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數(shù) 學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)
第Ⅰ卷(選擇題共60分)
三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
。á瘢┰O(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,其中a1=3.若點(diǎn)(n∈N*)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上,求證:點(diǎn)(n,Sn)也在y=f′(x)的圖象上;
。á颍┣蠛瘮(shù)f(x)在區(qū)間(a-1,a)內(nèi)的極值.
(20)(本小題滿分12分)
某項(xiàng)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行,只有當(dāng)科目A成績合格時(shí),才可繼續(xù)參加科
目B的考試.已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì),兩個(gè)科目成績均合格方可獲得證
書.現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試,科目A每次考試成績合格的概率均為,科目B每次考試
成績合格的概率均為.假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響.
。á瘢┣笏恍枰a(bǔ)考就可獲得證書的概率;
(Ⅱ)在這項(xiàng)考試過程中,假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會(huì),記他參加考試的次數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望E.
(21)(本小題滿分12分)
如圖、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F(1,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形,求橢圓的方程;
。á颍┰O(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng),值有,求a的取值范圍.
(22)(本小題滿分14分)
已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x1
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
。á颍┯沠(x)在區(qū)間(n∈N*)上的最小值為bx令an=ln(1+n)-bx.
(Ⅲ)如果對一切n,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;
(Ⅳ)求證:
2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(福建卷)
數(shù) 學(xué)(理工類)
第Ⅰ卷(選擇題共60分)
(1)若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為
A.1 B.2 C.1或2 D.-1
解:由得,且(純虛數(shù)一定要使虛部不為0)
(2)設(shè)集合,,那么“mA”是“mB”的
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解:由得,可知“”是“”的充分而不必要條件
(3)設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,若,則數(shù)列前7項(xiàng)的和為
A.63 B.64 C.127 D.128
解:由及{an}是公比為正數(shù)得公比,所以
(4)函數(shù),若,則的值為
A.3 B.0 C.-1 D.-2
解:為奇函數(shù),又
故即.
(5)某一批花生種子,如果每1粒發(fā)牙的概率為,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是
A. B. C. D.
解:獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn),
(6)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為 A. B.
C. D.
解:連與交與O點(diǎn),再連BO,則為BC1與平面BB1D1D所成角.
,,
(7)某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù),如果要求至少有1名女生,那么不同的選派方案種數(shù)為
A.14 B.24 C.28 D.48
解:6人中選4人的方案種,沒有女生的方案只有一種,
所以滿足要求的方案總數(shù)有14種
(8)若實(shí)數(shù)x、y滿足 則的取值范圍是
A.(0,1) B. C.(1,+) D.
解:由已知,,又,故的取值范圍是
(9)函數(shù)的圖象按向量 平移后,得到函數(shù)的圖象,
則m的值可以為
A. B. C.- D.-
解:,而的圖象按向量 平移后
得到,所以,故可以為.
(10)在△ABC中,角ABC的對邊分別為a、b、c,若,則角B的值為
A. B. C.或 D. 或
解: 由得即
,又在△中所以B為或
(11)雙曲線(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn),且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為A.(1,3) B. C.(3,+) D.
解:如圖,設(shè),,當(dāng)P在右頂點(diǎn)處,
∵,∴
另外也可用三角形的兩邊和大于第三邊,及兩邊差小于第三邊,但要注意前者可以取到等號成立,因?yàn)榭梢匀c(diǎn)一線. 也可用焦半徑公式確定a與c的關(guān)系。
(12) 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖,那么圖象可能是
解:從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個(gè)函數(shù)在處斜率相同,可以排除B答案,再者導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)增加的快慢,可明顯看出的導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù),所以原函數(shù)應(yīng)該增加的越來越慢,排除AC,最后就只有答案D了,可以驗(yàn)證y=g(x)導(dǎo)函數(shù)是增函數(shù),增加越來越快.
第Ⅱ卷(非選擇題共90分)
(13)若,則 (用數(shù)字作答)
解:令,令得
所以
(14) 若直線與圓 (為參數(shù))沒有公共點(diǎn),
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
解:圓心為,要沒有公共點(diǎn),根據(jù)圓心到直線的距離大于半徑可得
,即,
(15)若三棱錐的三個(gè)側(cè)圓兩兩垂直,且側(cè)棱長均為,則其外接球的表面積是
解:依題可以構(gòu)造一個(gè)正方體,其體對角線就是外接球的直徑.
,
(16)設(shè)P是一個(gè)數(shù)集,且至少含有兩個(gè)數(shù),若對任意a、b∈R,都有a+b、a-b, ab、 ∈P(除數(shù)b≠0),則稱P是一個(gè)數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域;數(shù)集也是數(shù)域.有下列命題:
、僬麛(shù)集是數(shù)域; ②若有理數(shù)集,則數(shù)集M必為數(shù)域;
③數(shù)域必為無限集; ④存在無窮多個(gè)數(shù)域.
其中正確的命題的序號是 .(把你認(rèn)為正確的命題的序號填填上)
解:①對除法如不滿足,所以排除,
②取,對乘法, ③④的正確性容易推得。
(17)(本小題滿分12分)
已知向量m=(sinA,cosA),n=,m?n=1,且A為銳角.
(Ⅰ)求角A的大;
(Ⅱ)求函數(shù)的值域.
解:(Ⅰ) 由題意得
由A為銳角得
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
所以
因?yàn)閤∈R,所以,因此,當(dāng)時(shí),f(x)有最大值.
當(dāng)時(shí),有最小值-3,所以所求函數(shù)的值域是
(18)(本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,則面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA=PD=,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求異面直線PD與CD所成角的大;
(Ⅲ)線段AD上是否存在點(diǎn)Q,使得它到平面PCD的距離為?若存在,求出 的值;若不存在,請說明理由.
解法一:
。á瘢┳C明:在△PAD中PA=PD,O為AD中點(diǎn),所以PO⊥AD,
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD.
(Ⅱ)連結(jié)BO,在直角梯形ABCD中、BC∥AD,AD=2AB=2BC,
有OD∥BC且OD=BC,所以四邊形OBCD是平行四邊形,所以O(shè)B∥DC.
由(Ⅰ)知,PO⊥OB,∠PBO為銳角,
所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角.
因?yàn)锳D=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中,AB=1,AO=1,
所以O(shè)B=,
在Rt△POA中,因?yàn)锳P=,AO=1,所以O(shè)P=1,
在Rt△PBO中,tan∠PBO=
所以異面直線PB與CD所成的角是.
(Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn)Q,使得它到平面PCD的距離為.
設(shè)QD=x,則,由(Ⅱ)得CD=OB=,
在Rt△POC中,
所以PC=CD=DP,
由Vp-DQC=VQ-PCD,得2,所以存在點(diǎn)Q滿足題意,此時(shí).
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,依題意,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以
所以異面直線PB與CD所成的角是arccos,
(Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn)Q,使得它到平面PCD的距離為,
由(Ⅱ)知
設(shè)平面PCD的法向量為n=(x0,y0,z0).
則所以即,
取x0=1,得平面PCD的一個(gè)法向量為n=(1,1,1).
設(shè)由,得
解y=-或y=(舍去),此時(shí),
所以存在點(diǎn)Q滿足題意,此時(shí).
(19)(本小題滿分12分)
已知函數(shù).
。á瘢┰O(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列,前n項(xiàng)和為,其中.若點(diǎn)(n∈N*)在函數(shù)的圖象上,求證:點(diǎn)也在的圖象上;
。á颍┣蠛瘮(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值.
解:(Ⅰ)證明: 因?yàn)樗裕?/p>
由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,
, 又
所以,是的等差數(shù)列
所以,又因?yàn)?所以,
故點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上.
(Ⅱ)解:,令得.
當(dāng)x變化時(shí),?的變化情況如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
注意到,從而
①當(dāng),此時(shí)無極小值;
②當(dāng)?shù)臉O小值為,此時(shí)無極大值;
③當(dāng)既無極大值又無極小值.
(20)(本小題滿分12分)
某項(xiàng)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行,只有當(dāng)科目A成績合格時(shí),才可繼續(xù)參加科
目B的考試。已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì),兩個(gè)科目成績均合格方可獲得證
書,F(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試,科目A每次考試成績合格的概率均為,科目B每次考試
成績合格的概率均為.假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響.
。á瘢┣笏恍枰a(bǔ)考就可獲得證書的概率;
(Ⅱ)在這項(xiàng)考試過程中,假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會(huì),記他參加考試的次數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望E.
解:設(shè)“科目A第一次考試合格”為事件,“科目A補(bǔ)考合格”為事件;“科目B第一次考試合格”為事件,“科目B補(bǔ)考合格”為事件
(Ⅰ)不需要補(bǔ)考就獲得證書的事件為,注意到與相互獨(dú)立,
則.
答:該考生不需要補(bǔ)考就獲得證書的概率為.
(Ⅱ)由已知得,=2,3,4,注意到各事件之間的獨(dú)立性與互斥性,可得
故
答:該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.
(21)(本小題滿分12分)
如圖、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F(1,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng),值有,求a的取值范圍.
解:(Ⅰ)設(shè)M,N為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn),
因?yàn)椤鱉NF為正三角形,
所以,
因此,橢圓方程為
(Ⅱ) 設(shè)
(?)當(dāng)直線 AB與x軸重合時(shí),
(?)當(dāng)直線AB不與x軸重合時(shí),
設(shè)直線AB的方程為:
整理得
所以
因?yàn)楹阌,所以AOB恒為鈍角.
即恒成立.
又,所以對恒成立,
即對恒成立,當(dāng)時(shí),最小值為0,
所以, ,
因?yàn)椋?
解得或(舍去),即,
綜合(i)(ii),a的取值范圍為.
(22)(本小題滿分14分)
已知函數(shù)
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)記在區(qū)間(n∈N*)上的最小值為令
①如果對一切n,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;
②求證:
解:
(I)因?yàn),所以函?shù)定義域?yàn)椋摇?/p>
由得,的單調(diào)遞增區(qū)間為;
由<0得,的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+).
(II) 因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù),所以
則.
①
>
又lim,
因此,即實(shí)數(shù)c的取值范圍是.
② 由① 知
因?yàn)閇]2
所以<(nN*),
則<
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