上海市2009年高考模擬試題匯編
圓錐曲線
一、填空題
1、(2009上海青浦區(qū))已知是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則
的最大值是 .
5
2、(2009閔行三中模擬)已知為雙曲線的右頂點(diǎn),F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn),則|AF|=_______。
1
3、(2009冠龍高級(jí)中學(xué)3月月考)以橢圓中心為頂點(diǎn),右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)____________。
4、(2009上海普陀區(qū))設(shè)聯(lián)結(jié)雙曲線與(,)的個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為,聯(lián)結(jié)其個(gè)焦點(diǎn)的四邊形面積為,則的最大值為 .
5、(2009上海十四校聯(lián)考)以原點(diǎn)為頂點(diǎn),x軸為對(duì)稱軸且焦點(diǎn)在上的拋物線方程是
。
二、解答題
1、(2009上海十四校聯(lián)考)我們知道,判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別,那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎?請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問(wèn)題
(1)設(shè)F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)F1、F2到直線的距離分別為d1、d2,試求d1?d2的值,并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系
(2)設(shè)F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)F1、F2到直線
(m、n不同時(shí)為0)的距離分別為d1、d2,且直線L與橢圓M相切,試求d1?d2的值
(3)試寫(xiě)出一個(gè)能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件,并證明
(4)將(3)中得出的結(jié)論類比到其它曲線,請(qǐng)同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論(不必證明)
解:(1); ………………2分
聯(lián)立方程; …………3分
與橢圓M相交 …………4分
(2)聯(lián)立方程組
消去
(3)設(shè)F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)F1、F2到直線
的距離分別為d1、d2,且F1、F2在直線L的同側(cè)那么直線L與橢圓相交的充要條件為:;直線L與橢圓M相切的充要條件為:;直線L與橢圓M相離的充要條件為: ……14分
證明:由(2)得,直線L與橢圓M相交
命題得證
(寫(xiě)出其他的充要條件僅得2分,未指出“F1、F2在直線L的同側(cè)”得3分)
(4)可以類比到雙曲線:設(shè)F1、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)F1、F2到直線距離分別為d1、d2,且F1、F2在直線L的同側(cè)。那么直線L與雙曲線相交的充要條件為:;直線L與雙曲線M相切的充要條件為:;直線L與雙曲線M相離的充要條件為:
………………20分
(寫(xiě)出其他的充要條件僅得2分,未指出“F1、F2在直線L的同側(cè)”得3分)
2、(2009上海盧灣區(qū)4月模考)如圖,已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在軸上,點(diǎn)
在軸上,其橫坐標(biāo)不小于零,點(diǎn)在直線上,
且滿足,.
(1)當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡;
(2)過(guò)定點(diǎn)作互相垂直的直線與,與
(1)中的軌跡交于、兩點(diǎn),與(1)中的軌跡交于、兩點(diǎn),求四邊形面積的最小值;
(3)(在下列兩題中,任選一題,寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程,并求出結(jié)果,若同時(shí)選做兩題,
則只批閱第②小題,第①題的解答,不管正確與否,一律視為無(wú)效,不予批閱):
① (解答本題,最多得6分)將(1)中的曲線推廣為橢圓:,并
將(2)中的定點(diǎn)取為焦點(diǎn),求與(2)相類似的問(wèn)題的解;
② (解答本題,最多得9分)將(1)中的曲線推廣為橢圓:,并
將(2)中的定點(diǎn)取為原點(diǎn),求與(2)相類似的問(wèn)題的解.
解:(1)設(shè),易知,,,由題設(shè),
得其中,從而,,且,
又由已知,得,
當(dāng)時(shí),,此時(shí),得,
又,故,,即,,
當(dāng)時(shí),點(diǎn)為原點(diǎn),為軸,為軸,點(diǎn)也為原點(diǎn),從而點(diǎn)也為原點(diǎn),因此點(diǎn)的軌跡的方程為,它表示以原點(diǎn)為頂點(diǎn),以為焦點(diǎn)的拋物線; (4分)
(2)由題設(shè),可設(shè)直線的方程為,直線的方程為,,又設(shè)、,
則由,消去,整理得,
故,同理, (7分)
則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,因此四邊形面積的最小值為. (9分)
(3)① 當(dāng)時(shí)可設(shè)直線的方程為,
由,得,
故,, (12分)
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. (14分)
當(dāng)時(shí),易知,,得,故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)四邊形面積有最小值. (15分)
② 由題設(shè),可設(shè)直線的方程為,當(dāng)時(shí),由,
消去,整理得,得,
同理, (12分)
則,其中,
若令,則由
,其中,即,故當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),有最大值,由,得有最小值,故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),四邊形面積有最小值為. (17分)
又當(dāng)時(shí),,,此時(shí),由,得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),四邊形面積有最小值為. (18分)
3、(2009上海八校聯(lián)考)已知雙曲線的漸近線方程為,左焦點(diǎn)為F,過(guò)的直線為,原點(diǎn)到直線的距離是
(1)求雙曲線的方程;
(2)已知直線交雙曲線于不同的兩點(diǎn)C,D,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù),使得以CD為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F。若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
解:(1)∵ 2分
原點(diǎn)到直線AB:的距離, 4分
故所求雙曲線方程為 6分
(2)把中消去y,整理得 . 8分
設(shè),則
因?yàn)橐訡D為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F,所以 , 10分
可得 把代入,
解得: 13分
解,得,滿足,14分
4、(2009上海奉賢區(qū)模擬考)已知:點(diǎn)P與點(diǎn)F(2,0)的距離比它到直線+4=0的距離小2,若記點(diǎn)P的軌跡為曲線C。
(1)求曲線C的方程。
(2)若直線L與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),且OA⊥OB。求證:直線L過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。
(3)試?yán)盟鶎W(xué)圓錐曲線知識(shí)參照(2)設(shè)計(jì)一個(gè)與直線過(guò)定點(diǎn)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,并解答所提問(wèn)題。
(1)解法(A):點(diǎn)P與點(diǎn)F(2,0)的距離比它到直線+4=0的距離小2,所以點(diǎn)P與點(diǎn)F(2,0)的距離與它到直線+2=0的距離相等。 ----(1分)
由拋物線定義得:點(diǎn)在以為焦點(diǎn)直線+2=0為準(zhǔn)線的拋物線上, ----(1分)
拋物線方程為。 ----(2分)
解法(B):設(shè)動(dòng)點(diǎn),則。當(dāng)時(shí),,化簡(jiǎn)得:,顯然,而,此時(shí)曲線不存在。當(dāng)時(shí),,化簡(jiǎn)得:。
(2),
,
, ----(1分)
,
,即,, ----(2分)
直線為,所以 ----(1分)
----(1分)
由(a)(b)得:直線恒過(guò)定點(diǎn)。 ----(1分)
1、(逆命題)如果直線,且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)。求證:OA⊥OB (評(píng)分:提出問(wèn)題得1分,解答正確得1分)
(若,求證:?=0,得分相同)
2、(簡(jiǎn)單推廣命題)如果直線L與拋物線=2px(p>0)相交于A、B兩點(diǎn),且OA⊥OB。求證:直線L過(guò)定點(diǎn)(2p,0)
或:它的逆命題(評(píng)分:提出問(wèn)題得2分,解答正確得1分)
3、(類比)
3.1(1)如果直線L與橢圓+=1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn),M是其右頂點(diǎn),當(dāng)MA⊥MB。求證:直線L過(guò)定點(diǎn)(,0)
3.1(2)如果直線L與橢圓+=1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn),M是其左頂點(diǎn),當(dāng)MA⊥MB。求證:直線L過(guò)定點(diǎn)(,0)
3.1(3)或它的逆命題
3.2(1)如果直線L與雙曲線-=1(a>0,b>0)相交于A、B兩點(diǎn),M是其右頂點(diǎn),當(dāng)MA⊥MB。求證:直線L過(guò)定點(diǎn)(,0)(a≠b)
3.2(2)如果直線L與雙曲線-=1(a>0,b>0)相交于A、B兩點(diǎn),M是其左頂點(diǎn),當(dāng)MA⊥MB。求證:直線L過(guò)定點(diǎn)(,0)(a≠b)
3.2(3)或它的逆命題
(評(píng)分:提出問(wèn)題得3分,解答正確得3分)
4、(再推廣)
直角頂點(diǎn)在圓錐曲線上運(yùn)動(dòng)
如:如果直線L與拋物線=2px(p>0)相交于A、B兩點(diǎn),P是拋物線上一定點(diǎn)(,),且PA⊥PB。求證:直線L過(guò)定點(diǎn)(+2p,-)
(評(píng)分:提出問(wèn)題得4分,解答正確得3分)
5、(再推廣)
如果直線L與拋物線=2px(p>0)相交于A、B兩點(diǎn),P是拋物線上一定點(diǎn)(,),PA與PB的斜率乘積是常數(shù)m。求證:直線L過(guò)定點(diǎn)(-,-)
(評(píng)分:提出問(wèn)題得5分,解答正確得4分)
或?為常數(shù)
頂點(diǎn)在圓錐曲線上運(yùn)動(dòng)并把直角改為一般定角或OA與OB的斜率乘積是常數(shù)或?為常數(shù)
5、(2009冠龍高級(jí)中學(xué)3月月考)雙曲線上一點(diǎn)到左,右兩焦點(diǎn)距離的差為2.
(1)求雙曲線的方程;
(2)設(shè)是雙曲線的左右焦點(diǎn),是雙曲線上的點(diǎn),若,
求的面積;
(3)過(guò)作直線交雙曲線于兩點(diǎn),若,是否存在這樣的直線,使為矩形?若存在,求出的方程,若不存在,說(shuō)明理由.
(1)
(2) 妨設(shè)在第一象限,則
(3)若直線斜率存在,設(shè)為,代入
得
若平行四邊形為矩形,則
無(wú)解
若直線垂直軸,則不滿足.
故不存在直線,使為矩形.
6、(2009上海青浦區(qū))已知是拋物線上的相異兩點(diǎn).
(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為-1的直線,與過(guò)點(diǎn)且斜率1的直線相交于點(diǎn)P(4,4),求直線AB的斜率;
(2)問(wèn)題(1)的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個(gè)要素:已知圓錐曲線G,過(guò)該圓錐曲線上的
相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線相交于圓錐曲線G上一點(diǎn);結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值.請(qǐng)你對(duì)問(wèn)題(1)作適當(dāng)推廣,并給予解答;
(3)線段AB(不平行于軸)的垂直平分線與軸相交于點(diǎn).若,試用線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示線段AB的長(zhǎng)度,并求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.
(1)由解得;由解得.
由點(diǎn)斜式寫(xiě)出兩條直線的方程,,
所以直線AB的斜率為. ……4分
(2)推廣的評(píng)分要求分三層
一層:點(diǎn)P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般(3分,問(wèn)題1分、解答2分)
例:1.已知是拋物線上的相異兩點(diǎn).設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為-1的直線,與過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點(diǎn)P,求直線AB的斜率;
2.已知是拋物線上的相異兩點(diǎn).設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為-k 1的直線,與過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線相交于拋物線上的一點(diǎn)P(4,4),求直線AB的斜率;
3.已知是拋物線上的相異兩點(diǎn).設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為-1的直線,與過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點(diǎn)P,求直線AB的斜率; AB的斜率的值.
二層:兩個(gè)一般或推廣到其它曲線(4分,問(wèn)題與解答各占2分)
例:4.已知點(diǎn)R是拋物線上的定點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作斜率分別為、的兩條直線,分別交拋物線于A、B兩點(diǎn),試計(jì)算直線AB的斜率.
三層:滿分(對(duì)拋物線,橢圓,雙曲線或?qū)λ袌A錐曲線成立的想法.)(7分,問(wèn)題3分、解答4分)
例如:5.已知拋物線上有一定點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作斜率分別為、的兩條直線,分別交拋物線于A、B兩點(diǎn),試計(jì)算直線AB的斜率.
過(guò)點(diǎn)P(),斜率互為相反數(shù)的直線可設(shè)為,,其中。
由得,所以
同理,把上式中換成得,所以
當(dāng)P為原點(diǎn)時(shí)直線AB的斜率不存在,當(dāng)P不為原點(diǎn)時(shí)直線AB的斜率為。
(3)(理)點(diǎn),設(shè),則.
設(shè)線段的中點(diǎn)是,斜率為,則=.12分
所以線段的垂直平分線的方程為,
又點(diǎn)在直線上,所以,而,于是. ……13分
(斜率,則--------------------------------13分)
線段所在直線的方程為, ……14分
代入,整理得 ……15分
,。設(shè)線段長(zhǎng)為,則
=
……16分
因?yàn)?sub>,所以 ……18分
即:.()
(文)設(shè),則. ……13分
設(shè)線段的中點(diǎn)是,斜率為,則=,……15分
線段的垂直平分線的方程為, ……17分
又點(diǎn)在直線上,所以,
而,于是.故線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為. ……18分
7、(2009上海十校聯(lián)考)已知等軸雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、在直線上,線段的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1) 若已知下列所給的三個(gè)方程中有一個(gè)是等軸雙曲線的方程:①;②;③.請(qǐng)確定哪個(gè)是等軸雙曲線的方程,并求出此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng);
(2) 現(xiàn)要在等軸雙曲線上選一處建一座碼頭,向、兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物.經(jīng)測(cè)算,從到、從到修建公路的費(fèi)用都是每單位長(zhǎng)度萬(wàn)元,則碼頭應(yīng)建在何處,才能使修建兩條公路的總費(fèi)用最低?
(3) 如圖,函數(shù)的圖像也是雙曲線,請(qǐng)嘗試研究此雙曲線的性質(zhì),你能得到哪些結(jié)論?(本小題將按所得到的雙曲線性質(zhì)的數(shù)量和質(zhì)量酌情給分)
【解】(1)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,所以①不是雙曲線的方程……1分
雙曲線不經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以②不是雙曲線的方程 …… 2分
所以③是等軸雙曲線的方程 …… 3分
等軸雙曲線的焦點(diǎn)、在直線上,所以雙曲線的頂點(diǎn)也在直線上, …… 4分
聯(lián)立方程,解得雙曲線的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為 …… 5分
(2) 所求問(wèn)題即為:在雙曲線求一點(diǎn),使最。
首先,點(diǎn)應(yīng)該選擇在等軸雙曲線的中第一象限的那一支上 …… 6分
等軸雙曲線的的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,所以其焦距為
又因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、在直線上,線段的中點(diǎn)是原點(diǎn),所以是的一個(gè)焦點(diǎn), …… 7分
設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為,由雙曲線的定義知:
所以,要求的最小值,只需求的最小值 …… 8分
直線的方程為,所以直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為 …… 9分
所以碼頭應(yīng)在建點(diǎn)處,才能使修建兩條公路的總費(fèi)用最低 …… 10分
(3)① ,此雙曲線是中心對(duì)稱圖形,對(duì)稱中心是原點(diǎn); …… 1分
② 漸近線是和.當(dāng)時(shí),當(dāng)無(wú)限增大時(shí),無(wú)限趨近于,與無(wú)限趨近;當(dāng)無(wú)限增大時(shí),無(wú)限趨近于. …… 2分
③ 雙曲線的對(duì)稱軸是和. …… 3分
④ 雙曲線的頂點(diǎn)為,,實(shí)軸在直線上,實(shí)軸長(zhǎng)為 …… 4分
⑤虛軸在直線,虛軸長(zhǎng)為 …… 5分
⑥焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,焦距 …… 6分
說(shuō)明:(i)若考生能把上述六條雙曲線的性質(zhì)都寫(xiě)出,建議此小題給滿分8分
(ii)若考生未能寫(xiě)全上述六條雙曲線的性質(zhì),但是給出了的一些函數(shù)性質(zhì)(諸如單調(diào)性、最值),那么這些函數(shù)性質(zhì)部分最多給1分
8、(2009上海九校聯(lián)考)如圖,已知橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、、,
我們稱為橢圓的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的 特征三角形是相似的,
則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為 橢圓的相似比.
(1)已知橢圓和,
判斷與是否相似,
如果相似則求出與的相似比,若不相似請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)已知直線,與橢圓相似且半短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程,
在橢圓上是否存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱,
若存在,則求出函數(shù)的解析式.
(3)根據(jù)與橢圓相似且半短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程,提出你認(rèn)為有價(jià)值的
相似橢圓之間的三種性質(zhì)(不需證明);
解:
解:(1)橢圓與相似. ………2分
因?yàn)?sub>的特征三角形是腰長(zhǎng)為4,底邊長(zhǎng)為的等腰三角形,
而橢圓的特征三角形是腰長(zhǎng)為2,底邊長(zhǎng)為的等腰三角形,
因此兩個(gè)等腰三角形相似,且相似比為 ……… 6分
(2)橢圓的方程為:. ………8分
假定存在,則設(shè)、所在直線為,中點(diǎn)為.
則. ………10分
所以.
中點(diǎn)在直線上,所以有. ………12分
.
. ………14分
(3)橢圓的方程為:.
兩個(gè)相似橢圓之間的性質(zhì)有: 寫(xiě)出一個(gè)給2分
① 兩個(gè)相似橢圓的面積之比為相似比的平方;
② 分別以兩個(gè)相似橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形也相似,相似比即為橢圓的相似比;
③ 兩個(gè)相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點(diǎn)重合;
過(guò)原點(diǎn)的直線截相似橢圓所得線段長(zhǎng)度之比恰為橢圓的相似比. ………20分
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