江蘇省通州市2009年高三查漏補缺專項檢測

數(shù)學(xué)試卷

（考試時間：120分鐘    滿分160分）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1．函數(shù)的定義域為           .

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2．已知復(fù)數(shù)與均為純虛數(shù)，則等于               ．

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3．已知向量，向量滿足∥，且，則=               。

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4．在等比數(shù)列{an}中，已知a4＋a10=10，且，則=          ．

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5．已知命題：“，使x2+2x+a≥0”為真命題，則a的取值

范圍是              ．

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6．如圖，程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果為             ．   

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7．下列命題正確的序號是_____       ．

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（其中l，m表示直線，表示平面） 

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(1)若；      (2)若；

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(3)若；             (4)若

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8． 用單位立方塊搭一個幾何體，使它的主視圖和俯視圖如右圖所示，

則它的體積的最大值與最小值之差為　　　 　　　　．

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9．已知，則當(dāng)mn取得最小值時，橢圓的離心率為                ．

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10．對任意兩個集合A、B，定義：，，設(shè)，，則                 

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11．若，且當(dāng)時，恒有，則以,b為坐標(biāo)點 所形成的平面區(qū)域的面積等于                 ．

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12．已知兩個不共線的向量，的夾角為，且.若點M在直線OB上，且的最小值為，則的值為           ．

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13．設(shè)函數(shù)，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是           _                .

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14．f（x）是定義在（0，＋∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，對任意正數(shù)a、b，若a＜b，則的大小關(guān)系為                ．

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二、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

15．（本題滿分14分）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若

   （1）判斷△ABC的形狀；

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   （2）若的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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16．（本題滿分14分）一個四棱錐的三視圖和直觀圖如圖所示，E為側(cè)棱PD的中點.

（1）求證：PB//平面AEC；  

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（2）若F為側(cè)棱PA上的一點，且， 則為何值時，PA平面BDF？ 并求此時幾何體F―BDC的體積．

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    3. B

    B

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    17．（本題滿分15分）已知圓A：與軸負(fù)半軸交于B點，過B的弦BE與軸正半軸交于D點，且2BD=DE，曲線C是以A，B為焦點且過D點的橢圓．

    （1）求橢圓的方程；

    （2）點P在橢圓C上運動，點Q在圓A上運動，求PQ+PD的最大值．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    18．（本題滿分15分）

    如圖所示，一條直角走廊寬為2米。現(xiàn)有一轉(zhuǎn)動靈活的平板車，其平板面為矩形ABEF，它的寬為1米。直線EF分別交直線AC、BC于M、N，過墻角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；

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    ⑴若平板車卡在直角走廊內(nèi)，且∠，試求平板面的長(用表示)；

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    ⑵若平板車要想順利通過直角走廊，其長度不能超過多少米?

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    19．（本題滿分16分）已知數(shù)列的前n項和為，點在直線上．?dāng)?shù)列滿足： ，且，前9項和為153．

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    （1）求數(shù)列，的通項公式；

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    （2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數(shù)的值；

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    （3）設(shè)*，問是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    20．（本題滿分16分）函數(shù)．

       （1）試求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

       （2）當(dāng)a>0時，求證：函數(shù)f(x)的圖像存在唯一零點的充要條件是a=1；

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    （3）求證：不等式對于恒成立．

     

     

     

     

     

     

     

    數(shù)學(xué)附加題

    考試時間：30分鐘    滿分40分

      分．每小題10分，共20分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程．

    試題詳情

    一、選答題：本大題共4小題，請從這4題中選做2小題．如果多做，則按所做的前兩題記

    1.(選修4一l：幾何證明選講)

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    如圖，圓O的直徑,C為圓周上一點，,過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD,AD分別與直線l、圓交于點D、E。求的度數(shù)與線段AE的長。

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    2.(選修4―2：矩陣與變換)

    試題詳情

    已知二階矩陣A的屬于特征值－1的一個特征向量為，屬于特征值3的一個特征向量為，求矩陣A．

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    3.(選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)

    試題詳情

    已知直線和參數(shù)方程為 ,是橢圓上任意一點，求點到直線的距離的最大值．

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    4.(選修4―5：不等式選講)

    試題詳情

       已知f(x)＝定義在區(qū)間[－1，1]上,設(shè)x1，x2∈[－1，1]且x1≠x2．

    試題詳情

    (1)求證: | f(x1)－f(x2)|≤| x1－x2| (2)若a2＋b2＝1，求證：f(a)＋f(b) ≤．

    選做題一：

     

     

     

     

     

     

     

    選做題二：

     

     

     

    試題詳情

    二、必答題：本大題共2小題。每小題10分，共20分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程．

    5. 將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b．設(shè)復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)。

    試題詳情

    （1）求事件“為實數(shù)”的概率；

    試題詳情

    （2）求事件“”的概率。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    試題詳情

    6. 如圖，直三棱柱A1B1C1―ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分別為棱C1C、B1C1的中點.

    試題詳情

    （1）求與平面A1C1CA所成角的正切值；

    (2) 求二面角B―A1D―A的平面角的正切值；

    （3）在線段AC上是否存在一點F，使得EF⊥平面A1BD？

     

    試題詳情

    一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

    1．　2．2i　3．（）或（）　4．16　　5．a(chǎn)≥-8     6．64       7．（1）(3)(4)  8．6    9． 　 10．  11．1　     12．   13．(－∞，1)

    14．，提示：設(shè)，則，故為增函數(shù)，由a＜b，有，也可以考慮特例，如f(x)=x2

    二、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

    15．（1）                     

                                              5分

    即

                                                     

    為等腰三角形.                                             8分

    （2）由（I）知

                            12分

                                                               14分

    16．（1）由圖形可知該四棱錐和底面ABCD是菱形，且有一角為，邊長為2，

    錐體高度為1。

    設(shè)AC，BD和交點為O，連OE，OE為△DPB的中位線，

    OE//PB，                                             3分

    EO面EAC，PB面EAC內(nèi)，PB//面AEC。          6分

    （2）過O作OFPA垂足為F , 

    在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，在Rt△POB中，PO=1，BO=1，PB=，   8分

    過B作PA的垂線BF，垂足為F，連DF，由于△PAB≌△PAD，故DF⊥PA，DF∩BF=F，因此PA⊥面BDF.                                                  10分

    在等腰三角形PAB中解得AF=,進而得PF=               

    即當(dāng)時，PA面BDF，                       12分

    此時F到平面BDC的距離FH=

                14分

    17．(1)                     4分

    橢圓方程為                                7分

    （2）         10分

    ＝2       14分

    所以P在DB延長線與橢圓交點處，Q在PA延長線與圓的交點處，得到最大值為．  15分

    18．（1）DM=，DN=，MF=，EN=，                          4分

    =EF=DM+DN-MF-EN=+－－

    =       （）                                        7分

    （2）“平板車要想順利通過直角走廊”即對任意角（），平板車的長度不能超過，即平板車的長度；記 ，有=，

    ===，                                            10分

    此后研究函數(shù)的最小值，方法很多；如換元（記，則）或直接求導(dǎo)，以確定函數(shù)在上的單調(diào)性；當(dāng)時取得最小值。                    15分

    19． (1)點(n，)在直線y＝x＋上，∴＝n＋，即Sn＝n2＋n，

    an＝n＋5．                                                                     3分

    ∵bn+2－2bn+1＋bn＝0(nÎN*)，∴bn+2－bn+1＝ bn+1－bn＝…＝ b2－b1．

    ∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，∵b3＝11，它的前9項和為153，設(shè)公差為d，

    則b1＋2d＝11，9b1＋×d＝153，解得b1＝5，d＝3．∴bn＝3n＋2．                  6分

    (2)由(1)得，cn＝ ＝ ＝(－)，

    ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)

    ＝(1－)．                                                           9分

    ∵Tn＝(1－)在nÎN*上是單調(diào)遞增的，∴Tn的最小值為T1＝．

    ∵不等式Tn＞對一切nÎN*都成立，∴＜．∴k＜19．∴最大正整數(shù)k的值為18．11分

    (3) nÎN*，f(n)＝＝

    當(dāng)m為奇數(shù)時，m＋15為偶數(shù)；當(dāng)m為偶數(shù)時，m＋15為奇數(shù)．

    若f(m＋15)＝5f(m)成立，則有3（m＋15）＋2＝5(m＋5)(m為奇數(shù))

    或m＋15＋5＝5（3m＋2）(m為偶數(shù))．                                      13分

    解得m＝11．所以當(dāng)m＝11時，f(m＋15)＝5f(m)．                             16分

    20．（1）．                                       2分

      　當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；                     3分

     　 當(dāng)時，時，，在上單調(diào)遞減；         

    時，，在上單調(diào)遞增．                 5分

    綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．                                         6分

    （2）充分性：a=1時，由（1）知，在x=1處有極小值也是最小值，

    即。而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

    在上由唯一的一個零點x=1．                               9分

    必要性：=0在上有唯一解，且a>0, 由（1）知，在x=a處有極小值也是最小值f(a)，f(a)=0,即．

    令，．

    當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時，，

    在上單調(diào)遞減。，=0只有唯一解a=1．

    =0在上有唯一解時必有a=1．                           12分

    綜上：在a>0時，=0在上有唯一解的充要條件是a=1．

    （3）證明：∵1<x<2,∴.

     令，∴，14分

    由（1）知，當(dāng)a=1時，，∴，∴．

    ∴，∴F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴，

    ∴。∴．             16分

     

    附加題答案

    1．解：如圖，連結(jié)OC，因,因此,由于,

    所以，又得;      5分   

    又因為,得,那么,

    從而，于是。            10分   

    2．解：設(shè)A=，由題知=，=3 

    即，                      5分

     ∴         ∴A=       10分

    3．解： 直線的參數(shù)方程為 為參數(shù)）故直線的普通方程為  3分

       因為為橢圓上任意點，故可設(shè)其中.

      因此點到直線的距離是            7分

    所以當(dāng)，時，取得最大值.                              10分 

    4. 證（1）　

    ∵，，

    ∴| f(x1)－f(x2)|＜| x1－x2|                       5分   

    （2），∴f(a)＋f(b) ≤

    ∵    ，

    ∴                     10分

     5.解：（1）為實數(shù)，即為實數(shù)，  ∴b＝3            2分

    又依題意，b可取1，2，3，4，5，6

    故出現(xiàn)b＝3的概率為

    即事件“為實數(shù)”的概率為                                            5分

    （2）由已知，                           6分

    可知，b的值只能取1、2、3                          

    當(dāng)b＝1時， ，即a可取1，2，3

    當(dāng)b＝2時， ，即a可取1，2，3

    當(dāng)b＝3時， ，即a可取2                

    由上可知，共有7種情況下可使事件“”成立                           9分

    又a，b的取值情況共有36種

    故事件“”的概率為                                           10分

    6.解：（1）∵A1B1C1－ABC為直三棱柱  ∴CC1⊥底面ABC  ∴CC1⊥BC

           ∵AC⊥CB   ∴BC⊥平面A1C1CA

    ∴A1B與平面A1C1CA所成角的正切值               3分

    （2）分別延長AC，A1D交于G. 過C作CM⊥A1G 于M，連結(jié)BM

    ∵BC⊥平面ACC­1A1   ∴CM為BM在平面A1C1CA的內(nèi)射影

    ∴BM⊥A1G    ∴∠CMB為二面角B―A1D―A的平面角

        平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D為C1C的中點

    ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，  

       , 

    即二面角B―A1D―A的平面角的正切值為     6分

    （3）在線段AC上存在一點F，使得EF⊥平面A1BD .

    其位置為AC中點，證明如下：

    ∵A1B1C1―ABC為直三棱柱 ， ∴B1C1//BC

    ∵由（1）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA

    ∵EF在平面A1C1CA內(nèi)的射影為C1F ，F(xiàn)為AC中點 ∴C1F⊥A1D  ∴EF⊥A1D

    同理可證EF⊥BD,         ∴EF⊥平面A1BD

    ∵E為定點，平面A1BD為定平面,點F唯一            10分

    解法二：（1）同解法一                               3分

    （2）∵A1B1C1―ABC為直三棱住   C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB  D、E分別為C1C、B1C1的中點, 建立如圖所示的坐標(biāo)系得

    C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0）

    C1（0，0，2）  B1（2，0，2）  A­1（0，2，2）

    D（0，0，1）  E（1，0，2）

      設(shè)平面A1BD的法向量為

      

    平面ACC1A1­的法向量為=（1，0，0） 

    即二面角B―A1D―A的平面角的正切值為               6分

    （3）在線段AC上存在一點F，設(shè)F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD

    欲使EF⊥平面A1BD    由（2）知，當(dāng)且僅當(dāng)//

       

    ∴存在唯一一點F（0，1，0）滿足條件. 即點F為AC中點        10分

     

     


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