＝－1的距離，所以

|AB|＝|AF|＋|BF|＝y(tǒng)₁＋y₂＋2＝λ＋＋2＝(＋)²．

于是　　S＝|AB||FM|＝(＋)³，

由＋≥2知S≥4，且當(dāng)λ＝1時，S取得最小值4．

22．解：(Ⅰ)當(dāng)n＝1時，x²－a₁x－a₁＝0有一根為S₁－1＝a₁－1，

于是(a₁－1)²－a₁(a₁－1)－a₁＝0，解得a₁＝．

當(dāng)n＝2時，x²－a₂x－a₂＝0有一根為S₂－1＝a₂－，

于是(a₂－)²－a₂(a₂－)－a₂＝0，解得a₁＝．

(Ⅱ)由題設(shè)(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0，

即　　S_n²－2S_n＋1－a_nS_n＝0．

當(dāng)n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1，代入上式得

S_n－1S_n－2S_n＋1＝0　　�、�

由(Ⅰ)知S₁＝a₁＝，S₂＝a₁＋a₂＝＋＝．

由①可得S₃＝．

由此猜想S_n＝，n＝1，2，3，…．　　　　　　……8分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論．

(i)n＝1時已知結(jié)論成立．

(ii)假設(shè)n＝k時結(jié)論成立，即S_k＝，

當(dāng)n＝k＋1時，由①得S_k＋1＝，即S_k＋1＝，

故n＝k＋1時結(jié)論也成立．

綜上，由(i)、(ii)可知S_n＝對所有正整數(shù)n都成立．　　……10分

于是當(dāng)n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝－＝，

又n＝1時，a₁＝＝，所以

｛a_n｝的通項公式a_n＝，n＝1，2，3，…．        ……12分

2006高考數(shù)學(xué)試題全國II卷理科試題

       本試卷分第Ｉ卷（選擇題）和第ＩＩ卷（非選擇題）兩部分。第Ｉ卷１至２頁。第ＩＩ卷３至４頁�？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第Ｉ卷

注意事項：

       １．答題前，考生在答題卡上務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫清楚，并貼好條形碼。請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目。

       ２．每小題選出答案后，用２Ｂ鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，在試題卷上作答無效。

       其中Ｒ表示球的半徑

       球的體積公式

       其中Ｒ表示球的半徑

參考公式

       如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么

       如果事件Ａ、Ｂ相互獨立，那么

       如果事件Ａ在一次試驗中發(fā)生的概率是Ｐ，那么

       次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率是

一．選擇題

（1）已知集合，則 (D)

       （A）　　　　　　　　　　　�。˙）

       （C）　　　　　　�。―）

解析:,用數(shù)軸表示可得答案D

考察知識點有對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,集合的交集    本題比較容易.

（2）函數(shù)的最小正周期是(D)

       （A）　　　　（B）　　　�。–）　　　　（D）

解析: 所以最小正周期為,故選D

考察知識點有二倍角公式,最小正周期公式   本題比較容易.

（3）(A)

       （A）　　　�。˙）　　　　（C）　　　�。―）

解析: 故選A

本題考察的知識點復(fù)數(shù)的運算,(乘法和除法),比較簡單

（4）過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為(A)

       （A）　　　�。˙）　　　�。–）　　　�。―）

解析:設(shè)球的半徑為R, 過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面,由勾股定理可得一個半徑為的圓,所以,故選A

本題主要考察截面的形狀和球的表面積公式,難度中等

（5）已知的頂點B、C在橢圓上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則的周長是  ( C)

       （A）　　　�。˙）6　　　　（C）　　　�。―）12

解析(數(shù)形結(jié)合)由橢圓的定義橢圓上一點到兩焦點的距離之和等于長軸長2a,可得的周長為4a=,所以選C

本題主要考察數(shù)形結(jié)合的思想和橢圓的基本性質(zhì),難度中等

（6）函數(shù)的反函數(shù)為(B)

       （A）　　　�。˙）

       （C）　　　　（D）

解析:所以反函數(shù)為故選B

本題主要考察反函數(shù)的求法和對數(shù)式與指數(shù)式的互化,難度中等

（7）如圖，平面平面，與兩平面、所成的角分別為和。過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為、則(A)

       （A）　　　�。˙）

       （C）　　　�。―）

解析:連接,設(shè)AB=a,可得AB與平面所成的角為,在,同理可得AB與平面所成的角為,所以,因此在,所以,故選A

本題主要考察直線與平面所成的角以及線面的垂直關(guān)系,要用到勾股定理及直角三角形中的邊角關(guān)系.有一定的難度

（8）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則的表達(dá)式為(D)

       （A）　　　�。˙）

       （C）　　　　（D）

解析(x,y)關(guān)于原點的對稱點為(-x,-y),所以 故選D

本題主要考察對稱的性質(zhì)和對數(shù)的相關(guān)性質(zhì),比較簡單,但是容易把與搞混,其實

（9）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為(A)

       （A）　　　�。˙）　　　�。–）　　　　（D）

解析:雙曲線焦點在x軸,由漸近線方程可得,故選A

本題主要考察雙曲線的漸近線方程和離心率公式,涉及a,b,c間的關(guān)系,比較簡單

（10）若則 =(C)

       （A）　　　�。˙）

       （C）　　　　（D）

解析:

所以,因此故選C

本題主要考察函數(shù)解析式的變換和三角函數(shù)的二倍角公式,記憶的成分較重,難度一般

（11）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若則(A)

       （A）　　　　（B）　　　�。–）　　　�。―）

解析:由等差數(shù)列的求和公式可得且

所以,故選A

本題主要考察等比數(shù)列的求和公式,難度一般

（12）函數(shù)的最小值為(C)

       （A）190　　　�。˙）171　　　�。–）90　　　　（D）45

解析:表示數(shù)軸上一點到1,2,3…19的距離之和,可知x在1―19最中間時f(x)取最小值.即x=10時f(x)有最小值90,故選C

本題主要考察求和符號的意義和絕對值的幾何意義,難度稍大,且求和符號不在高中要求范圍內(nèi),只在線性回歸中簡單提到過.

理科數(shù)學(xué)

第ＩＩ卷（非選擇題，共90分）

注意事項：

       本卷共2頁，10小題，用黑碳素筆將答案答在答題卡上。答在試卷上的答案無效。

二．填空題：本大題共４小題，每小題４分，共１６分，把答案填在橫線上。

（13）在的展開式中常數(shù)項為     45（用數(shù)字作答）

解析:  要求常數(shù)項,即40-5r=0,可得r=8代入通項公式可得

本題利用二項式的通項公式(讓次數(shù)為0,求出r)就可求出答案,比較簡單

（14）已知的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且則邊BC上的中線AD的長為  

解析: 由的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列可得A+C=2B而A+B+C=可得

AD為邊BC上的中線可知BD=2,由余弦定理定理可得

本題主要考察等差中項和余弦定理,涉及三角形的內(nèi)角和定理,難度中等

（15）過點的直線將圓分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率

解析(數(shù)形結(jié)合)由圖形可知點A在圓的內(nèi)部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線,所以

本題主要考察數(shù)形結(jié)合思想和兩條相互垂直的直線的斜率的關(guān)系,難度中等

（16）一個社會調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）。為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在（元）月收入段應(yīng)抽出   25  人。

解析:由直方圖可得（元）月收入段共有人

按分層抽樣應(yīng)抽出人

本題主要考察直方圖和分層抽樣,難度一般

三．解答題：本大題共６小題，共７４分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

（17）（本小題滿分１２分）

              已知向量

       （I）若求     （II）求的最大值。

解(1).  

當(dāng)=1時有最大值,此時

最大值為

本題主要考察以下知識點1.向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0  2.特殊角的三角函數(shù)值

3.三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角函數(shù)的有界性  4.已知向量的坐標(biāo)表示求模

難度中等,計算量不大

（18）（本小題滿分１２分）

              某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件，一用戶在購進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3箱，再從每箱中任意出取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗。設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品。

       （I）用表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望；

       （II）若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品被用戶拒絕的概率。

解(1.)  

所以的分布列為

0

1

2

3

P

的數(shù)學(xué)期望E()= 

(2)P()=

本題主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,難度對于民族地區(qū)學(xué)生較大

（19）（本小題滿分１２分）

              如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點。

       （I）證明：ED為異面直線與的公垂線；

       （II）設(shè)求二面角的大小。

提示:1證明與兩條異面直線都垂直相交   利用等腰三角形

2  連,由可得為等腰直角三角形,因此在平面內(nèi)的射影為點所以,所以二面角為(或)

本題主要考察以下知識點1.異面直線的公垂線段的定義(與兩條異面直線均垂直切相交)

2.直棱柱的性質(zhì)(側(cè)棱垂至于底面)   3.三角形的邊的關(guān)系

4.二面角的求法(可用射影面積或者直接作出二面角)   難度對于民族地區(qū)考生較大

（20）（本小題１２分）

              設(shè)函數(shù)若對所有的都有成立，求實數(shù)的取值范圍。

解析:令  對g(x)求導(dǎo)得

令

當(dāng)時,對所有的x>0都有,所以上為單調(diào)增函數(shù)

又g(0)=0,所以對  即當(dāng)所以成立

當(dāng)a>1時,對于   所以g(x)在   所以對于

即f(x)<ax,  所以當(dāng)a>1時不一定成立

綜上所述可知a的取值范圍是

本題主要考察了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,涉及分類討論的數(shù)學(xué)思想

難度較大

（21）（本小題滿分為１４分）

       已知拋物線的焦點為F，A、B是熱線上的兩動點，且過A、B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為M。

       （I）證明為定值；

       （II）設(shè)的面積為S，寫出的表達(dá)式，并求S的最小值。

提示  F點的坐標(biāo)為(0,1)設(shè)A點的坐標(biāo)為   B點的坐標(biāo)為

由可得

因此

過A點的切線方程為    (1)

過B點的切線方程為    (2)

解(1)( 2)構(gòu)成的方程組可得點M的坐標(biāo),從而得到=0  即為定值

2. =0可得三角形面積 

所以

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號

本題主要考察共線向量的關(guān)系,曲線的切線方程,直線的交點以及向量的數(shù)量積等知識點

涉及均值不等式,計算較復(fù)雜.難度很大

（22）（本小題滿分１２分）

              設(shè)數(shù)列的前項和為，且方程

              有一根為

       （I）求

       （II）求的通項公式

提示:1 為方程的根,代入方程可得

將n=1和n=2代入上式可得   

2. 求出等,可猜想

并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明

本題主要考察1.一般數(shù)列的通項公式  求和公式間的關(guān)系

2.方程的根的意義(根代入方程成立)

3.數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項公式(也可以把分開為,可得

難道較大,不過計算較易,數(shù)列的前面一些項的關(guān)系也比較容易發(fā)現(xiàn)

試卷總體評價難度不算大,考察知識點不多.注重對一些基本公式以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的考察,選擇題填空題較簡單,但解答題有一定的難度,保證學(xué)習(xí)一般的學(xué)生能拿到100左右的分?jǐn)?shù),但是得高分也比較困難.有較好的區(qū)分度

函數(shù)的周期性以及函數(shù)的連續(xù)性和極限等知識點沒在試卷的考察范圍內(nèi),新題不多.