類型：Ｂ
2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）
數(shù)學(xué)（理科）
本試卷共4頁(yè)，21小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．
注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須填寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無(wú)效．
4．作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)（或題組號(hào)）對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答．漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效．
5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．
參考公式：如果事件
互斥，那么
．
已知
是正整數(shù)，則
．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知
，復(fù)數(shù)
的實(shí)部為
，虛部為1，則
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．記等差數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，若
，
，則
（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
一年級(jí)
二年級(jí)
三年級(jí)
女生
373
男生
377
370
3．某校共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如表1．已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到二年級(jí)女生的概率是0.19．現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學(xué)生，則應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為（ ）
A．24 B．18 C．16 D．12 表1
4．若變量
滿足
則
的最大值是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．40
5．將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示
分別是
三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ ）
6．已知命題
所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，命題
正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命題中為真命題的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．設(shè)
，若函數(shù)
，
有大于零的極值點(diǎn)，則（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在平行四邊形
中，
與
交于點(diǎn)
是線段
的中點(diǎn)，
的延長(zhǎng)線與
交于點(diǎn)
．若
，
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
（一）必做題（9~12題）
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
（注：框圖中的賦值符號(hào)“
”也可以寫成“
”或“
”）
10．已知
（
是正整數(shù)）的展開式中，
的系數(shù)小于120，則
．
11．經(jīng)過(guò)圓
的圓心
，且與直線
垂直的直線方程是 ．
12．已知函數(shù)
，，則
的最小正周期是
．
二、選做題（13―15題，考生只能從中選做兩題）
13．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線
的極坐標(biāo)方程分別為
，
，則曲線
與
交點(diǎn)的極坐標(biāo)為
．
14．（不等式選講選做題）已知，若關(guān)于的方程
有實(shí)根，則的取值范圍是
．
15．（幾何證明選講選做題）已知
是圓
的切線，切點(diǎn)為
，
．是圓的直徑，
與圓交于點(diǎn)
，
，則圓的半徑
．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
16．（本小題滿分13分）
已知函數(shù)
，的最大值是1，其圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)
．
（1）求的解析式；
（2）已知
，且
，
，求
的值．
17．（本小題滿分13分）
隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為
．
（1）求
的分布列；
（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)（即的數(shù)學(xué)期望）；
（3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為
，一等品率提高為
．如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？
18．（本小題滿分14分）
設(shè)
，橢圓方程為
，拋物線方程為
．如圖4所示，過(guò)點(diǎn)
作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為
，已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)
．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設(shè)
分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)
，使得
為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．
19．（本小題滿分14分）
設(shè)
，函數(shù)
，
，，試討論函數(shù)
的單調(diào)性．
20．（本小題滿分14分）
如圖5所示，四棱錐
的底面是半徑為
的圓的內(nèi)接四邊形，其中是圓的直徑，
，
，
垂直底面，
，
分別是
上的點(diǎn)，且
，過(guò)點(diǎn)
作
的平行線交于．
（1）求與平面
所成角
的正弦值；
（2）證明：
是直角三角形；
（3）當(dāng)
時(shí)，求的面積．
21．（本小題滿分12分）
設(shè)
為實(shí)數(shù)，
是方程
的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列
滿足
，
，
（
…）．
（1）證明：
，
；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）若
，
，求的前項(xiàng)和．
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