所以異面直線AE和PB所成角的大小為

  ………………8分

   （2）因?yàn)镋是PC中點(diǎn)，所以E到平面ABC的距

離為  …………10分

       …………12分

2、（2009上海盧灣區(qū)4月模考）如圖，已知點(diǎn)在圓柱的底面圓上，

為圓的直徑.

   （1）求證：；

（2）若圓柱的體積為，，

，求異面直線與所成的角（用

反三角函數(shù)值表示結(jié)果）.

（1）證明：易知，又由平面，得，從而平面，故；                                      （4分）

  （2）解：以為原點(diǎn)，分別以，為，軸的正向，并以的垂直平分線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

由題意，解得.        （6分）

易得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，，，.得，，              （9分）

設(shè)與的夾角為，異面直線 與所成的角為，

則，得，即異面直線 與所成的角為.                                  （12分）

3、（2009上海奉賢區(qū)模擬考）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,∠ABC=90°, AB=BC=1.

(1)求異面直線B₁C₁與AC所成角的大�。�

(2)若直線A₁C與平面ABC所成角為45°,

求三棱錐A₁-ABC的體積.

（1）因?yàn)?sub>，所以∠BCA（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成角         -------(3分)

∠ABC=90°, AB=BC=1，所以，     -------(2分)

即異面直線與所成角大小為。      -------(1分)

（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，所以即為直線A₁C與平面ABC所成角，所以。            -------(2分)

中，AB=BC=1得到，中，得到，   ------(2分)

所以               -------(2分)

4、（2009冠龍高級(jí)中學(xué)3月月考）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，（如圖）

是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面的中心．

（1）      求三棱錐的體積；

求與底面所成的角的大�。�（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）

（1）．   

（2）取的中點(diǎn)，所求的角的大小等于的大小，

中，所以與底面所成的角的大小是．

5、（2009閔行三中模擬）

5．（本題滿分12分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E是BC₁的中點(diǎn)．求直線DE與平面ABCD所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

解】過E作EF⊥BC，交BC于F，連接DF.

∵ EF⊥平面ABCD，

∴ ∠EDF是直線DE與平面ABCD所成的角. ……………4分

由題意，得EF=

∵ …………………………..8分

∵ EF⊥DF， ∴ ……………..10分

故直線DE與平面ABCD所成角的大小是….12分

6、（2009上海普陀區(qū)）已知復(fù)數(shù)，（是虛數(shù)單位），且.當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，試用列舉法表示滿足條件的的取值集合.

解：如圖，設(shè)中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)、.

由題意，,,所以為等邊三角形，

故，且.

又，

所以.

而圓錐體的底面圓面積為,

所以圓錐體體積.

7、（2009上海十校聯(lián)考）如圖，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面，且．

（1） 若點(diǎn)、分別在棱、上，且，，求證：平面；

（2） 若點(diǎn)在線段上，且三棱錐的體積為，試求線段的長(zhǎng)．

【解】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．                 …… 1分

則，，，，，

因?yàn)?sub>，，所以，，             …… 3分

則，，．                 …… 5分

，，即垂直于平面中兩條相交直線，所以平面．                                                               …… 7分

（2），可設(shè)，

所以向量的坐標(biāo)為，                                   …… 8分

平面的法向量為．

點(diǎn)到平面的距離．               …… 10分

中，，，，所以．       …… 12分

三棱錐的體積，所以． …… 13分

此時(shí)向量的坐標(biāo)為，，即線段的長(zhǎng)為． …… 14分

8、（2009重點(diǎn)九校）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，垂直于底面，分別為的中點(diǎn)。                                               

(1)求證：；

（2）求與平面所成的角；

解:

（1）證明：因?yàn)?sub>是的中點(diǎn)，，

所以。  

由底面，得，

又，即，

 平面，所以 ，

 平面，

。                           ………… 5分

（2）連結(jié)，

因?yàn)?sub>平面，即平面，

所以是與平面所成的角，

在中，，

在中，，故，

在中, ，

又，

故與平面所成的角是。        …… 12分

備注：（1）、（2）也可以用向量法：

（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示（圖略）

由，得，

因?yàn)?sub>  ，

所以。                                        …… 5分

（2）因?yàn)?

所以，又 ，

故平面，即是平面的法向量。

設(shè)與平面所成的角為，又。

則，

又，故，即與平面所成的角是。

因此與平面所成的角為，                 …… 12分

9、(2009閘北區(qū)) 如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求四棱錐的體積；

（Ⅱ）求異面直線OB與MD所成角的大�。�

解：（Ⅰ）由已知可求得，正方形的面積，……………………………2分

所以，求棱錐的體積 ………………………………………4分

（Ⅱ）方法一（綜合法）

設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，

則為異面直線OC與所成的角（或其補(bǔ)角） ………………………………..1分

       由已知，可得，

為直角三角形      ……………………………………………………………….2分

， ……………………………………………………………….4分

．

所以，異面直線OC與MD所成角的大小．   …………………………..1分

方法二(向量法)

以AB,AD,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系，

則, ……………………………………………………2分

，， ………………………………………………………………………………..2分

 設(shè)異面直線OC與MD所成角為，

．……………………………….. …………………………3分

 OC與MD所成角的大小為．……………………………………………1分