(A)24         (B)14            (C)13             (D)11.5

2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）

文科數(shù)學(xué)（必修+選修Ⅰ）

第Ⅱ卷（共90分）

注意事項(xiàng)：

1.       用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中。

2.       答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。

（13）某學(xué)校共有師生2400人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為160的樣本，已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為150，那么該學(xué)校的教師人數(shù)是　　　　　.

（14）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，＝14，－＝30，則＝　　　　.

（15）已知拋物線，過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(兩點(diǎn)，則y的最小值是

（16）如圖，在正三棱柱ABC-中，所有棱長均為1，則點(diǎn)B到平面ABC的距離為　　　　.

（17）（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)f(x)=

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ) 討論f(x)的極值.
（18）（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)＝A且y=f(x)的最大值為2，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，并過點(diǎn)（1，2）.

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)計(jì)算f(1)+f(2)+…+f(2008).

（19）（本小題滿分12分）

盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的卡片各2張，從盒中任意任取3張，每張卡片被抽出的可能性都相等，求：

(Ⅰ)抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率；

(Ⅱ)抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3的概念；

(Ⅲ)抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率.

(20) （本小題滿分12分）

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，又BO=2,PO=,PB⊥PD.

(Ⅰ)求異面直接PD與BC所成角的余弦值；

(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；

(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)M在棱PC上，且為何值時(shí)，PC⊥平面BMD.

（21）（本小題滿分12分）

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為l.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)直線過點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)ΔAOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程.

（22）（本小題滿分14分）

已知數(shù)列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3….

(Ⅰ)令

(Ⅱ)求數(shù)列

(Ⅲ)設(shè)的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由。

答案

2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)

文科數(shù)學(xué)答案

  1、D    2、C    3、A    4、D    5、B   6、B   7、C    8、C    9、A

  10、D     11、A     12、B

  13、150     14、54    15、32   16、

（1）       定義集合運(yùn)算：A⊙B=?z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B?,設(shè)集合A＝ ｛0,1｝,B＝ ｛2,3｝,則集合A⊙B的所有元素之和為（D）

 (A) 0         (B)6            (C)12             (D)18

解：當(dāng)x＝0時(shí)，z＝0，當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，z＝6，當(dāng)x＝1，y＝3時(shí)，z＝12，故所有元素之和為18，選D

     (2)設(shè)（ C   ）

(A)0         　(B)1            (C)2             (D)3

解：f（f（2））＝f（1）＝2，選C

（3）函數(shù)（A    ）

(A)                  (B)               (C)                 (D)

解：函數(shù)y=1+a^x(0<a<1)的反函數(shù)為，它的圖象是函數(shù)向右移動(dòng)1個(gè)單位得到，選A

(4)設(shè)向量a=(1,－3),b=(－2,4),若表示向量4a、3b－2a、c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c為（D   ）

(A)（1，－1）         (B)（－1， 1）            (C) （－4，6）            (D) （4，－6）

解：4a＝（4，－12），3b－2a＝（－8，18），設(shè)向量c＝（x，y），依題意，得4a＋（3b－2a）＋c＝0，所以4－8＋x＝0，－12＋18＋y＝0，解得x＝4，y＝－6，選D

（5）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)＝－f(x)，則f(6) 的值為（ B  ）

(A) －1         (B)0            (C)1             (D)2

解：因?yàn)?i>f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函數(shù)f（x）的周期為4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，選B

（6）在ΔABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知A=,a=,b=1，則c=（ B   ）

(A)1         (B)2            (C) －1             (D)

解：由正弦定理可得sinB＝，又a>b，所以A>B，故B＝30°，所以C＝90°，故c＝2，選B

（7）在給定雙曲線中，過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該雙曲線的離心率為（ C  ）

(A)         (B)2            (C)              (D)2

解：不妨設(shè)雙曲線方程為（a>0，b>0），則依題意有，

據(jù)此解得e＝，選C

（8）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（ C  ）

(A)1∶         (B)1∶3            (C)1∶3             (D)1∶9

解：設(shè)正方體的棱長為a，則它的內(nèi)切球的半徑為，它的外接球的半徑為，故所求的比為1∶3，選C

（9）設(shè)p∶∶0，則p是q的（A   ）

(A)充分不必要條件 　　　　　　　        (B)必要不充分條件

(C)充要條件　　　　　　　　　　　　     (D)既不充分也不必要條件

解：p：Û－1<x<2，q：0Ûx<－2或－1<x<2，故選A

(10)已知()的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是（  D  ）

(A)－1         (B)1            (C)－45             (D)45

解：第三項(xiàng)的系數(shù)為，第五項(xiàng)的系數(shù)為，由第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為可得n＝10，則＝，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常數(shù)項(xiàng)為＝45，選D

（11）已知集集合A=｛5｝，B={1，2}，C＝｛1，3，4｝，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ A  ）

(A)33         (B)34            (C)35             (D)36

解：不考慮限定條件確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三個(gè)數(shù)確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)只有三個(gè)，故所求的個(gè)數(shù)為36－3＝33個(gè)，選A

（12）已知x和y是正整數(shù)，且滿足約束條件則z＝2x＋3y的最小值是（  B  ）

(A)24         (B)14            (C)13             (D)11.5

解：畫出可域：如圖所示

易得

B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4）且當(dāng)直線z＝2x＋3y

過點(diǎn)B時(shí)z取最大值，此時(shí)z＝24，點(diǎn)

C的坐標(biāo)為（3.5，1.5），過點(diǎn)C時(shí)取得最小值，

但x，y都是整數(shù)，最接近的整數(shù)解為（4，2），

故所求的最小值為14，選B

17．解：由已知得     ，

令，解得   .

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增

 當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表：

0

+

0

0

極大值

極小值

從上表可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

     當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值.

     當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值.

18．

解：（I）

的最大值為2，.

又其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，，

.

過點(diǎn)，

又∵

.

（II）解法一：，

.

又的周期為4，，

解法二：

又的周期為4，，

19．

解：（I）“抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4”的事件記為A，由題意

（II）“抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3”的事件記為B，則

（III）“抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同”的事件記為C，“抽出的3張卡片上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為D，由題意，C與D是對(duì)立事件，因?yàn)?/p>

所以       .

20．解法一：

平面，

又，

由平面幾何知識(shí)得：

（Ⅰ）過做交于于，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，

四邊形是等腰梯形，

又

四邊形是平行四邊形。

是的中點(diǎn)，且

又，

為直角三角形，

在中，由余弦定理得

故異面直線PD與所成的角的余弦值為

（Ⅱ）連結(jié)，由（Ⅰ）及三垂線定理知，為二面角的平面角

，

二面角的大小為

（Ⅲ）連結(jié)，

平面平面，

又在中，

，

，

故時(shí)，平面

解法二：

 平面

又，，

由平面幾何知識(shí)得：

以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，

（Ⅰ），

       ，

。

。

故直線與所成的角的余弦值為

（Ⅱ）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由于，，

由   得 

取，又已知平面ABCD的一個(gè)法向量，

又二面角為銳角，

所求二面角的大小為

（Ⅲ）設(shè)，由于三點(diǎn)共線，，

平面，

由（1）（2）知：

，。

故時(shí)，平面。

21．解：設(shè)橢圓方程為

（Ⅰ）由已知得

∴所求橢圓方程為       .

（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為

由，消去y得關(guān)于x的方程：

由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，

解得

又由韋達(dá)定理得

原點(diǎn)到直線的距離

.

解法1：對(duì)兩邊平方整理得：

（*）

           ∵，

              整理得：

              又，   

              從而的最大值為，

此時(shí)代入方程（*）得 

所以，所求直線方程為：.

解法2：令，

              則

                     當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，

                     此時(shí).

                     所以，所求直線方程為

解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零.

              設(shè)直線l的方程為，

              則直線l與x軸的交點(diǎn)，

              由解法一知且，

              解法1：

                                    =

                                   .

                     下同解法一.

              解法2：

                            下同解法一.

22．解：（I）由已知得 

又

是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.

（II）由（I）知，

將以上各式相加得：

（III）解法一：

存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.

數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)

即

又

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列.

解法二：

存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.

由（I）、（II）知，

又

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列.