湖北省黃岡中學(xué)2008屆高三第一次模擬考試

數(shù) 學(xué) 試 題(理科)

第Ⅰ卷(選擇題  共50分)

一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)

1.命題p:|x|<1,命題q:,則成立的(   )

   A.充分不必要條件                                B.必要不充分條件 

C.充要條件                                            D.既不充分也不必要條件

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2.如圖,平面內(nèi)的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含邊界),設(shè),且點P落在第Ⅲ部分,則實數(shù)m、n滿足(   )

   A.m>0, n>0           B.m>0, n<0           C.m<0, n>0           D.m<0, n<0

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3.設(shè)復(fù)數(shù),則展開式的第五項是(   )

   A.-2i                        B.-21i                     C.35                       D.-35i

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4.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為,若,則等于(   )

   A.16                         B.26                        C.30                       D.80

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5.已知函數(shù)上單調(diào)遞增,且在這個區(qū)間上的最大值為,則實數(shù)的一個值可以是(   )

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   A.                         B.                        C.                        D.

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6.點P在直徑為的球面上,過P作兩兩互相垂直的三條弦(兩端點均在球面上的線段),若其中一條弦長是另一條弦長的2倍,則這三條弦長之和的最大值是(   )

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   A.6                           B.                    C.                  D.

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7.過雙曲線M:的左頂點A作斜率為1的直線l,若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是(   )

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   A.                      B.                      C.                    D.

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8.設(shè)奇函數(shù)f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),且,若函數(shù)對所有的都成立,則當(dāng)時,t的取值范圍是(   )

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A.                                                    B.

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C.                                       D.

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9.已知中,AB=2,BC=1,,平面ABC外一點P滿足PA=PB=PC=2,則三棱錐P―ABC的體積是(   )

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   A.                                B.                        C.                       D.

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10.已知,則滿足條件的點(x, y)所形成區(qū)域的面積為(   )

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A.                                 B.                        C.                        D.

 

第Ⅱ卷(非選擇題  共100分)

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二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.)

11.定義一種運算“*”,它對正整數(shù)n滿足:

(1)2*1001=1;

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(2). 則2008*1001的值是________________.

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12.由0,1,2,3,4,5六個數(shù)字可以組成_______個數(shù)字不重復(fù)且2,3相鄰的四位數(shù)(用數(shù)字填空).

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13.有一解三角形的題因紙張破損,有一條件不清,且具體如下:在中,已知,____________,求角A. 經(jīng)推斷破損處的條件為三角形一邊的長度,且答案提示A=60°,試將條件補充完整.

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14.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),在上有,則不等式的解集為_________.

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15.關(guān)于函數(shù)(a為常數(shù),且a>0)對于下列命題:

①函數(shù)f(x)的最小值為-1;              ②函數(shù)f(x)在每一點處都連續(xù);

③函數(shù)f(x)在R上存在反函數(shù);        ④函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo);

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⑤對任意的實數(shù)x1<0, x2<0且x1<x2,恒有.

其中正確命題的序號是_____________.

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三、解答題(本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.)

16.(本小題滿分12分)一個袋子中裝有m個紅球和n個白球(m>n≥4),它們除顏色不同外,其余都相同,現(xiàn)從中任取兩個球.

(1)若取出兩個紅球的概率等于取出一紅一白兩個球的概率的整數(shù)倍,求證:m必為奇數(shù);

(2)若取出兩個球顏色相同的概率等于取出兩個顏色不同的概率,求滿足m+n≤20的所有數(shù)組(m, n).

 

 

 

 

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17.(本小題滿分12分)已知A、B、C為的三個內(nèi)角,向量,且

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(1)求的值;

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(2)求C的最大值,并判斷此時的形狀.

 

 

 

 

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18.(本小題滿分12分)隨著機構(gòu)改革的深入進(jìn)行,各單位要減員增效,有一家公司現(xiàn)有職員2a人(140<2a<420,且a為偶數(shù)),每人每年可創(chuàng)利b萬元. 據(jù)評估,在經(jīng)營條件不變的前提下,每裁員1人,則留崗職員每人每年多創(chuàng)利0.01b萬元,但公司需付下崗職員每人每年0.4b萬元的生活費,并且該公司正常運轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的. 為獲得最大的經(jīng)濟效益,該公司應(yīng)裁員多少人?

 

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19.(本小題滿分12分)四棱錐S―ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面底面ABCD. 已知

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(1)證明;

(2)求直線SD與平面SAB所成角的大小.

   

 

 

 

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20.(本小題滿分13分)過拋物線的焦點F作直線l與拋物線交于A、B.

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(1)求證:不是直角三角形;

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(2)當(dāng)l的斜率為時,拋物線上是否存在點C,使為直角三角形且B為直角(點B位于x軸下方)?若存在,求出所有的點C;若不存在,說明理由.

 

 

 

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21.(本小題滿分14分)對于函數(shù)f(x),若存在,使成立,則稱x0為f(x)的不動點. 如果函數(shù)有且僅有兩個不動點0,2,且

(1)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

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(2)已知各項不為零且不為1的數(shù)列{an}滿足,求證:;

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(3)設(shè)為數(shù)列{bn}的前n項和,求證:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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1.B  2.B  3.C  4.C  5.B  6.D  7.A  8.C  9.D  10.A

11.31003              12.60          13.      14.  15.①②⑤

16.解:(1)設(shè)“取出兩個紅球”為事件A,“取出一紅一白兩個球”為事件B,則

……2分

由題意得

則有,可得……4分

,∴m為奇數(shù)……6分

(2)設(shè)“取出兩個白球”為事件C,則……7分

由題意知,即有
可得到,從而m+n為完全平方數(shù)……9分

又m≥n≥4及m+n≤20得9≤m+n≤20

得到方程組:;

解得:,(不合題意舍去)……11分

故滿足條件的數(shù)組(m, n)只有一組(10,6)……12分

17.解:(1)∵,……2分

……4分

由于,故……6分

(2)由……8分

……10分

當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanB,即A=B時,tanC取得最大值.

所以C的最大值為,此時為等腰三角形. ……12分

18.解:設(shè)裁員x人,可獲得的經(jīng)濟效益為y萬元,

……4分

依題意

又140<2a<420, 70<a<210. ……6分

(1)當(dāng)時,x=a-70, y取到最大值;……8分

(2)當(dāng)時,, y取到最大值;……10分

答:當(dāng)時,裁員a-70人;當(dāng)時,裁員人……12分

19.解法一:(1)作,垂足為O,連結(jié)AO,由側(cè)面底面ABCD,得底面ABCD. 因為SA=SB,所以AO=BO. 又,故為等腰直角三角形, 由三垂線定理,得

(2)由(1)知,依題設(shè),故,由,得 所以的面積 連結(jié)DB,得的面積 設(shè)D到平面SAB的距離為h,由,

,解得

設(shè)SD與平面SAB所成角為,則 所以直線SD與平面SAB所成的角為

解法二:(1)作,垂足為O,連結(jié)AO,由側(cè)面底面ABCD,得平面ABCD. 因為SA=SB,所以AO=BO. 又,為等腰直角三角形,

如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA為x軸正向,建立直角坐標(biāo)系O―xyz, ,所以

(2)取AB中點E,. 連結(jié)SE,取SE中點G,連結(jié)OG,

,OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線SE、AB垂直,所以平面SAB.的夾角記為,SD與平面SAB所成的角記為,則互余.

所以直線SD與平面SAB所成的角為

20.解:(1)∵焦點F為(1,0),過點F且與拋物線交于點A、B的直線可設(shè)為,代入拋物線得:,則有……2分

進(jìn)而……4分

,

為鈍角,故不是直角三角形.……6分

(2)由題意得AB的方程為,

代入拋物線,求得……8分

假設(shè)拋物線上存在點,使為直角三角形且C為直角,此時,以AC為直徑的圓的方程為,將A、B、C三點的坐標(biāo)代入得:

整理得:……10分

解得對應(yīng)點B,對應(yīng)點C……12分

則存在使為直角三角形.

故滿足條件的點C有一個:……13分

 

∴當(dāng)時,h(t)單調(diào)遞增,∴h(t)>h(1)=0

于是……②

由①、②可知……10分

所以,,即……11分

(3)由(2)可知

中令n=1, 2, 3, …, 2007,并將各式相加得

……14分

 

 


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