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第十八單元  極限

一.選擇題：

1．=                                                   (     )

    A．           B．0            C．              D．

2．用數(shù)學(xué)歸納法證的過(guò)程中，當(dāng)n=k到n=k+1時(shí)，左邊所增加的項(xiàng)為                       (     )

   A．            B．                 C．     D．

3．已知兩點(diǎn)O（0,0），Q（,b）,點(diǎn)P₁是線段OQ的中點(diǎn)，點(diǎn)P₂是線段QP₁的中點(diǎn)，P₃是線段P₁P₂的中點(diǎn)，┅，是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的極限位置應(yīng)是   (     )

A．（,）     B.()          C.()         D. ()

4．          10x    x>1

  若f(x)=    5      x=1    則 的值為                    (     )

7-x    x<1

A． 5              B. 6              C. 10                 D. 不存在

5．的值為                                         (     )

A．             B. 不存在          C. 3                 D. 0

6. 的值為                                (     )

A． 0              B. 不存在          C.                D. 1

7．＝                                         (     )

    A．2              B．4             C．                  D．0

8．若f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞減，又f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇m,n]，則下列正確的

是                                                                (     )

A．   B.    C.    D.

9. f(x)在x₀處連續(xù)，是f(x₀)有定義的__________條件                  (     )

  A．充分不必要       B. 充要            C. 必要不充分    D. 既不充分也不必要

10．                          (     )

    A．－1            B．1              C．－           D．

二.填空題：

11．等比數(shù)列1，，，,……所有項(xiàng)和為___________.

12．… =_______________.

13.若，則m=__________,n=__________.

14.若 ， 則a=_________,b=_________.

三.解答題：

15．用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被x －y整除.

16．已知 =,且 

（1）       求 ， ，

（2）       猜測(cè){ }的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明之.

17．                                    討論 的值. 

18．自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響. 用x_n表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N^*，且x₁＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與x_n成正比，死亡量與x_n²成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c.

   （Ⅰ）求x_n+1與x_n的關(guān)系式；

   （Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x₁，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）

（Ⅲ）設(shè)a＝2，b＝1，為保證對(duì)任意x₁∈（0,2），都有x_n＞0，n∈N^*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論.

一、選擇題：

1、A 

[解析]: ==

2、C 

[解析]: 當(dāng)n=k到n=k+1時(shí)，左邊增加了兩項(xiàng),減少了一項(xiàng),

左邊所增加的項(xiàng)為 －=

3、C 

[解析]: ∵點(diǎn)的位置應(yīng)是(

        ∴點(diǎn)的極限位置應(yīng)是()

4、B 

[解析]: =

5、A 

[解析]: =

6、D 

[解析]: =

=

7、C 

[解析]: =

8、A 

[解析]: 若f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞減，又f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇m,n],

         則f(a)=n,f(b)=m,而 f(a)

         故

9、A 

[解析]: f(x)在x₀處連續(xù)，是f(x₀)有定義充分不必要的條件

10、C 

[解析]:

二、填空題：

11、2

[解析]: 等比數(shù)列1，，，,……所有項(xiàng)和為

12、

[解析]: …

=

=

=

13、2；1

[解析]: 若, 則=

               ∴

        ∴

14、1；0

[解析]: ∵

        又2

        ∴

三、解答題：

15、證①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即x^2k-1-y^2k-1能被x-y整除

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

x^2k+1-y^2k+1= x²x^2k-1-y²y^2k-1= x²x^2k-1-x²y^2k-1+x²y^2k-1-y²y^2k-1= x²(x^2k-1-y^2k-1)+ (x²-y²)y^2k-1

∴x^2k+1-y^2k+1也能被x-y整除

故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.

由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*, x^2n-1-y^2n-1能被x-y整除

16、解: ∵,  ∴

         ∴

∴(1) = ， = ，=

           (2) 猜測(cè)=;下面用數(shù)學(xué)歸納法證

               ①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即=

則當(dāng)n=k+1時(shí)，  

故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.

由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有=

                       1    （|a|<1）

17、解:=   -   （a=1）

                       -2    （|a|>1）

18、解（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為ax_n，被捕撈量為bx_n，死亡量為

   （II）若每年年初魚群總量保持不變，則x_n恒等于x₁， n∈N*，從而由（*）式得

        因?yàn)?i>x₁>0，所以a>b.

        猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變.

   （Ⅲ）若b的值使得x_n>0，n∈N*

         由x_n+1=x_n(3－b－x_n), n∈N*, 知

         0<x_n<3－b, n∈N*, 特別地，有0<x₁<3－b. 即0<b<3－x₁.

        而x₁∈(0, 2)，所以

        由此猜測(cè)b的最大允許值是1.

        下證 當(dāng)x₁∈(0, 2) ，b=1時(shí)，都有x_n∈(0, 2), n∈N*

        ①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即x_k∈(0, 2),

則當(dāng)n=k+1時(shí)，x_k+1=x_k(2－x_k­)>0.

又因?yàn)?i>x_k+1=x_k(2－x_k)=－(x_k－1)²+1≤1<2,

所以x_k+1∈(0, 2)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.

由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有x_n∈(0,2).

綜上所述，為保證對(duì)任意x₁∈(0, 2), 都有x_n>0， n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1.

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