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2009高考數(shù)學(xué)經(jīng)典試題匯編

1. 下表給出一個“等差數(shù)陣”：

（）

……

（）

……

（）

……

（）

……

其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第i行第j列的數(shù)．（1）寫出的值；（2）寫出的計算公式；（３）證明：正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積．

講解　　學(xué)會按步思維，從圖表中一步一步的翻譯推理出所要計算的值．

（1）按第一行依次可讀出：，；按第一行依次可讀出：，；最后，按第５列就可讀出：．

（２）因為該等差數(shù)陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數(shù)列，所以它的通項公式是：

　而第二行是首項為7，公差為5的等差數(shù)列，于是它的通項公式為：

　 …… 通過遞推易知，第i行是首項為，公差為的等差數(shù)列，故有

（３）先證必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i，j使得．從而　　　　，這說明正整數(shù)2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積．再證充分性：若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積，由于2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k，l，使得，從而　　　　　　，由此可見N在該等差數(shù)陣中．

綜上所述，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積.

2. 求。

3. “漸升數(shù)”是指每個數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的自然數(shù)（如2578），在二位的“漸升數(shù)”中任取一數(shù)比37大的概率是。

4. 函數(shù)及其反函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于A、B兩點，若，則實數(shù)的值等于_________。

5. 從裝有個球（其中個白球，個黑球）的口袋中取出個球，共有種取法。在這種取法中，可以分成兩類：一類是取出的個球全部為白球，共有種取法；另一類是取出的個球有個白球和個黑球，共有種取法。顯然，即有等式：成立。試根據(jù)上述思想化簡下列式子：。

6. 某企業(yè)購置了一批設(shè)備投入生產(chǎn)，據(jù)分析每臺設(shè)備生產(chǎn)的總利潤（單位：萬元）與年數(shù)滿足如圖的二次函數(shù)關(guān)系。要使生產(chǎn)的年平均利潤最大，則每臺設(shè)備應(yīng)使用（ C ）

（A）3年（B）4年（C）5年（D）6年

7. （14分）已知函數(shù)，且（1）求的值；（2）試判斷是否存在正數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上的值域為。若存在，求出這個的值；若不存在，說明理由。

解：（1）∵，∴，即，∵，∴（2），；當(dāng)，即時，；當(dāng)時，∵，∴這樣的不存在。當(dāng)，即時，，這樣的不存在。綜上得，。

8. （14分）如圖，設(shè)圓的圓心為C，此圓和

拋物線有四個交點，若在軸上方的兩個交

點為A、B，坐標(biāo)原點為O，的面積為S。

（1）求P的取值范圍；

（2）求S關(guān)于P的函數(shù)的表達(dá)式及S的取值范圍；

（3）求當(dāng)S取最大值時，向量的夾角。

解：（1）把代入得

由，得，即

（2）設(shè)，的方程：

，即

即，即

點O到AB的距離，又

∴，即

（3）取最大值時，，解方程，得

，

∴向量的夾角的大小為。

9. （16分）前段時期美國為了推翻薩達(dá)姆政權(quán)，進(jìn)行了第二次海灣戰(zhàn)爭。據(jù)美軍估計，這場以推翻薩達(dá)姆政權(quán)為目的的戰(zhàn)爭的花費約為億美元。同時美國戰(zhàn)后每月還要投入約億美元進(jìn)行戰(zhàn)后重建。但是由于伊拉克擁有豐富的石油資源，這使得美國戰(zhàn)后可以在伊獲利。戰(zhàn)后第一個月美國大概便可賺取約億美元，只是為此美國每月還需另向伊交納約億美元的工廠設(shè)備維護(hù)費。此后隨著生產(chǎn)的恢復(fù)及高速建設(shè)，美國每月的石油總收入以的速度遞增，直至第四個月方才穩(wěn)定下來，但維護(hù)費還在繳納。問多少個月后，美國才能收回在伊的“投資”？

解：設(shè)個月后，美國才能收回在伊的“投資”，則

即，，即個月后，美國才能收回在伊的“投資”。

10. 數(shù)列的第2004項是____________。63

11. 在等比數(shù)列中，，公比，若，則達(dá)到最大時，的值為____________。8

12. 設(shè)函數(shù)，且①；②有兩個單調(diào)遞增區(qū)間，則同時滿足上述條件的一個有序數(shù)對為______________。滿足的任一組解均可

13. 已知兩條曲線（不同時為0）.則“”是“與有且僅有兩個不同交點”的 A

(A)充分非必要條件（B）必要非充分條件（C）充要條件（D）既非充分也非必要條件

14. 已知二次函數(shù)有最大值且最大值為正實數(shù)，集合

，集合。

（1）求和；

（2）定義與的差集：且。

設(shè)，，均為整數(shù)，且。為取自的概率，為取自的概

率，寫出與的三組值，使，，并分別寫出所有滿足上述條件的（從

大到�。�、（從小到大）依次構(gòu)成的數(shù)列{}、{}的通項公式（不必證明）；

（3）若函數(shù)中，，

（理）設(shè)、是方程的兩個根，判斷是否存在最大值及最小值，若存在，求出相應(yīng)的值；若不存在，請說明理由。

（文）寫出的最大值，并判斷是否存在最大值及最小值，若存在，求出相應(yīng)

的值；若不存在，請說明理由。

（1）∵有最大值，∴。配方得，由。

∴，。

（2）要使，�？梢允耿�中有3個元素，中有2個元素，中有1個元素。

則。②中有6個元素，中有4個元素，中有2個元素。則。

③中有9個元素,中有6個元素,中有3個元素。則。。

（3）（理），得。，

∵，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立�！�在上單調(diào)遞增。。

又，故沒有最小值。

（文）∵單調(diào)遞增，∴，又，∴沒有最大值。

15. 把數(shù)列的所有數(shù)按照從大到小，左大右小的原則寫成如下數(shù)表：

第行有個數(shù)，第行的第個數(shù)（從左數(shù)起）記為，

則。

16. 我邊防局接到情報，在海礁AB所在直線的一側(cè)點M處有走私團伙在進(jìn)行交易活動，邊防局迅速派出快艇前去搜捕。如圖，已知快艇出發(fā)位置在的另一側(cè)碼頭處，公里，公里，。

（1）（10分）是否存在點M，使快艇沿航線或的路程相等。如存在，則建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出點M的軌跡方程，且畫出軌跡的大致圖形；如不存在，請說明理由。

（2）（4分）問走私船在怎樣的區(qū)域上時，路線比路線的路程短，請說明理由。

解：（1）建立直角坐標(biāo)系（如圖），，

點M的軌跡為雙曲線的一部分，

，

即

點M的軌跡方程為

（2）走私船如在直線的上側(cè)且在（1）中曲線的左側(cè)的區(qū)域時，

路線的路程較短。

理由：設(shè)的延長線與（1）中曲線交于點，

則

17. 已知函數(shù)對任意的整數(shù)均有，且。

（1）（3分）當(dāng)，用的代數(shù)式表示；

（2）（理）（10分）當(dāng)，求的解析式；

（文）（ 6分）當(dāng)，求的解析式；

（3）如果，且恒成立，

求的取值范圍。（理5分；文9分）

解：（1）令

（2）（理）當(dāng)時，，

上述各式相加，得

當(dāng)時，

上述各式相加，得，即

綜上，得。

（文），

（3）恒成立

令，是減函數(shù)

∴

18. 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是兩個互異的點，點P的坐標(biāo)由公式確定，當(dāng)R時，則（ C ）

A．P是直線AB上的所有的點 B．P是直線AB上除去A的所有的點

C．P是直線AB上除去B的所有點 D．P是直線AB上除去A、B的所有點

19. 設(shè)（n∈N）的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別為I_n和F_n，則F_n (F_n+I_n)的值為（A ）

A．1 B．2 C．4 D．與n有關(guān)的數(shù)

20. 將參加數(shù)學(xué)競賽的1000名學(xué)生編號如下0001，0002，0003，…1000，打算從中抽取一個容量為50的樣本，按系統(tǒng)抽樣的方法分成50個部分，如果第一部分編號為0001，0002，…，0020，第一部分隨機抽取一個號碼為0015，則第40個號碼為．0795

21. 設(shè)x、y、z中有兩條直線和一個平面，已知命題為真命題，則x、y、z中一定為直線的是　　．z

22. 秋收要到了，糧食豐收了。某農(nóng)戶準(zhǔn)備用一塊相鄰兩邊長分別為a、b的矩形木板，在屋內(nèi)的一個墻角搭一個急需用的糧倉，這個農(nóng)戶在猶豫，是將長為a的邊放在地上，還是將邊長為b的邊放在地上，木板又該放在什么位置的時候，才能使此糧倉所能儲放的糧食最多。請幫該農(nóng)戶設(shè)計一個方案，使糧倉所能儲放的糧食最多（即糧倉的容積最大）

設(shè)墻角的兩個半平面形成的二面角為定值α 。將b邊放在地上，如圖所示，則糧倉的容積等于以△ABC為底面，高為a的直三棱柱的體積。

由于該三棱柱的高為定值a，于是體積取最大值時必須△ABC的面積S取最大值。

設(shè)AB= x，AC = y ，則由余弦定理有

≥，