數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案

第I卷（選擇題  共50分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

A

C

D

D

A

A

B

C

C

第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

11、設(shè)集合，，，則

12、已知，則

13、原點和點在直線的兩側(cè)，則的取值范圍是

14、已知點P在定圓O的圓內(nèi)，動圓C過點P且與圓O相切，則圓C的圓心軌跡可能是：     

（2）、（3）

三、解答題：本大題共6小題，每小題14分，共84分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15、已知：為常數(shù)）

   （Ⅰ）若，求的最小正周期；

   （Ⅱ）若的最大值與最小值之和為3，求的值；

解：（Ⅰ）  ------6分

最小正周期     ----------------------------------------------- 8分

   （Ⅱ） 

即--------------------14分

16、已知四棱錐的底面是梯形, 且AB∥CD,

∠DAB＝90°, DC＝2AD＝2AB, 側(cè)面PAD為正三角形,

且與底面垂直, 點M為側(cè)棱PC中點.

(Ⅰ) 求直線PB與平面PAD所成角的大小;

(Ⅱ) 求證: BM∥平面PAD;

解:(Ⅰ) ∵面PAD⊥面ABC, 交線為AD, 且

AB⊥AD, ∴AB⊥面PAD, 直線PB在

面PAD上的射影為PA, ∴∠BPA為PB與

面PAD的所成角.

又AB⊥PA, 且PA＝AB,

∴∠BPA＝45°, ∴直線PB與平面PAD

所成角的大小為45°. ---------------6分

(Ⅱ)過M作MN∥CD交PD于N, 連AN.

∵M(jìn)為PC中點, 則MN＝CD,

又AB∥CD, DC＝2AB, ∴MN∥AB且

MN＝AB, ∴ABMN為平行四邊形.

∴BM∥AN, MB平面APD, ∴BM∥平面PAD. ------------------------14分

17、設(shè)命題p：,

命題q：關(guān)于的方程一根大于1，另一根小于1.

如果命題p且q為假命題，p或q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍.

解：∴命題p: -------------------------4分

令, 命題q, ∴命題q:-----------------------8分

∵命題p且q為假命題，p或q為真命題，就是p和q中有且僅有一個真命題.

所以實數(shù)a的取值范圍是或              ---------------------14分

18、我國自造的一艘郵輪自上海駛往法國的馬賽港，沿途有40個港口（包括起點上海和終點馬賽港），游輪上有一間郵政倉，每停靠一港口便要卸下前面各港口發(fā)往該港的郵袋各一個，同時又要裝上該港發(fā)往后面各港的郵袋各一個，試求：

（Ⅰ）游輪從第k個港口出發(fā)時，郵政倉內(nèi)共有郵袋數(shù)是多少個？

（Ⅱ）第幾個港口的郵袋數(shù)最多？最多是多少？

解：設(shè)游輪從各港口出發(fā)時郵政倉內(nèi)的郵袋數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列

    （Ⅰ）由題意得：

   在第k個港口出發(fā)時，前面放上的郵袋共：個　

   而從第二個港口起，每個港口放下的郵袋共：1+2+3+…+（k－1）個　　　　　　　

  故

即游輪從第k個港口出發(fā)時，郵政倉內(nèi)共有郵袋數(shù)個　?8分

（Ⅱ）       

所以，第20個港口的郵袋數(shù)最多，最多是400個；                  -------14分

19、設(shè)拋物線：的焦點為F，直線過點F交拋物線于A、B兩點,點M在拋物線的準(zhǔn)線上，O為坐標(biāo)原點，設(shè)

(Ⅰ)求證：

(Ⅱ)求證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列。

解：Ⅰ）設(shè)MA、MF、MB的斜率分別為，

直線的方程為：

---------------------6分

Ⅱ）

，所以直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列。------------14分

20、設(shè)函數(shù)， a為常數(shù).

（Ⅰ）、若是偶函數(shù)，求的值。

（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使得在和上單調(diào)遞增？

若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，說明理由.

解：Ⅰ）是偶函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)對任意

成立..兩邊平方即得,因為上式對

任意成立,所以當(dāng)且僅當(dāng).所以若是偶函數(shù)， .--------6分

（Ⅱ）設(shè)的兩根是、， .

則.

若,則在上不具有單調(diào)遞增,因而在上也不會單調(diào)遞增.

下面僅考慮的情況.

由,知,由在上單調(diào)遞增,

知在上也單調(diào)遞增.

在和上單調(diào)遞增,又,所以在上單調(diào)遞增. 在上單調(diào)遞增當(dāng)且僅當(dāng).

存在實數(shù)a，使得在和上單調(diào)遞增.其取值范圍是--------14分