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2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）

理科數(shù)學(xué)（必修+選修II）

 本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至2頁，第II卷3至10頁，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（共60分）

注意事項(xiàng)：

1.       答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號，考試科目涂寫在答題卡上。

2.       每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮檫干凈后，再選其他答案標(biāo)號，不能答在試題卷上。

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互獨(dú)立，P(A?B)=P(A)?P(B)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)符合題目要求的選項(xiàng).

試題詳情

試題詳情

三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

試題詳情

（1）―（12）DACBD     BBAAD    CC

(13) 2      (14) 32     (15)     (16)34  

（1）定義集合運(yùn)算：A⊙B=｛z?z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，設(shè)集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，則集合A⊙B的所有元素之和為（ D  ）

（A）0       （B）6           （C）12                 （D）18

解：當(dāng)x＝0時(shí)，z＝0，當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，z＝6，當(dāng)x＝1，y＝3時(shí)，z＝12，故所有元素之和為18，選D

（2）函數(shù)y=1+a^x(0<a<1)的反函數(shù)的圖象大致是（ A  ）

   （A）            （B）           （C）               （D）

解：函數(shù)y=1+a^x(0<a<1)的反函數(shù)為，它的圖象是函數(shù)向右移動1個(gè)單位得到，選A

(3)設(shè)f(x)=  則不等式f(x)>2的解集為（  C ）

(A)（1，2）（3，+∞）                 (B)（，+∞）

(C)（1，2） （ ，+∞）            (D)（1，2）

解：令>2（x<2），解得1<x<2。令>2（x³2）解得xÎ（，+∞）

選C

（4）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,A=,a=,b=1，則c=（  B  ）

(B)   1          （B）2           （C）―1           （D）

解：由正弦定理可得sinB＝，又a>b，所以A>B，故B＝30°，所以C＝90°，故c＝2，選B

（5）設(shè)向量a=(1,－3),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d為（  D ）

(A)(2,6)         (B)(－2,6)         (C)(2,－6)              (D)(－2,－6)

解：設(shè)d＝（x，y），因?yàn)?a＝（4，－12），4b－2c＝（－6，20），2(a－c)＝（4，－2），依題意，有4a＋（4b－2c）＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，選D

(6)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=－f(x),則,f(6)的值為（ B  ）

(A)－1           (B) 0             (C)   1                 (D)2

解：因?yàn)?i>f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函數(shù)

f（x）的周期為4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，選C

（7）在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為（  B ）

(A)          (B)            (C)                   (D)

解：不妨設(shè)橢圓方程為（a>b>0），則有，據(jù)此求出e＝，選B

  （8）設(shè)p：x－x－20>0,q：<0,則p是q的（  A  ）

（A）充分不必要條件                      （B）必要不充分條件

（C）充要條件                            （D）既不充分也不必要條件

解：p：x－x－20>0Ûx>5或x<－4，q：<0Ûx<－2或－1<x<1或x>2，借助圖形知選A

（9）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（  A ）

(A)33         (B) 34           (C) 35               (D)36

解：不考慮限定條件確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三個(gè)數(shù)確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)只有三個(gè)，故所求的個(gè)數(shù)為36－3＝33個(gè)，選A

（10）已知的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為－,其中=－1，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是（ A   ）

(A)－45i      (B) 45i        (C) －45            (D)45

解：第三項(xiàng)的系數(shù)為－，第五項(xiàng)的系數(shù)為，由第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為－可得n＝10，

則＝，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常數(shù)項(xiàng)為＝45，選A

（11）某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y須滿足約束條件則z=10x+10y的最大值是（C    ）

(A)80      (B) 85         (C) 90           (D)95

解：畫出可行域：

易得A（5.5，4.5）且當(dāng)直線z＝10x＋10y過A點(diǎn)時(shí)，

z取得最大值，此時(shí)z＝90，選C

（12）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點(diǎn)，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P，則P－DCE三棱錐的外接球的體積為（  C  ）

(A)     (B)       (C)          (D) 

                                             （12題圖）

解：易證所得三棱錐為正四面體，它的棱長為1，故外接球半徑為，外接球的體積為，選C

絕密★啟用前

2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）

理科數(shù)學(xué)（必修+選修II）

注意事項(xiàng)：

1.用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中。

2.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。

得分

評卷人

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.答案須填在題中橫線上.

（13）若  2        .

解：      

（14）已知拋物線y²=4x,過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x₁，y₁),B(x₂，y₂)兩點(diǎn)，則的最小值是  32        .

解：顯然³0，又＝4（）³8，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以所求的值為32。

（15）如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，D是A₁C₁的 中點(diǎn)，則直線AD 與平面B₁DC所成角的正弦值為            .

                                                                （15題圖）

解：易證B₁^平面AC₁，過A點(diǎn)作AG^CD，則

AG^平面B₁DC，于是ÐADG即ÐADC為直線AD 與平面B₁DC所成角，由平面幾何知識可求得它的正弦值為。

（16）下列四個(gè)命題中，真命題的序號有                  （寫出所有真命題的序號）.

①將函數(shù)y=的圖象按向量y=(-1,0)平移，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=

②圓x²+y²+4x-2y+1=0與直線y=相交，所得弦長為2

③若sin(+)=，sin(－)=,則tancot=5

④如圖，已知正方體ABCD- A₁B₁C₁D₁，P為底面ABCD內(nèi)一動點(diǎn)，P到平面AA₁D₁D的距離與到直線CC₁的距離相等，則P點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分.

解：①錯(cuò)誤，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式應(yīng)為y＝|x－2|

②錯(cuò)誤，圓心坐標(biāo)為（－2，1），到直線y=的距離為

>半徑2，故圓與直線相離，                        

③正確，sin(+)=＝sincos＋cossin

sin(－)＝sincos－cossin＝

兩式相加，得2 sincos＝，

兩式相減，得2 cossin＝，故將上兩式相除，即得tancot=5

④正確，點(diǎn)P到平面AD₁的距離就是點(diǎn)P到直線AD的距離，

點(diǎn)P到直線CC₁就是點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離，由拋物線的定義

可知點(diǎn)P的軌跡是拋物線。

                                                            （16題圖）

三．解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，且的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點(diǎn)（1,2）.

（I）求

（II）計(jì)算.

解：（I）

的最大值為2，.

又其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，，

.

過點(diǎn)，

又

.

（II）解法一：，

.

又的周期為4，，

解法二：

又的周期為4，，

18．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，其中，求的單調(diào)區(qū)間.

解：由已知得函數(shù)的定義域?yàn)�，�?/p>

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

（2）當(dāng)時(shí)，由解得

、隨的變化情況如下表

―

0

+

極小值

從上表可知

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

19．（本小題滿分12分）

如圖，已知平面平行于三棱錐的底面ABC，等邊△所在的平面與底面ABC垂直，且∠ACB=90°，設(shè)

（1）求證直線是異面直線與的公垂線；

（2）求點(diǎn)A到平面VBC的距離；

（3）求二面角的大小。

解法1：

（Ⅰ）證明：∵平面∥平面，

又∵平面⊥平面，平面∩平面，

∴⊥平面，

，

又，.

為與的公垂線.

（Ⅱ）解法1：過A作于D，

         ∵△為正三角形，

∴D為的中點(diǎn).

∵BC⊥平面

∴，

又，

∴AD⊥平面，

∴線段AD的長即為點(diǎn)A到平面的距離.

在正△中，.

∴點(diǎn)A到平面的距離為.

解法2：取AC中點(diǎn)O連結(jié)，則⊥平面，且=.

由（Ⅰ）知，設(shè)A到平面的距離為x，

，

即，解得.

即A到平面的距離為.

則

所以，到平面的距離為.

(III)過點(diǎn)作于，連，由三重線定理知

是二面角的平面角。

在中，

。

。

所以，二面角的大小為arctan.

解法二：

取中點(diǎn)連,易知底面，過作直線交。

取為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。則。

（I），，

，

。

    又

由已知。

，

而。

又顯然相交，

是的公垂線。

（II）設(shè)平面的一個(gè)法向量，

  又

  由

取 得

點(diǎn)到平面的距離，即在平面的法向量上的投影的絕對值。

，設(shè)所求距離為。

       則

              所以，A到平面VBC的距離為.

（III）設(shè)平面的一個(gè)法向量

由                                 

取    

二面角為銳角，

所以，二面角的大小為

20．（本小題滿分12分）

袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：

（1）取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；

（2）隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望；

（3）計(jì)分介于20分到40分之間的概率。

解：（I）解法一：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為，

則

解法二：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A”，“一次取出的3個(gè)小球上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為，則事件和事件是互斥事件，因?yàn)?/p>

所以.

（II）由題意有可能的取值為：2，3，4，5.

所以隨機(jī)變量的概率分布為

2

3

4

5

因此的數(shù)學(xué)期望為

（Ⅲ）“一次取球所得計(jì)分介于20分到40分之間”的事件記為，則

21．（本小題滿分12分）

雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，直線為C的一條漸近線。

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過點(diǎn)的直線，交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，交軸于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合），當(dāng)，且時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為

    由橢圓 

求得兩焦點(diǎn)為，

對于雙曲線，又為雙曲線的一條漸近線

  解得 ，

雙曲線的方程為

（Ⅱ）解法一：

由題意知直線的斜率存在且不等于零。

設(shè)的方程：，

則

在雙曲線上，

同理有：

若則直線過頂點(diǎn)，不合題意.

是二次方程的兩根.

，

此時(shí).

所求的坐標(biāo)為.

解法二：

由題意知直線的斜率存在且不等于零

設(shè)的方程，，則.

，

分的比為.

由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得

下同解法一

解法三：

由題意知直線的斜率存在且不等于零

設(shè)的方程：，則.

，

.

，

，，

又，

即

將代入得

，否則與漸近線平行。

。

解法四：

由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設(shè)的方程：，

則

,

。

同理      

.

即    。                                    （*）

消去y得.

當(dāng)時(shí)，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，。

由韋達(dá)定理有：

代入（*）式得    

所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為。

22．（本小題滿分14分）

已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中

（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設(shè)，求及數(shù)列的通項(xiàng)；

（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)，并證明

解：（Ⅰ）由已知，

              ，兩邊取對數(shù)得

，

即

是公比為2的等比數(shù)列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

                                 （*）

                     =

              由（*）式得

（Ⅲ）

又

又

.