海 淀 區(qū) 高 三 年 級 第 一 學 期 期 末 練 習

數(shù)  學（理科）             2008.1

學校                班級               姓名          

 

題號

一

二

三

總分

（15）

（16）

（17）

（18）

（19）

（20）

分數(shù)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符

（2）函數(shù)y=cos（4x+）的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為                      （　�。�
（A）                     （B）              （C）              （D）

試題詳情

（3）在邊長為的正三角形ABC中，設=c，=a，=b，則a?b＋b?c＋c?a等于

                                                                                                                              （　�。�
（A）－3                   （B）0                （C）1                （D）3

（4）設i為虛數(shù)單位，則（1+i）4展開式中的第三項為                                    （　�。�

（A）4i                      （B）－4i           （C）6                （D）－6           

試題詳情

（5）設m、n是不同的直線，、、是不同的平面，有以下四個命題：
①若∥，∥γ，則∥              ②若⊥，m∥，則m⊥
③若m⊥，m∥，則⊥               ④若m∥n，n?α，則m∥α
其中真命題的序號是                                                                                     （　�。�
（A）①④                 （B）②③              （C）②④       （D）①③

試題詳情

（6）已知A（0，b），B為橢圓+=1（a>b>0）的左準線與x軸的交點，若線段AB的中點C在橢圓上，則該橢圓的離心率為                                     （　�。�
（A）                   （B）           （C）           （D）

試題詳情

（7）已知函數(shù)f（x）=（x≥1），（x）為f（x）的反函數(shù)，則函數(shù)y=|x|與y=（-x）在同一坐標系中的圖象為                                                                                    （　�。�

試題詳情



（A）                            （B）　　　　　�。–）　　　　　　�。―）

（8）已知函數(shù)y=f（x）是定義在［a,b］上的增函數(shù)，其中a，b∈R，且0<b<－a.設函數(shù)F（x）=［f（x）］2-［f（-x）］2，且F（x）不恒等于0，則對于F（x）有如下說法：
①定義域為［-b，b］�、谑瞧婧瘮�(shù)�、圩钚≈禐�0�、茉诙x域內(nèi)單調(diào)遞增其中正確說法的個數(shù)有                                                                            （　�。�
（A）4個                  （B）3個            （C）2個            （D）1個

 

試題詳情

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.

（9）雙曲線-=1的一個焦點到一條漸近線的距離是　　　　　.

試題詳情

（10）在△ABC中，A+C=2B，BC=5，且△ABC的面積為10，則B=　　　　　;
AB=　　　　　　.

（11）已知函數(shù)f（x）=則不等式f（x）<0的解集為　　　　　　.

試題詳情

（12）設不等式組所表示的平面區(qū)域為S，則S的面積為　　　　；若A，

 

B為S內(nèi)的兩個點，則｜AB｜的最大值為　　　　.

（13）已知P，A，B，C是以O為球心的球面上的四個點，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=2，則球O的半徑為　　　　；球心O到平面ABC的距離為　　　　.

（14）在100，101，102，…，999這些數(shù)中，各位數(shù)字按嚴格遞增（如“145”）或嚴格遞減（如“321”）順序排列的數(shù)的個數(shù)是　　　　個.把符合條件的所有數(shù)按從小到大的順序排列，則321是第　　　　個數(shù).（用數(shù)字作答）

（15）（本小題共12分）
已知向量a=（cosx+2sinx,sinx），b=（cosx-sinx,2cosx），設函數(shù)f（x）=a?b.
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時x的集合.

（16）（本小題共14分）

試題詳情

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，點M是SD的中點，AN⊥SC，且交SC于點N.
（Ⅰ）求證：SB∥平面ACM;
（Ⅱ）求二面角D-AC-M的大��；
（Ⅲ）求證：平面SAC⊥平面AMN.

（17）（本小題共12分）

某城市有30%的家庭訂閱了A報，有60%的家庭訂閱了B報，有20%的家庭同時訂閱了A報和B報，從該城市中任取了4個家庭.

（Ⅰ）求這4個家庭中恰好有3個家庭訂閱了A報的概率；

（Ⅱ）求這4個家庭中至多有3個家庭訂閱了B報的概率；

（Ⅲ）求這4個家庭中恰好有2個家庭A，B報都沒有訂閱的概率.

（18）（本小題共14分）

試題詳情

已知拋物線S的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，△ABC的三個頂點都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0.

（Ⅰ）求拋物線S的方程；

（Ⅱ）若O是坐標原點，P，Q是拋物線S上的兩個動點，且滿足OP⊥OQ.試說明動直線PQ是否過定點.

（19）（本小題共14分）

設x1、x2（x1≠x2）是函數(shù)f（x）=ax3+bx2-a2x（a>0）的兩個極值點.

（Ⅰ）若x1=-1，x2=2，求函數(shù)f（x）的解析式；

試題詳情

（Ⅱ）若|x1|+|x2|=，求b的最大值；

試題詳情

（Ⅲ）設函數(shù)g（x）=當x2=a時，求證：

試題詳情

|g（x）|≤a（3a+2）2.

（20）（本小題共14分）

試題詳情

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足:f（1）=，且對于任意實數(shù)x，y，總有

試題詳情

f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立.
（Ⅰ）求f（0）的值，并證明函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅱ）定義數(shù)列{an}:an=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求證：{an}為等比數(shù)列；
（Ⅲ）若對于任意的非零實數(shù)y，總有f（y）＞2.設有理數(shù)x1，x2滿足：|x1|＜|x2|，判斷f（x1）和f（x2）的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

 

海 淀 區(qū) 高 三 年 級 第 一 學 期 期 末 練 習

數(shù)  學（理科）

試題詳情

 

一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）

題號

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

B

B

A

D

D

C

A

C

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,共30分）

（9）2　�。�10）,8　�。�11）（-∞,-1）∪（-1,1）　�。�12）16,

（13）　�。�14）204,53

三、解答題（本大題共6小題,共80分.）

（15）（共12分）

解：（Ⅰ）由已知可得

f（x）=（cosx+2sinx）（cosx-sinx）+2sinxcosx…………………………1分=cos2x-sinxcosx+2sinxcosx-2sin2x+2sinxcosx

=cos2x+3sinxcosx-2sin2x

=（1+cos2x）+sin2x+（cos2x-1）

=（sin2x+cos2x）-=sin（2x+）－…………………6分

由-<2x+<+得： -<x<+…………………8分

即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-,+）（k∈Z）.…………9分

（Ⅱ）由（Ⅰ）有f（x）=sin（2x+）－,∴f（x）max=.…10分

所求x的集合.…………………………………12分

（16）（共14分）

方法一：

（Ⅰ）證明：連結(jié)BD交AC于E，連結(jié)ME. ……………………………………1分

∵ABCD是正方形，∴E是BD的中點.∵M是SD的中點,∴ME是△DSB的中位線.

∴ME∥SB. ……………………………………………………………………2分

又∵ME?平面ACM,SB?平面ACM,………………………………………3分

∴SB∥平面ACM. ……………………………………………………………4分

（Ⅱ）解：取AD中點F，則MF∥SA.作FQ⊥AC于Q,連結(jié)MQ. ……………5分

∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD.

∴FQ為MQ在平面ABCD內(nèi)的射影.

∵FQ⊥AC,∴MQ⊥AC.

∴∠FQM為二面角D-AC-M的平面角.……………………………………7分

設SA=AB=a,在Rt△MFQ中，MF=SA=,FQ=DE=,

∴tanFQM==.

∴二面角D-AC-M的大小為arctan.……………………………………9分

（Ⅲ）證明：由條件有DC⊥SA，DC⊥DA,∴DC⊥平面SAD.∴AM⊥DC.…10分

又∵SA=AD,M是SD的中點，∴AM⊥SD.

∴AM⊥平面SDC.………………………………………………………11分

∴SC⊥AM.

由已知SC⊥AN,∴SC⊥平面AMN.

又SC?平面SAC,∴平面SAC⊥平面AMN.…………………………14分

方法二：

解：（Ⅱ）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A-xyz,5分

由SA=AB,故設AB=AD=AS=1,則A（0，0，0），B（0，1，0），

C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1），M（，0，）.

∵SA⊥底面ABCD，

∴是平面ABCD的法向量，=（0，0，1）.

設平面ACM的法向量為n=（x，y，z），

*=（1，1，0），=（，0，），………………7分

令x=1，則n=（1，-1，-1）.………………………………………………………8分

∴cos<，n>===.

∴二面角D-AC-M的大小為arccos.…………………………………………9分

（Ⅲ）∵=，=（-1，-1，1），…………………………………………10分

∴?==0.

∴⊥.…………………………………………………………………………12分

又∵SC⊥AN且AN∩AM=A，

∴SC⊥平面AMN.又SC?平面SAC，

∴平面SAC⊥平面AMN. ……………………………………………………………14分

（17）（共12分）

解：（Ⅰ）設“這4個家庭中恰好有3個家庭訂閱了A報”的事件為A，……1分

P（A）=（0.3）3（0.7）=0.0756………………………………………………4分

答：這4個家庭中恰好有3個家庭訂閱了A報的概率為0.0756.

（Ⅱ）設“這4個家庭中至多有3個家庭訂閱了B報”的事件為B，………………5分

P（B）=1-（0.6）4=1-0.1296=0.8704………………………………………………8分

答：這4個家庭中至多有3個家庭訂閱了B報的概率為0.8704.

（Ⅲ）設“這4個家庭中恰好有2個家庭A，B報都沒有訂閱”的事件為C，………9分

因為有30%的家庭訂閱了A報，有60%的家庭訂閱了B報，有20%的家庭同時訂閱了A報和B報.所以兩份報紙都沒有訂閱的家庭有30%.

所以P（C）=（0.3）2（0.7）2=0.2646………………………………………12分

答：這4個家庭中恰好有2個家庭A，B報都沒有訂閱的概率為0.2646.

注：第三問若寫出兩份報紙都沒有訂閱的家庭有30%，后面計算有誤，給到10分.

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）設拋物線S的方程為y2=2px. …………………………………………………1分

由可得2y2+py-20p=0.……………………………………………………3分

由Δ>0，有p>0，或p<-160.

設B（x1，y1），C（x2，y2），則y1+y2=,

∴x1+x2=（5-）+（5-）=10-=10+…………………………………5分

設A（x3，y3），由△ABC的重心為F（，0），則，，

∴x3=-10，y3=.

∵點A在拋物線S上，∴=2p（）.∴p=8.…………………………6分

∴拋物線S的方程為y2=16x. …………………………………………………………7分

（Ⅱ）當動直線PQ的斜率存在時，

設PQ的方程為y=kx+b，顯然k≠0，b≠0. ………………………………………8分

設P（xp，yp），Q（xQ，xQ），

∵OP⊥OQ，∴kOP?kOQ=-1.

∴?=-1，∴xPxQ+yPyQ=0. …………………………………………………10分

將y=kx+b代入拋物線方程，得ky2-16y+16b=0，∴yPyQ=.

從而xPxQ==，∴=0.

∵k≠0，b≠0，∴b=-16k，∴動直線方程為y=kx-16k=k（x-16）.

此時動直線PQ過定點（16，0）.…………………………………………………12分

當直線PQ的斜率不存在時，顯然PQ⊥x軸，又OP⊥OQ，

∴△POQ為等腰直角三角形.

由得到P（16，16），Q（16，-16）.

此時直線PQ亦過點（16，0）.……………………………………………………13分

綜上所述，動直線PQ過定點M（16，0）.………………………………………14分

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a>0），∴（x）=3ax2+2bx-a2（a>0）………1分

依題意有，∴.……………………………2分

解得∴f（x）=6x3-9x2-36x.…………………………………………………4分

（Ⅱ）∵=3ax2+2bx-a2（a>0）

依題意，x1，x2為方程=0的兩個根，且|x1|+|x2|=，

∴（x1+x2）2-2x1x2+2|x1x2|=8.

∴∴b2=3a2=（6-a）.

∵b2≥0，∴0<a≤6.……………………………………………………………………6分

設p（a）=3a2（6-a），則（a）=-9a2+36a.

由（a）>0得0<a<4，由（a）<0得a>4.

即函數(shù)p（a）在區(qū)間（0，4）上是增函數(shù)，在區(qū)間［4，6］上是減函數(shù)，

∴當a=4時，p（a）有極大值為96，∴p（a）在（0，6］上的最大值是96.

∴b的最大值為4.…………………………………………………………………9分

（Ⅲ）證明：∵x1，x2是方程的兩根，

∴＝3a（x-x1）（x-x2）.………………………………………………………10分

∵x1?x2=-，x2=a，∴x1=-.

∴|g（x）|=|3a（x+）（x-a）-a（x+）|=|a（x+）[3（x-a）-1]|

∵x1<x<x2，即-<x<a.

∴||=a（x+）（-3x+3a+1）…………………………………………………12分

∴||=-3a（x+）（x-）=-3a++a2+

≤+a2+=.……………………………………………………14分

∴||≤成立.

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）令x=1，y=0∴f（1）f（0）＝f（1）+f（1）.

∵f（1）=，∴f（0）=2…………………………………………………………1分

令x=0，∴f（0）f（y）=f（y）+f（-y）即2f（y）=f（y）+f（-y）

∴f（y）=f（-y），對任意實數(shù)y總成立，∴f（x）為偶函數(shù).……………………3分

（Ⅱ）令x=y=1，得f（1）f（1）=f（2）+f（0）.

∴=f（2）+2.

∴f（2）=.

∴a1=2f（2）-f（1）==6.…………………………………………………5分

令x=n+1，y=1，得f（n+1）f（1）=f（n+2）+f（n）.

∴f（n+2）=f（n+1）-f（n）.…………………………………………………6分

∴an+1=2f（n+2）-f（n+1）=2［f（n+1）-f（n）］-f（n+1）

=4f（n+1）-2f（n）=2［f（n+1）-f（n）］=2an（n≥1）.………………8分

∴{an}是以6為首項，以2為公比的等比數(shù)列.…………………………………9分

（Ⅲ）結(jié)論:f（x1）<f（x2）.

證明：設y≠0，

∵y≠0時，f（y）>2，

∴f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）>2f（x），即f（x+y）-f（x）>f（x）-f（x-y）.

∴對于k∈N，總有f［（k+1）y］-f（ky）>f（ky）-f［（k-1）y］成立.

∴f［（k+1）y］-f（ky）>f（ky）-f［（k-1）y］>f［（k-1）y］-f［（k-2）y］

>…>f（y）-f（0）>0.

∴對于k∈N總有f［（k+1）y］>f（ky）成立.

∴對于m，n∈N，若n<m，則有f（ny）<…<f（my）成立.

∵x1，x2∈Q，所以可設|x1|=，|x2|=，其中q1，q2是非負整數(shù)，p1，p2都是正整數(shù),

則|x1|=,|x2|=.

令y=，t=q1p2，s=p1q2，則t，s∈N.

∵|x1|<|x2|，∴t<s.∴f（ty）<f（sy），即f（|x1|）<f（|x2|）.

∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴f（|x1|）=f（x1），f（|x2|）=f（x2）;

∴f（x1）<f（x2）.…………………………………………………………14分

 

說明：其他正確解法按相應步驟給分.

 


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