四川省新都一中2009屆高三年級高考模擬測試數(shù)學(理科)試題

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。

第Ⅰ卷（選擇題  共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，第小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1、滿足條件的所有集合M的個數(shù)是

A．4      B．3      C．2      D．1

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2、點P 位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

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3、已知m，n為異面直線，平面平面，則l

A．與m，n都相交                   B．與m，n中至少一條相交

C．與m，n都不相交             D．至多與m，n中有一條相交

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4、函數(shù)的反函數(shù)為

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A． B．

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C．       D．

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5、在內(nèi)，使sinx＞cosx成立的x的取值范圍為     

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A．                           B．

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C．                                   D．

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6、若不等式對于一切成立，則a的最小值是   

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A．0                    B．－2              C．               D．－3

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7、在△ABC中，，，，的值為

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A．             B．              C．                D．

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8、對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足則必有

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A．                     B．

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C．               D．

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9、設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，記，則下列結(jié)論不正確的是

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A．                       B．      

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C．      D．

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10、若展開式中各項系數(shù)之和為214，則展開式中含x2的項是

A．第3項                   B．第5項                   C．第4項                   D．不存在

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11、設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，，則                                                   

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A．               B．          C．             D．

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12、函數(shù) f:{1,2,3}{1,2,3} 滿足f(f(x))= f(x)，則這樣的函數(shù)個數(shù)共有

A．1個            B．4個           C．8個          D．10個

第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）

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二、填空題：本大題共4小題，共16分，請將答案填在題中的橫線上．

13、在數(shù)列｛an｝中，若a1=1, an+1=2an+3 (n≥1), 則該數(shù)列的通項an=_______________.

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14、如圖，點P1，P2，P3，…，P10分別是四面體頂點或棱的中點．從點P2，P3，…，P10中選出3個不同點，使它們與頂點P1在同一個平面上，共有           種不同選法．

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15、實數(shù)x，y滿足，則的最大值是             ．

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16、設(shè)x，y，z是空間中不同的直線或不同的平面，且直線不在平面內(nèi)，則下列結(jié)論中能保證“x⊥z，且y⊥z ，則 x//y ”為真命題的是______________________(請把你認為所有正確的結(jié)論的代號都填上).

①x為直線，y, z為平面；②x , y , z為平面；③x , y為直線，z為平面；④x , y , z為直線；⑤x , y為平面，z為直線.

 

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三、解答題：本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．(17~21題每小題12分，22題14分)

17. 已知向量，,,

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函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的值；

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（2）將函數(shù)的圖象按向量平移，使得平移后的圖象關(guān)于原點對稱，求向量．

 

 

 

 

 

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18、如圖，正三棱柱ABC―A1B1C1中，D是BC的中點，AA1=AB=1.

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   （I）求證：A1C//平面AB1D；（II）求二面角B―AB1―D的大��；

   （III）求點C到平面AB1D的距離.

 

 

 

 

 

 

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19、袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為．現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止．每個球在第一次被取出的機會是等可能的，用表示取球終止時所需要的取球次數(shù)．求：

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（1）袋中原有白球的個數(shù)；（2）隨機變量的數(shù)學期望；（3）甲取到白球的概率．

 

 

 

 

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20、已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，．（I）求的解析式；（II）是否存在實數(shù)a，使得當時，的最小值是3．如果存在，求出a的值，如果不存在，說明理由．

 

 

 

 

 

 

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21、已知數(shù)列{an}滿足 （ ，且），前n項和．

（1）求證：{an}為等比數(shù)列；

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（2）記（），Tn為數(shù)列的前n項和．

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（i）當a＝2時，求；（ii）當時，是否存在正整數(shù)m，使得對于任意正整數(shù)n都有≥？如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由．

 

 

 

 

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22、已知函數(shù)是在（0,+∞）上每一點處可導(dǎo)的函數(shù)，若在x＞0上恒成立.

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（1）求證：函數(shù)（0,+∞）上是增函數(shù)；

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（2）當時，證明： ；

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（3）已知不等式在且時恒成立，求證：

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一、選擇題：（每小題5分，共60分）

ADBBC    CDCDC  BD

二、填空題：（每小題4分，共16分）

13. .

14、33

15、

16. ① ③ ⑤

三、解答題

17、【解】由題意，得

．……4分

（1）∵，，∴，

∴． ……8分

（2）由圖象變換得，平移后的函數(shù)為，而平移后的圖象關(guān)于原點對稱．

∴且，即且，

∵，∴，即．……12分

 

18、【解】解法一（I）證明：

連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.

∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，

∴四邊形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中點，

又D是BC的中點，

∴DE∥A1C. ………………………… 3分

∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分

   （II）解：在面ABC內(nèi)作DF⊥AB于點F，在面A1ABB1內(nèi)作FG⊥AB1于點G，連接DG.

∵平面A1ABB1⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A1ABB1，

∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，  ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1

∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………6分

設(shè)A1A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

在△ABE中，，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B―AB1―D的大小為 …………………………8分

   （III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.

在平面B1BCC1內(nèi)作CH⊥B1D交B1D的延長線于點H，

則CH的長度就是點C到平面AB1D的距離. ……………………………10分

由△CDH∽△B1DB，得

        
   
        
    
    
        
    
        解法二：
        建立空間直角坐標系D―xyz，如圖，
           （I）證明：
        連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.
        設(shè)A1A
= AB = 1，
        則
         …………………………3分
        ，
         ……………………………………4分
           （II）解：， ，
        設(shè)是平面AB1D的法向量，則，
        故；
        同理，可求得平面AB1B的法向量是 ……………………6分
        設(shè)二面角B―AB1―D的大小為θ，，
        ∴二面角B―AB1―D的大小為 …………………………8分
           （III）解由（II）得平面AB1D的法向量為，
        取其單位法向量
        ∴點C到平面AB1D的距離 ……………………12分
         
        19、【解】（1）設(shè)袋中原有n個白球，由題意知：
        ． 
        ∴，解得或（舍去），即袋中原有3個白球．……4分
        （2）由題意，的可能取值為1，2，3，4，5，
        ，，，
        ，． 
        所以，取球次數(shù)的分布列為：
        1
        2
        3
        4
        5
        P
         
         
         
         
        ……8分
        （3）因為甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，記“甲取到
        白球”的事件為A，則，
        因為事件兩兩互斥，所以
        ．……12分
         
        20、【解】（1）設(shè)，則，∴，
        又為奇函數(shù)，
        ∴函數(shù)的解析式為    ……4分
        （II）假設(shè)存在實數(shù)a符合題意，先求導(dǎo)，
        ①當a≥時，由于．則≥0．
        ∴函數(shù)是上的增函數(shù)，
        ∴，則（舍去）．……8分
        ②當時，≤≤；
        ．則
        在上遞減，在上遞增，
        ∴，解得，
        綜合（1）（2）可知存在實數(shù)，使得當時，有最小值3．12分
         
        21【解】（1）當n≥2時，，整理得，
        ∴{an}是公比為a的等比數(shù)列．……4分
        （2） ，．
        （i）當a＝2時，，，
        兩式相減得．
        ∴．……8分
        （ii），∴n為偶數(shù)時，，n為奇數(shù)時，，若存在滿足條件的正整數(shù)m，則m為偶數(shù)．
        （），當時，，
        ∴，又，
        當時，，即；
        當時，，即．
        故存在正整數(shù)m＝8，使得對任意正整數(shù)n都有≥．……12分
         
        22、【解】（1）證明：由g(x)=′(x)=
              由xf′（x）＞f(x)可知：g′(x)
＞0在x＞0上恒成立.
              從而g(x)= ………………………………4分
         
（2）由（1）知g(x)=
              在x1＞0,x2＞0時，  
        于是＜
        兩式相加得到：f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2) …………………………………………8分
        （3）由（2）中可知：
        g(x)=
         
 由數(shù)學歸納法可知：xi＞0(i=1,2,3,…,n)時,
        有f(x1)+f(x2)+f(x3)+…
+f(xn)＜f(x1+x2+x3+…+xn)
(n≥2)恒成立. ……………10分
        設(shè)f(x)=xlnx，則在xi＞0(i=1,2,3,…,n)時
        有x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)（n≥2）……（*）恒成立.
        令…+=…+ 
         由＜…+
        ＞…+ ………………………………12分
        (x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)<(x1+x2+…+xn)ln(1-…+xn)
        (∵ln(1+x)＜x)
＜-  
(**)………………………13分
        由（**）代入（*）中，可知：
        …+
        于是：…+…………………14分
         
         
         
         
        
				
	
        
		
        


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