雅禮中學(xué)2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷

 

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）題兩部分，滿分150分.考試時(shí)量120分鐘.

第Ⅰ卷（選擇題）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．已知集合，則是的    （   ）

       A  充分而不必要條件                             B  必要而不充分條件

       C  充要條件                                           D  既不充分也不必要條件

試題詳情

2．下列函數(shù)中周期為1的奇函數(shù)是                                            （   ）

試題詳情

A                   B     

試題詳情

C                        D 

試題詳情

3．下列不等式中恒成立的個(gè)數(shù)有                                                                           （   ）

試題詳情

       ①                                 ②

試題詳情

       ③             ④

       A  4                        B  3                        C  2                        D  1

試題詳情

4．25人排成5×5方陣，從中選出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，則不同的選出方法種數(shù)為                      （   ）

       A  600                        B  300                        C  100                        D  60

試題詳情

5．已知的前n項(xiàng)和                 （   ）

A  67                 B  65                C  6l                  D  56

試題詳情

6．對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)（，）、（，），定義它們之間的一種“距離”：‖‖=??+??．給出下列三個(gè)命題：

①若點(diǎn)C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

試題詳情

②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖．

其中真命題的個(gè)數(shù)為                                                    （   ）

A  0                B  1                 C  2             D  3

試題詳情

7．如圖,設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部,且有,則的面積與的面積的比為                                                              （   ）

試題詳情

A  2             B              

試題詳情

C  3             D   

試題詳情

8． 已知點(diǎn)P 是拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到此拋物線準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是                           （   ）

試題詳情

    A  5              B  4                 C              D

試題詳情

試題詳情

A 

試題詳情

B 

試題詳情

C 

試題詳情

D 

試題詳情

10．在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則將某些數(shù)染成紅色．先染1，再染2個(gè)偶數(shù)2、4；再染4后面最鄰近的3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5、7、9；再染9后面最鄰近的4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16；再染此后最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25．按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．則在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由1開始的第2003個(gè)數(shù)是                                                  （   ）

A  3844              B  3943                C  3945                 D  4006

 

試題詳情

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號(hào)后的橫線上.

11．某校為了了解高三年級(jí)學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從全段600名學(xué)生中抽取60名進(jìn)行體檢，如果在抽取的學(xué)生中有男生36名，則在高三年級(jí)中共有女生      名．

試題詳情

12．，則                 

試題詳情

13．通過兩個(gè)定點(diǎn) 且在軸上截得的弦長等于的圓的方程是      

試題詳情

14．已知平面α、β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③；④α⊥β；⑤α∥β.

試題詳情

（）當(dāng)滿足條件           時(shí)，m∥β；

試題詳情

（）當(dāng)滿足條件           時(shí)，m⊥β　 （注意：只要填條件中的序號(hào)）

試題詳情

15．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對稱，對任意，，有，，則

試題詳情

（）       ；

試題詳情

（）若記，那么         

 

試題詳情

三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16．（本小題滿分12分）

試題詳情

已知△ABC的三邊成等比數(shù)列，且，

試題詳情

（Ⅰ）求；                 

試題詳情

（Ⅱ）求的面積。

 

試題詳情

17．（本小題滿分12分）

試題詳情

　　設(shè)輪船有兩個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)，輪船有四個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)，如果半數(shù)或半數(shù)以上的發(fā)動(dòng)機(jī)沒有故障，輪船就能夠安全航行．現(xiàn)設(shè)每個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)生故障的概率是的函數(shù)：（其中為發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)后所經(jīng)歷的時(shí)間,為正常數(shù)，每個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)工作相互獨(dú)立）．

試題詳情

（Ⅰ）分別求出輪船安全航行的概率（用表示）；

試題詳情

（Ⅱ）根據(jù)時(shí)間的變化，比較輪船和輪船哪一個(gè)更能安全航行（除發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)生故障外，不考慮其他因素）．

 

試題詳情

18．（本小題滿分12分）

試題詳情

如圖，等腰直角△中，，平面，∥，.

試題詳情

（Ⅰ）求二面角的大小；

試題詳情

（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離；

試題詳情

19．（本小題滿分13分）

如圖所示，某校把一塊邊長為2a的等邊△ABC的邊角地(如圖)辟為生物園，圖中DE把生物園分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上.

（Ⅰ）設(shè)AD＝x（x≥a），ED＝y，求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式；?

（Ⅱ）如果DE是灌溉水管的位置，為了省錢，希望它最短，DE的位置應(yīng)該在哪里?如果DE是參觀線路，即希望它最長，DE的位置又應(yīng)該在哪里?請給予證明.?

試題詳情

 

 

 

 

 

試題詳情

20．（本小題滿分13分）

試題詳情

如圖，設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，直線為對應(yīng)的準(zhǔn)線，直線與軸交于點(diǎn)，線段為橢圓的長軸，已知，且．

試題詳情

（Ⅰ）求證：對于任意的割線，恒有；

試題詳情

（Ⅱ）求三角形△ABF面積的最大值．

 

 

 

 

試題詳情

21．（本小題滿分13分）

試題詳情

已知點(diǎn)是且

試題詳情

（Ⅰ）求的定義域；

試題詳情

（Ⅱ）求證：；

試題詳情

（Ⅲ）求證：數(shù)列{an}前n項(xiàng)和

 

 

 

試題詳情

 

一、選擇題：ADBAA    BCCDB

二、填空題

11.;        12． ;          13．

14．（）③⑤  （）②⑤              15． （）；    （） 0

三、解答題：

16．解：（1）

                                                                …………5分

由成等比數(shù)列，知不是最大邊

                                                    …………6分

（2）由余弦定理

得ac=2                                                                                                        …………11分

=                                                                          …………12分

17.解：（Ⅰ）．

（Ⅱ）．

1當(dāng)時(shí)，則．此時(shí)輪船更安全．

2當(dāng)時(shí)，則．此時(shí)輪船和輪船一樣安全．

3當(dāng)時(shí)，則．此時(shí)輪船更安全．

解：方法一

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點(diǎn)到平面的距離即為△的邊上的高.

故.                             …（12分）

 

19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為2a，D在AB上，則a≤x≤2a，?

∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，

∴x?AEsin60°＝?（2a）2，?

解得AE＝，?

在△ADE中，由余弦定理:?

y2＝x2＋?cos60°，?

∴y2＝x2＋－2a2

∴y＝  (a≤x≤2a)?

（Ⅱ）證明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x2＝t，則a2≤t≤4a2

且y＝，設(shè)f（t）＝t＋（a2≤t≤4a2）?

當(dāng)t∈（a2，2a2）時(shí)，任取a2＜t1＜t2＜2a2，?

f（t1）－f（t2）＝（t1＋）－（t2＋）

＝（t1－t2）?，?

∵a2＜t1＜t2＜2a2?

∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－4a4＜0?

∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?

∴f（x）在（a2，2a2）上是減函數(shù).?

同理可得，f（x）在（2a2，4a2）上是增函數(shù).?

又∵f（2a2）＝4a2，f（a2）＝f（4a2）＝5a2，當(dāng)t＝2a2時(shí)，f（x）有最小值，即x＝a時(shí)，y有最小值，且ymin＝a，此時(shí)DE∥BC且AD＝a；當(dāng)t＝a2或4a2時(shí)，f（x）有最大值，即x＝a或2a時(shí)，y有最大值，且ymax＝a，此時(shí)DE為AB或AC邊上的中線.?

 

20.解：（Ⅰ）∵，∴，

又∵，∴，

∴，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                                      ………（3分）

當(dāng)的斜率為0時(shí)，顯然=0，滿足題意，

當(dāng)的斜率不為0時(shí)，設(shè)方程為，

代入橢圓方程整理得：．

，，．

則

          ，

而

∴，從而．

綜合可知：對于任意的割線，恒有．                ………（8分）

（Ⅱ），

即：，

當(dāng)且僅當(dāng)，即（此時(shí)適合于的條件）取到等號(hào)．

∴三角形△ABF面積的最大值是．                 ………………………………（13分）

21.解：（Ⅰ）由

故x>0或x≤－1

f(x)定義域?yàn)?sub>                          …………………………（4分）

（Ⅱ）

下面使用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①在n=1時(shí)，a1=1，<a1<2，則n=1時(shí)（*）式成立.

②假設(shè)n=k時(shí)成立，

由

要證明：

只需

只需(2k+1)3≤8k(k+1)2

只需1≤4k2+2k

而4k2+2k≥1在k≥1時(shí)恒成立.

只需證：4k2+11k+8>0，而4k2+11k+8>0在k≥1時(shí)恒成立.

于是：

因此得證.

綜合①②可知（*）式得證.從而原不等式成立.                     ………………9分

（Ⅲ）要證明：

由（2）可知只需證：

…………（**）

下面用分析法證明：（**）式成立。

要使（**）成立，只需證：

即只需證：(3n－2)3n>(3n－1)3(n－1)

只需證：2n>1

而2n>1在n≥1時(shí)顯然成立.故（**）式得證：

于是由（**）式可知有：

因此有：

                     ……………………………………（13分）

 

 

 

雅禮中學(xué)2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案

 

一、選擇題：ADBAA    BCCDB

二、填空題

11.;        12． ;          13．

14．（）③⑤  （）②⑤              15． （）；    （） 0

三、解答題：

16．解：（1）

                                                                …………5分

由成等比數(shù)列，知不是最大邊

                                                    …………6分

（2）由余弦定理

得ac=2                                                                                                        …………11分

=                                                                          …………12分

17.解：（Ⅰ）．

（Ⅱ）．

1當(dāng)時(shí)，則．此時(shí)輪船更安全．

2當(dāng)時(shí)，則．此時(shí)輪船和輪船一樣安全．

3當(dāng)時(shí)，則．此時(shí)輪船更安全．

解：方法一

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點(diǎn)到平面的距離即為△的邊上的高.

故.                             …（12分）

 

19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為2a，D在AB上，則a≤x≤2a，?

∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，

∴x?AEsin60°＝?（2a）2，?

解得AE＝，?

在△ADE中，由余弦定理:?

y2＝x2＋?cos60°，?

∴y2＝x2＋－2a2

∴y＝  (a≤x≤2a)?

（Ⅱ）證明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x2＝t，則a2≤t≤4a2

且y＝，設(shè)f（t）＝t＋（a2≤t≤4a2）?

當(dāng)t∈（a2，2a2）時(shí)，任取a2＜t1＜t2＜2a2，?

f（t1）－f（t2）＝（t1＋）－（t2＋）

＝（t1－t2）?，?

∵a2＜t1＜t2＜2a2?

∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－4a4＜0?

∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?

∴f（x）在（a2，2a2）上是減函數(shù).?

同理可得，f（x）在（2a2，4a2）上是增函數(shù).?

又∵f（2a2）＝4a2，f（a2）＝f（4a2）＝5a2，當(dāng)t＝2a2時(shí)，f（x）有最小值，即x＝a時(shí)，y有最小值，且ymin＝a，此時(shí)DE∥BC且AD＝a；當(dāng)t＝a2或4a2時(shí)，f（x）有最大值，即x＝a或2a時(shí)，y有最大值，且ymax＝a，此時(shí)DE為AB或AC邊上的中線.?

 

20.解：（Ⅰ）∵，∴，

又∵，∴，

∴，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                                      ………（3分）

當(dāng)的斜率為0時(shí)，顯然=0，滿足題意，

當(dāng)的斜率不為0時(shí)，設(shè)

同步練習(xí)冊答案
<abbr id="g60ai"></abbr>
    <noscript id="g60ai"></noscript>