2009年高考實(shí)戰(zhàn)模擬數(shù)學(xué)（理）試題

一、選擇題（本大題12小題，每小題5分，共60分.）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

B

C

C

A

D

B

A

D

C

A

二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.）

13. ；14. [3，243]； 15. ；  16.

三、解答題（共6個(gè)小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.解：（Ⅰ）解法一：∵、、

∴，.

由得：，

即.  ∵   ∴.                             ………5分

解法二：∵   ∴點(diǎn)在線段的中垂線上，即在直線上，故

∵   ∴.                                   ………5分

（Ⅱ）                ………6分

由得：

即                                         ………7分

∵，     ∴  ………8分

∴  解得：   

∴            ………9分

∴           ………10分

18. 解： （Ⅰ）記“該大學(xué)生通過第一輪筆試”為事件A，

                “該大學(xué)生通過第二輪面試”為事件B，

                “該大學(xué)生通過第三輪試用”為事件C。

則

那么該大學(xué)生未進(jìn)入第三輪考核的概率是

       ………6分

（或                                 ………6分

   （Ⅱ）的可能取值為1，2，3.

    P(=1)=P()=1-P(A)= P(=2)=P()=P(A)(1-P(B))=

       P(=3)=

       或P(=3)=                          ………9分

       的數(shù)學(xué)期望                     ………11分

    的方差      ………12分

19. 解法一：

（Ⅰ）依題意，在平面內(nèi)移動(dòng)        ………2分

在正方體中,

∴   同理

∴平面

∴                               ………4分

（Ⅱ）連接，過做平面，

垂足為，∵∥   ∴在上；過作

于，連接PF，則為

二面角的一個(gè)平面角。          ………6分

在中，，因?yàn)?sub>，所以。

∴為的中點(diǎn)    ∴為的中點(diǎn)。

即為的中點(diǎn)時(shí)，二面角的正切值為。             ………9分

（Ⅲ）連接，在三棱錐中，

，設(shè)到平面的距離為，則有：

           ………11分

，

∴

即到平面的距離為                                    ………12分

解法二：以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。所以

（）

（Ⅰ）

∴                       ………4分

（Ⅱ）由題意可得，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則

即，令z=1，解得：

所以

∴

解得 或（舍去）

∴為的中點(diǎn)時(shí)，二面角的正切值為。                    ………9分

（Ⅲ）由題意可得：，則，為平面的一個(gè)法向量，所以到平面的距離為：

即到平面的距離為                                             ………12分

20. 解：（Ⅰ）依題意可設(shè)雙曲線的漸近線方程為，即

∵該直線與圓 相切

∴雙曲線的兩條漸近線方程為                                    ………2分

故設(shè)雙曲線的方程為，

又∵雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱

∴  雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為  ∴

∴，

∴雙曲線C的方程為                                           ………4分

（Ⅱ）設(shè)、由題設(shè)知直線的方程為

由

得                                              ………6分

由題意知：

  解得                                      ………9分

坐標(biāo)原點(diǎn)到直線距離為

                                      ………10分

     ∵  ∴

∴坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是                             ………12分

21. 解： （Ⅰ）設(shè)的公比為，依題意

　　　　　　　　，，

　　　　　　　　……

　　　　　　　　，（）．

將以上各式相加，得（）．                           ………4分

所以當(dāng)時(shí)，

上式對(duì)顯然成立．                                                      ………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），當(dāng)時(shí)，顯然不是與的等差中項(xiàng)，故．………7分

當(dāng)時(shí)由可得，∵  ∴，　①

整理得，解得或（舍去）．于是．………9分

∵，

由①可得

∴ ，．

所以對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．                             ………12分

22. 解：（Ⅰ）∵

             ∴ 

∴是以2為最小正周期的周期函數(shù)                           ……… 2分

又是定義在R上的偶函數(shù)，則     

∴

又∵2.5∈[2,3]，∴

∴                                                ……… 4分

（Ⅱ）設(shè)，則，

∴

∴當(dāng)時(shí)函數(shù)的解析式為，……… 6分

此時(shí)    ∴

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為：

整理得                                  ……… 8分

（Ⅲ） 設(shè)時(shí)則，所以

∴時(shí)函數(shù)的解析式為

∴時(shí)函數(shù)的解析式為                             ……… 8分

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（其中，則點(diǎn)，所以矩形的面積為                 ……… 9分

           令     

           解得：                  

          時(shí)，，函數(shù)遞增

          時(shí)，，函數(shù)遞減            

          ∴函數(shù)在時(shí)有最大值＝

即矩形ABCD面積的最大值為                         ……… 12分

注：以上解答僅供參考，另有解法，酌情給分。