1．掌握分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.

2．理解排列的意義，掌握排列數(shù)計(jì)算公式，并能用它解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.

3．理解組合的意義，掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.

4．掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和證明一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

5．了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義.

6．了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算一些等可能性事件的概率.

7．了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率.

8．會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率.

Ⅰ、隨機(jī)事件的概率

例1  某商業(yè)銀行為儲(chǔ)戶(hù)提供的密碼有0，1，2，…，9中的6個(gè)數(shù)字組成.

(1)某人隨意按下6個(gè)數(shù)字，按對(duì)自己的儲(chǔ)蓄卡的密碼的概率是多少？

(2)某人忘記了自己儲(chǔ)蓄卡的第6位數(shù)字，隨意按下一個(gè)數(shù)字進(jìn)行試驗(yàn)，按對(duì)自己的密碼的概率是多少？

解 （1）儲(chǔ)蓄卡上的數(shù)字是可以重復(fù)的，每一個(gè)6位密碼上的每一個(gè)數(shù)字都有0，1，2，…，9這10種，正確的結(jié)果有1種，其概率為，隨意按下6個(gè)數(shù)字相當(dāng)于隨意按下個(gè)，隨意按下6個(gè)數(shù)字相當(dāng)于隨意按下個(gè)密碼之一，其概率是.

(2)以該人記憶自己的儲(chǔ)蓄卡上的密碼在前5個(gè)正確的前提下，隨意按下一個(gè)數(shù)字，等可能性的結(jié)果為0，1，2，…，9這10種，正確的結(jié)果有1種，其概率為.

例2  一個(gè)口袋內(nèi)有m個(gè)白球和n個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，這3個(gè)球恰好是2白1黑的概率是多少？（用組合數(shù)表示）

解  設(shè)事件I是“從m個(gè)白球和n個(gè)黑球中任選3個(gè)球”，要對(duì)應(yīng)集合I₁，事件A是“從m個(gè)白球中任選2個(gè)球，從n個(gè)黑球中任選一個(gè)球”，本題是等可能性事件問(wèn)題，且Card(I₁)= ，于是P(A)=.

Ⅱ、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率

例3在20件產(chǎn)品中有15件正品，5件次品，從中任取3件，求：

（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.

解 （1）從20件產(chǎn)品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法為。

恰有一件次品的概率P=.

(2)法一 從20件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有1件次品為事件A₁,恰有2件次品為事件A₂，3件全是次品為事件A₃,則它們的概率

P(A₁)= =,,,

而事件A₁、A₂、A₃彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率

P(A₁+A₂+A₃)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)= .

法二 記從20件產(chǎn)品中任取3件，3件全是正品為事件A，那么任取3件，至少有1件次品為，根據(jù)對(duì)立事件的概率加法公式P()=

例4 1副撲克牌有紅桃、黑桃、梅花、方塊4種花色，每種13張，共52張，從1副洗好的牌中任取4張，求4張中至少有3張黑桃的概率.

解  從52張牌中任取4張，有種取法.“4張中至少有3張黑桃”，可分為“恰有3張黑桃”和“4張全是黑桃”，共有種取法

注  研究至少情況時(shí)，分類(lèi)要清楚。

Ⅲ、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

例5 獵人在距離100米處射擊一野兔，其命中率為0.5，如果第一次射擊未中，則獵人進(jìn)行第二次射擊，但距離150米. 如果第二次射擊又未中，則獵人進(jìn)行第三次射擊，并且在發(fā)射瞬間距離為200米. 已知獵人的命中概率與距離的平方成反比，求獵人命中野兔的概率.

解  記三次射擊依次為事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。

,命中野兔的概率為

例6  要制造一種機(jī)器零件，甲機(jī)床廢品率為0.05，而乙機(jī)床廢品率為0.1，而它們的生產(chǎn)是獨(dú)立的，從它們制造的產(chǎn)品中，分別任意抽取一件，求：

（1）其中至少有一件廢品的概率； （2）其中至多有一件廢品的概率.

解： 設(shè)事件A為“從甲機(jī)床抽得的一件是廢品”；B為“從乙機(jī)床抽得的一件是廢品”.

則P（A）=0.05,  P(B)=0.1,

（1）至少有一件廢品的概率

（2）至多有一件廢品的概率

Ⅳ、概率內(nèi)容的新概念較多，本課時(shí)就學(xué)生易犯錯(cuò)誤作如下歸納總結(jié)：

類(lèi)型一  “非等可能”與“等可能”混同

例1  擲兩枚骰子，求所得的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率．

錯(cuò)解  擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和2，3，4，…，12共11種基本事件，所以概率為P=

剖析  以上11種基本事件不是等可能的，如點(diǎn)數(shù)和2只有(1，1)，而點(diǎn)數(shù)之和為6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5種．事實(shí)上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所得點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率為P=．

類(lèi)型二  “互斥”與“對(duì)立”混同

例2  把紅、黑、白、藍(lán)4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每個(gè)人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是（      ）

      A．對(duì)立事件    B．不可能事件   C．互斥但不對(duì)立事件     D．以上均不對(duì)

錯(cuò)解  A

剖析  本題錯(cuò)誤的原因在于把“互斥”與“對(duì)立”混同，二者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在  ：

      (1)兩事件對(duì)立，必定互斥，但互斥未必對(duì)立；(2)互斥概念適用于多個(gè)事件，但對(duì)立概念只適用于兩個(gè)事件；(3)兩個(gè)事件互斥只表明這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個(gè)，但可以都不發(fā)生；而兩事件對(duì)立則表示它們有且僅有一個(gè)發(fā)生．

      事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件可能恰有一個(gè)發(fā)生，一個(gè)不發(fā)生，可能兩個(gè)都不發(fā)生，所以應(yīng)選C．

類(lèi)型三  “互斥”與“獨(dú)立”混同

例3  甲投籃命中率為O．8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少?

錯(cuò)解  設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)：

剖析  本題錯(cuò)誤的原因是把相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來(lái)考慮，將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和．互斥事件是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生與否沒(méi)有影響，它們雖然都描繪了兩個(gè)事件間的關(guān)系，但所描繪的關(guān)系是根本不同．

解：  設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨(dú)立，

則兩人都恰好投中兩次為事件A?B，于是P(A?B)=P(A)×P(B)= 0.169

1  甲、乙二人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)，甲、乙二人依次各抽一題.

（Ⅰ）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？

（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？(2000年新課程卷)

2 如圖,用A、B、C三類(lèi)不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N₁、N₂.當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí),系統(tǒng)N₁正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí),系統(tǒng)N₂正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90.分別求系統(tǒng)N₁、N₂正常工作的概率P₁、P₂.  (2001年新課程卷)

3  某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開(kāi)展工作，每個(gè)員工上網(wǎng)的概率都是0.5（相互獨(dú)立）.

（Ⅰ）求至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率；

（Ⅱ）至少幾人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3？(2002年新課程卷)

4  有三種產(chǎn)品，合格率分別是0.90，0.95和0.95，各抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn).

（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；

（Ⅱ）求至少有兩件不合格的概率.（精確到0.001） (2003年新課程卷)

5. 從10位同學(xué)（其中6女，4男）中隨機(jī)選出3位參加測(cè)驗(yàn).每位女同學(xué)能通過(guò)測(cè)驗(yàn)的概率均為，每位男同學(xué)能通過(guò)測(cè)驗(yàn)的概率均為.試求：

（Ⅰ）選出的3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率；

（Ⅱ）10位同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時(shí)被選中且通過(guò)測(cè)驗(yàn)的概率.

 (2004年全國(guó)卷Ⅰ)

解：本小題主要考查組合，概率等基本概念，獨(dú)立事件和互斥事件的概率以及運(yùn)用概率知識(shí)

    解決實(shí)際問(wèn)題的能力，滿(mǎn)分12分.

    解：（Ⅰ）隨機(jī)選出的3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率為

            1－；………………6分

（Ⅱ）甲、乙被選中且能通過(guò)測(cè)驗(yàn)的概率為

            ；………………12分

6. 已知8支球隊(duì)中有3支弱隊(duì),以抽簽方式將這8支球隊(duì)分為A、B兩組,每組4支.求：

（Ⅰ）A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率；

（Ⅱ）A組中至少有兩支弱隊(duì)的概率.   (2004年全國(guó)卷Ⅱ)

解：（Ⅰ）解法一：三支弱隊(duì)在同一組的概率為

故有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率為

解法二：有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率

（Ⅱ）解法一：A組中至少有兩支弱隊(duì)的概率

      解法二：A、B兩組有一組至少有兩支弱隊(duì)的概率為1，由于對(duì)A組和B組來(lái)說(shuō)，至少有兩支弱隊(duì)的概率是相同的，所以A組中至少有兩支弱隊(duì)的概率為

（Ⅰ）求這名同學(xué)得300分的概率；

（Ⅱ）求這名同學(xué)至少得300分的概率.   (2004年全國(guó)卷Ⅲ)

8. 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.

（Ⅰ）求所選3人都是男生的概率；

（Ⅱ）求所選3人中恰有1名女生的概率；

（Ⅲ）求所選3人中至少有1名女生的概率.   (2004年天津卷)

9. 某地區(qū)有5個(gè)工廠(chǎng)，由于用電緊缺，規(guī)定每個(gè)工廠(chǎng)在一周內(nèi)必須選擇某一天停電

（選哪一天是等可能的）.假定工廠(chǎng)之間的選擇互不影響.

（Ⅰ）求5個(gè)工廠(chǎng)均選擇星期日停電的概率；

（Ⅱ）求至少有兩個(gè)工廠(chǎng)選擇同一天停電的概率.    (2004年浙江卷)

10. 甲、乙兩人參加一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6題，乙能答對(duì)其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2題才算合格.

（Ⅰ）分別求甲、乙兩人考試合格的概率；

（Ⅱ）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.     (2004年福建卷)

11. 甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.

（Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工零件是一等品的概率；

（Ⅱ）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率.

    (2004年湖南卷)

12.為防止某突發(fā)事件發(fā)生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用，單獨(dú)采用甲、乙、丙、丁預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率（記為P）和所需費(fèi)用如下:

預(yù)防措施

甲

乙

丙

丁

P

0.9

0.8

0.7

0.6

費(fèi)用（萬(wàn)元）

90

60

30

10

預(yù)防方案可單獨(dú)采用一種預(yù)防措施或聯(lián)合采用幾種預(yù)防措施，在總費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元的前

提下,請(qǐng)確定一個(gè)預(yù)防方案，使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.(2004年湖北卷)

解：方案1：?jiǎn)为?dú)采用一種預(yù)防措施的費(fèi)用均不超過(guò)120萬(wàn)元.由表可知，采用甲措施，可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大，其概率為0.9.

方案2：聯(lián)合采用兩種預(yù)防措施，費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元，由表可知.聯(lián)合甲、丙兩種預(yù)防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大，其概率為1―(1―0.9)(1―0.7)=0.97.

方法3：聯(lián)合采用三種預(yù)防措施，費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元，故只能聯(lián)合乙、丙、丁三種預(yù)防措施，此時(shí)突發(fā)事件不發(fā)生的概率為1―（1―0.8）(1―0.7)(1―0.6)=1―0.024=0.976.

綜合上述三種預(yù)防方案可知，在總費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元的前提下，聯(lián)合使用乙、丙、丁三種預(yù)防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.

13. 設(shè)甲、乙、丙三人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為0.7、0.6和0.5.

（Ⅰ）三人各向目標(biāo)射擊一次，求至少有一人命中目標(biāo)的概率及恰有兩人命中目標(biāo)概率；（Ⅱ）若甲單獨(dú)向目標(biāo)射擊三次，求他恰好命中兩次的概率.  (2004年重慶卷)

14．從數(shù)字1，2，3，4，5，中，隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)）組成一個(gè)三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于9的概率為       （  D  ）

    A．           B．           C．           D．

15．（本小題滿(mǎn)分12分）

一接待中心有A、B、C、D四部熱線(xiàn)電話(huà)，已知某一時(shí)刻電話(huà)A、B占線(xiàn)的概率均為0.5，電話(huà)C、D占線(xiàn)的概率均為0.4，各部電話(huà)是否占線(xiàn)相互之間沒(méi)有影響.假設(shè)該時(shí)刻有ξ部電話(huà)占線(xiàn).試求隨機(jī)變量ξ的概率分布和它的期望.

解：本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念.考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.滿(mǎn)分12分.

解：P(ξ=0)=0.5²×0.6²=0.09.

    P(ξ=1)= ×0.5²×0.6²+ ×0.5²×0.4×0.6=0.3

    P(ξ=2)=  ×0.5²×0.6²+×0.5²×0.4×0.6+ ×0.5²×0.4²=0.37.

    P(ξ=3)= ×0.5²×0.4×0.6+×0.5²×0.4²=0.2

    P(ξ=4)= 0.5²×0.4²=0.04

于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布列為：

ξ

0

1

2

3

4

P

0.09

0.3

0.37

0.2

0.04

所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.

16．從1，2，……，9這九個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是（C    ）

    A．             B．             C．            D．

17．在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的所有沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521

    的數(shù)共有                                              （  C  ）

    A．56個(gè)           B．57個(gè)           C．58個(gè)           D．60個(gè)

18.某工廠(chǎng)生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A種型號(hào)產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量n=    .(答案: 80)

19．標(biāo)號(hào)為1，2，…，10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1，2，…，10的10個(gè)盒子內(nèi)，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，則恰好有3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其所在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法共有 240  

    種.（以數(shù)字作答）

20.某校有老師200人，男學(xué)生1200人，女學(xué)生1000人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個(gè)容量為n的樣本；已知從女學(xué)生中抽取的人數(shù)為80人，則n=    192     .