2009海淀區(qū)高三數(shù)學查漏補缺試題

 

說明:

查漏補缺題是在海淀的五次統(tǒng)練基礎上的補充,絕非猜題押寶,每道題的選擇都有其選題意圖,有的側重知識、有的側重方法、有的側重題型、有的側重選題內(nèi)容,請老師根據(jù)選題意圖,有所選擇、有所側重地訓練學生.

最后階段的復習,應是梳理知識、梳理解題方法的基礎上查漏補缺.

 

三角函數(shù)

1.在中,、、所對的邊長分別是、.滿足.

   (1)求的大小;

   (2)求的最大值.

命題意圖:

       在已知邊角關系中既有邊又有角的等式,一般要進行邊角統(tǒng)一,邊化角常用正弦定理,角化邊常用正弦、余弦定理;熟練掌握的變形;另外對于函數(shù)的圖象和性質(zhì)要掌握好;已知三角函數(shù)值求角時,一定要注意角的取值范圍,注意細節(jié).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.已知.

   (1)求的對稱軸方程;

   (2)將函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù)的圖象,若的圖象關于點對稱,求的最小值.

命題意圖:

       對于三角公式,重中之重是倍角公式、降冪公式及輔助角公式.如果三角函數(shù)解答題要求單調(diào)性、對稱性、周期等,一般暗示著“化一”的過程,即通過恒等變形把函數(shù)化為;另外會從“數(shù)”和“形”兩方面來分析這個函數(shù)的性質(zhì)和幾何特點,即以圖引導思維;注意平移問題的處理,如函數(shù)平移,按向量平移,曲線的平移問題.

提示:要求學生記清誘導公式,“特殊角”的三角函數(shù)值.

 

 

 

 

 

 

數(shù)列

1.設數(shù)列的前項和為,且滿足.

   (Ⅰ)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;

   (Ⅱ)求通項公式;

   (Ⅲ)設,求證:.

命題意圖:

數(shù)列既是高中數(shù)學的重點,也是難點.掌握好等差、等比數(shù)列的通項公式和前項和公式,能用概念判斷是否為等差、等比數(shù)列.常見考點:的關系(注意討論);;遞推――猜想――數(shù)學歸納法證明;迭加;迭乘;裂項求和;錯位相減等;數(shù)列不等式證明中注意放縮法的運用.

 

 

 

 

 

 

 

2.無窮數(shù)列滿足:為常數(shù)).

   (1)若且數(shù)列為等比數(shù)列,求

   (2)已知,若,求;

   (3)若存在正整數(shù),使得當時,有,求證:存在正整數(shù),使得當時,有

命題意圖:

       數(shù)列中涉及恒成立或存在性的問題,往往和最大(。┲导皢握{(diào)性有關,常見做法是用進行作差、作商、比較或構造函數(shù)來判斷;通過本題的練習,希望學生能根據(jù)題目的條件和結論獲取信息,抓住特點,進行代數(shù)推理論證;本題第(3)問也可用反證法說明,解題中要重視它的運用.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

立體幾何

1.在直平行六面體中,是菱形,,,.

   (1)求證:平面;

   (2)求證:平面平面

   (3)求直線與平面所成角的大小.

 

命題意圖:

       熟悉立體幾何中常見問題及處理方法,要求學生敏銳把握所給圖形特征,制定合理的解決問題策略.立體幾何主要是兩種位置關系(平行、垂直),兩個度量性質(zhì)(夾角、距離).解決問題的方法也有兩種:幾何方法和向量方法.兩種方法各有優(yōu)缺點,前者難在“找”和“作”的技巧性,后者難在建系和計算上,究竟用哪種方法,到時根據(jù)自己的情況決斷.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.如圖,二面角為直二面角,∠PCB=90°, ∠ACB=90°,PM∥BC,直線AM與直線PC所成的角為60°,又AC=1,BC=2,PM=1.     

   (Ⅰ)求證:AC⊥BM;

   (Ⅱ)求二面角M-AB-C的正切值;

   (III)求點P到平面ABM的距離.

命題意圖:

用綜合法解答立體幾何問題,要注意步驟的規(guī)范性,如求二面角的大小,點到面的距離,要先證明,再計算.用向量方法解答,要注意兩向量的夾角與所求角的關系,即相等、互補、互余等,還要注意所求角的范圍,如斜線和平面所成角一定是銳角;要注意“體積法”在處理較難的角與距離問題中的靈活運用.

注意:立體幾何重在通性、通法的熟練,邏輯的嚴謹,計算準確上.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

概率

1.理:某自助銀行共有4臺ATM機,在某一時刻A、B、C、D四臺ATM機被占用的概率分別為、、、,設某一時刻這家自助銀行被占用的ATM機的臺數(shù)為

   (Ⅰ)如果某客戶只能使用A或B型號的ATM機,求該客戶需要等待的概率;

   (Ⅱ)求至多有三臺ATM機被占用的概率;

   (Ⅲ)求的分布列和數(shù)學期望.

命題意圖:

20090521

 

 

 

 

 

 

 

2.文:某自助銀行共有4臺ATM機,在某一時刻A、B、C、D四臺ATM機被占用的概率分別為、、.

   (Ⅰ)如果某客戶只能使用A或B型號的ATM機,求該客戶需要等待的概率;

   (Ⅱ)求至多有三臺ATM機被占用的概率;

   (Ⅲ)求恰有兩臺ATM機被占用的概率.

命題意圖:

       概率主要考查兩個公式(加法、乘法公式)、兩個模型(古典概型、貝努里概型).

但要注意答題的規(guī)范性,不要只列一個算術式子來解答;注意兩個公式適用的條件,互斥和獨立;注意兩個模型的辨別;對于“至多”,“至少”問題,常用對立事件計算.

 

 

 

 

 

 

 

 

3.小明一家三口都會下棋.在假期里的每一天,父母都交替與小明下三盤棋,已知小明勝父親的概率是,勝母親的概率是.

   (1)如果小明與父親先下,求小明恰勝一盤的概率;

   (2)父母與小明約定,只要他在三盤中能至少連勝兩盤,就給他獎品,那么小明為了獲勝希望更大,他應該先與父親下,還是先與母親下?請用計算說明理由.

命題意圖:

       用數(shù)據(jù)說理和決策的意識.通過合理的分類、恰當?shù)姆植桨褟碗s事件用相對簡單(或已知概率)事件表示的能力,尤其是對(2)中                                劃線部分的理解;還要注意概率和不等式等其它數(shù)學知識的交匯.

 

 

 

 

 

 

解析幾何

1.已知動點P到直線的距離是到定點()的距離的倍.

   (Ⅰ)求動點P的軌跡方程;

   (Ⅱ)如果直線與P點的軌跡有兩個交點A、B,求弦AB的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍.

命題意圖:

對解析幾何兩大基本問題:①求軌跡;②通過方程研究曲線性質(zhì)進行再梳理.軌跡方程的求法一般分為直接法和間接法.直接法的步驟:建系設點,找等量關系,列方程,化簡,檢驗;間接法的關鍵是找參數(shù).如果明確說直線與圓錐曲線有兩個不同的交點,一般是考查判別式與根系關系的應用.取值范圍一般是函數(shù)的值域或不等式(組)的解集.

 

 

 

 

2.已知點分別是直線的動點(軸的同側),且的面積為,點滿足.

   (1)試求點的軌跡的方程;

   (2)已知,過作直線交軌跡于兩點,若,試求的面積.

   (3)理:已知,矩形的兩個頂點均在曲線上,試求矩形 面積的最小值.

命題意圖:

本題抓住解析幾何重點研究問題設問,熟悉鞏固通性通法,典型幾何條件如長、角等的代數(shù)轉(zhuǎn)換方法,讓學生理解解析幾何的基本思想與策略.解析幾何要把握好條件的等價翻譯,理順各量間的關系,計算準確,進而得出正確結論.取值范圍、最值、存在性、定值等問題是高中數(shù)學的重點題型,要重視.最值問題一般要建立函數(shù)關系(求哪個量的最值,這個量一般是因變量,關鍵是找到主動變化的量,即自變量),并且指出函數(shù)的定義域(定義域往往和判別式有關).解析幾何考最值要注意均值定理、導數(shù)和二次函數(shù)的運用.

 

 

 

 

 

函數(shù)、導數(shù)

1.設,曲線y = f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y = x+3.

   (1)求f(x)的解析式;

   (2)若x∈[2,3]時,f(x)≥bx恒成立,求實數(shù)b的取值范圍.

命題意圖:

       切線方程要注意“在點”和“過點”的區(qū)別;恒成立問題,存在性問題一般和最值、值域、單調(diào)性密切相關,當不等式兩端都為變量時,一般要先分離變量.

 

 

 

 

 

 

2.(理)已知函數(shù)R)

   (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

   (2)求函數(shù)上的最大值和最小值.

命題意圖:

       導數(shù)的應用,重點是單調(diào)性、極值、最值問題(或方程、不等式等可轉(zhuǎn)化為最值的問題),要注意通性通法的落實.如果有參數(shù),常常需要分類討論:提取常數(shù)系數(shù)時,要注意系數(shù)是否可能為零;導數(shù)為零的的值有多個時,要注意它們的大小關系是否是確定的等.

 

 

 

 

 

 

 

2.(文)設函數(shù)

   (Ⅰ)求的最小值

   (Ⅱ)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

      

命題意圖:

       使文科學生熟悉導數(shù)的基本應用,鞏固處理此類問題的通性通法.本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導數(shù)的應用.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

不等式

1.已知函數(shù)的圖象關于y軸對稱,且

   (I)求函數(shù)的解析式;

   (Ⅱ)解不等式;

命題意圖:

       引導學生復習對稱性(軸對稱、中心對稱)問題的處理方法.解不等式的方法可以概括為“化歸”的過程,即轉(zhuǎn)化為有理不等式.含有絕對值的不等式,就是要根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號,根據(jù)不同情況進行分類討論,但要分清楚各個步驟是求交集還是并集.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.已知不等式的解集為,不等式的解集為.

   (1)求集合

   (2)若,求實數(shù)的取值范圍.

命題意圖:

       復習簡單不等式的解法,注意分式不等式的等價轉(zhuǎn)化,弄清集合間的關系,注意分類討論的思想方法.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三角函數(shù)

1.解:(1)由正弦定理及得,

    .

    在中,

    ,即.

      

   

    又,

.

.

*.

   (2)由(1)得,,即.

   

       ,,

    .

      時,取得最大值.

2.解:(1)

      

   由.

      的對稱軸方程為.

   (2)由題意可設

       又因為的圖象關于點對稱,則有,

       即.

      

       所以當時,

 

數(shù)列

1.證明:(Ⅰ),

.

,

       是首項為,公比為的等比數(shù)列且.

   (Ⅱ)時,,

時,

 .

.

   (Ⅲ)

     .

2.解:(1)

       由為等比數(shù)列,知無關,故.

       當時,數(shù)列是以1為首項,以為公比的等比數(shù)列.

   (2)當時,.

       取為1,2,3,,累乘得:

       。).

      

      

       當時,.

       而,

   (3)當時,,

       說明異號,此時不存在正整數(shù),

       使得當時,有.

       當時,必存在正整數(shù)(取大于的正整數(shù)即可),

       使得當時,有

       即存在正整數(shù),使得當時,有;

       因為存在正整數(shù),使得當時,恒有成立,

       取的較大者,則必存在正整數(shù),使得當時,.

       存在正整數(shù),使得當時,有

 

立體幾何

1.證明:(1)連接,連結.

       在平行四邊形中,,

       四邊形為平行四邊形.

       .

       平面,平面,

       *平面.

   (2)在直平行六面體中,平面,

       .

       四邊形為菱形,

       .

       ,平面,平面,

       平面.

       平面

* 平面平面.

   (3)過.

       平面平面,平面平面

       平面.

       在平面上的射影.

       與平面所成的角.

       設,在菱形中,

       .

       在Rt中,.

      

       .

       .

       *.

   (3)解法二:

       連,分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,如圖所示.

       設,在菱形中,,

       ,.

       則(0,,0),(0,,0),

       (1,0,2),(0,0,2).

       (0,,2),(1,,2).

       設平面的法向量,),

       則

      

       .令,則.

     (0,).

       設與平面所成的角為.

       .

       .

2.解:(Ⅰ)∵平面平面,

平面,

平面平面 

       ∴平面.

       又∵平面,

       ∴.

   (Ⅱ)取的中點,則.連接

∵平面平面,

平面平面

       ∴平面

       ∵,

       ∴,從而平面

       作,連結,

       則由三垂線定理知

       從而為二面角的平面角.

       ∵直線與直線所成的角為60°,

       ∴

       在中,由勾股定理得

       在中,

       在中,

       在中,


同步練習冊答案