[教學(xué)重點]利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性

[教學(xué)難點]利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性

[教學(xué)過程]

問題1：函數(shù)在哪個區(qū)間上單調(diào)增、單調(diào)減？

問題2：在這些區(qū)間上切線的斜率有什么特點？

問題3：切線的斜率如何用數(shù)學(xué)式子表達(dá)？

問題4：對于一般的是否還有這一結(jié)論？

1. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：

一般的，一個函數(shù)在某個區(qū)間I上單調(diào)增（減）是指：對于區(qū)間I內(nèi)任意兩個值x₁,x₂,x₁<x₂,有f(x₁)<(>)f(x₂),

變形即為正（負(fù)）的區(qū)間單調(diào)增（減）

如何與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起呢？

令x₁=x,x₂=x₁+△x,于是決定于的正負(fù)，這樣我們有：

定理：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x) 在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)y’>0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)y’<0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)

例1、確定函數(shù)f(x)=2x³－6x²+7在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).

略解：f′(x)=(2x³－6x²+7)′=6x²－12x

∴當(dāng)x∈(－∞，0)時，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù).

∴當(dāng)x∈(0，2)時，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù).

說明：用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)在哪個區(qū)間上單調(diào)增或減的步驟為：

①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x).

②f(x)在f′(x)＞0（＜0）的解區(qū)間上單調(diào)增（減）

練習(xí)1：求y=x-x³在哪個區(qū)間上單調(diào)增？在哪個區(qū)間上單調(diào)減？

練習(xí)2：證明函數(shù)f(x)=e^x-x在區(qū)間(-∞，0)上是減函數(shù)

例2、確定函數(shù)f(x)=sinx-x在[0，2π]上的單調(diào)減區(qū)間

解：函數(shù)的定義域為R,f^/(x)=cosx->00≤x<或<x≤2π,又函數(shù)的圖象在這兩點處不斷開∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[0, ]及[,2π],同理單調(diào)減區(qū)間為[，]

說明：函數(shù)在哪個區(qū)間上單調(diào)與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間說法的不同，后者一般包括了所有可能的值

思考：如何求一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間呢？（對于無常數(shù)函數(shù)段的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x),其增區(qū)間為f^/(x)≥0的解與定義域的交區(qū)間，減區(qū)間為f^/(x)≤0的解與定義域的交區(qū)間）

練習(xí)1：已知函數(shù)y=x+，試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

練習(xí)2：

思考：定理的逆命題是否為真？（未必為真，還有端點值）

   例3、y=ax³-x²+x-5在R上單調(diào)增，求實數(shù)a的范圍

解：y^/=3ax²-2x+1≥0對任意x成立，a=0時不滿足要求；故，a≥

變形：在上單調(diào)增呢？

兩點技巧：1用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x).②f(x)在f′(x)＞0（＜0）的解區(qū)間上單調(diào)增（減）

2、求一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：對于無常數(shù)函數(shù)段的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x),其增區(qū)間為f^/(x)≥0的解與定義域的交區(qū)間，減區(qū)間為f^/(x)≤0的解與定義域的交區(qū)間

四、作業(yè)課本P34  1、2 、5

[補充習(xí)題]

1、函數(shù)y=ax³-x(1)其遞減區(qū)間為，則實數(shù)a的范圍是_________________

 (2)它恰有三個單調(diào)區(qū)間，實數(shù)a的范圍是_______________

2、函數(shù)f(x)=-ax,其中a>0，求a的范圍使函數(shù)f(x)在上是單調(diào)函數(shù)，并指出單調(diào)性

3、設(shè)x>-2,n為正整數(shù)，比較(1+x)ⁿ與1+nx的大小

4、討論函數(shù)f(x)=(-1<x<1且b≠0)的單調(diào)性

[補充習(xí)題解答解答]

1、(1)0<a≤1；(2)a>0

2、a≥1，單調(diào)減

3、計算f(x)=(1+x)ⁿ-(1+nx)的單調(diào)性，結(jié)果(1+x)ⁿ≥1+nx

4、b>0時，f(x)減；b<0時，f(x)增

[教后感想與作業(yè)情況]

§1.3.2  極值點(1)

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點難點]極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟.

教學(xué)過程：

1.極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點x₀附近有定義，如果對x₀附近的所有的點都有f(x)＜f(x₀)，就說f(x₀)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y_極大值=f(x₀)，x₀是極大值點

2.極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x₀附近有定義，如果對x₀附近的所有的點，都有f(x)＞f(x₀).就說f(x₀)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y_極小值=f(x₀)，x₀是極小值點

3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值

在定義中，取極值時自變量的值稱為極值點，極值點不是點（類比零點），極值指的是函數(shù)值

用班級分組找年齡最大者說明極值概念

注意：

（1）極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小

（2）函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個

（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而>

（4）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點

思考1：函數(shù)y=f(x)極值f(x₀)滿足什么條件？

（1）函數(shù)在(a,b)上可導(dǎo)；（2）在x=x₀兩側(cè)f(x)單調(diào)性相反（相應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值異號）

思考2：如何求函數(shù)的極值？

例1求y=x³－4x+的極值

解：  函數(shù)的定義域為R, y′=(x³－4x+)^/=x²－4=(x+2)(x－2)

f_極大(x)=f(-2)=,f_極小(x)=f(2)= －

總結(jié)：求函數(shù)極值的步驟：

一確（確定函數(shù)定義域）

二算（計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）

三列（列出數(shù)軸、導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)及相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性）

四寫（寫出函數(shù)的極值，左正右負(fù)那么f(x)在分界值處取得極大值；如果左負(fù)右正那么f(x)在這分界值處取得極小值）

練習(xí)1：求y=x+的極值

練習(xí)2：教材P31---3

練習(xí)3：求y=(x²－1)³+1的極值

思考3：時是不是一定為的極值？（不一定，如f(x)=x³,f^/(0)=0但不是極值）

思考4：函數(shù)在極值處是否導(dǎo)數(shù)一定為0？（不一定，如y=|x|,0是極值，但導(dǎo)數(shù)不存在）

例2、f(x)=x³-ax²-bx+a²在x=1處有極值10，求a,b的值

解：函數(shù)定義域為(-∞,+∞),f^/(x)=3x²-2ax-b,由已知f^/(x)在x=1左右異號，f^/(x)=0有兩個根且f^/(1)=0∴

練習(xí)：求函數(shù)y=2sinx-x在內(nèi)極值

[補充習(xí)題]

1、求函數(shù)f(x)=|x-2|(x-3)(x-4)的極值及相應(yīng)的x的值

2、求函數(shù)f(x)=2x³-3(a-1)x²+1(a≥1)的極值

3、設(shè)函數(shù)f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax+8(1)若f(3)是函數(shù)的一個極值，求a;(2)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)增，求a的范圍

[解答]

1、f_極小(x)=f(2)=0, f_極小(x)=f(3+)=-; f_極大(x)=f(3-)=

2、極大值1，極小值1-(a-1)³

3、(1)a=3;(2)a≥0

[教后感想與作業(yè)情況]

§1.3.2  極值點(2)――求參數(shù)范圍

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點難點]求參數(shù)范圍

[教學(xué)過程]

二、應(yīng)用舉例

例1、已知函數(shù)f(x)=x³+ax²-(a-1)x+7有極大、極小值，求實數(shù)a的范圍

解：函數(shù)的定義域為（-∞，+∞），f^/(x)=3x²+2ax-(a-1),f(x)有增有減，f^/(x)有兩個不等的零點，△=4(a²+3a-3)>0,a>或a<

   練習(xí)：a>0,b>0,求f(x)=e^ax-2e^bx有極值的條件   (a≠b)

   例2、關(guān)于x的方程x³-3x+a=0有三個不等的實數(shù)根，求a的范圍

   解：原方程可以化為a=-x³+3x,只要看y=a與f(x)= -x³+3x交點，為此需要求f(x)的單調(diào)性和極值，f(x)的定義域為(-∞,+∞),f^/(x)=-3x²+3=-3(x-1)(x+1)

f_極小(x)=f(-1)=-2,f_極大(x)=f(1)=2,這樣f(x)的圖象大致為

∴-2<a<2

練習(xí)：討論f(x)=e^x(x²+ax+a+1)極值點的個數(shù)（a<0或a>4時有兩個極值；0≤a≤4時極值個數(shù)為0個）

例3、a>0,f(x)=,b為常數(shù)

(1)說明其極值的個數(shù)   (2)若f_極大(x)=1,f_極小(x)=-1,求a

解：(1)f^/(x)=-,分子的判別式△=4(b²+a²)>0, f^/(x)有兩個零點，對應(yīng)的f(x)有兩個極值點

(2)y=,yx²-ax+y-b=0,△=-4y²+4by+a²的兩個零點為-1，1，于是a=2

四、作業(yè)

1、函數(shù)f(x)=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，試確定實數(shù)a,b的值，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間

2、y=f^/(x)的圖象如圖，畫出f(x)的大致圖象

3、a為何值時，函數(shù)f(x)=asinx+sin3x在x=處有極值？它是極大還是極小值？極值是多少？

4、已知b>-1,c>0,函數(shù)f(x)=x+b的圖象與函數(shù)g(x)=x²+bx+c的圖象相切

(1)將c用b表示；(2)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)g(x)在實數(shù)集上有極值點，求c的范圍

5、已知函數(shù)f(x)=4x³-3x²cosθ+cosθ,其中x∈R,0≤θ≤2π

(1)當(dāng)cosθ=0時，判斷函數(shù)f(x)是否有極值；(2)要使f(x)的極小值大于0，求θ范圍

[解答]

1、a=1/3,b=-1/2,增區(qū)間、；減區(qū)間[-1/3，1]

2、

3、f^/(x)=acosx+cos3x,f^/()=0,a=2,為極大值

4、(1)b=-1+2  (2)(0,7-4)∪(7+4,+∞)

5、(1)無；(2)(π/6,π/2)∪(3π/2,11π/6)

§1.3.3 函數(shù)的最大值與最小值

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點]利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法．

[教學(xué)難點]函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系．

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點x₀附近有定義，如果對x₀附近的所有的點，都有f(x)＜f(x₀)，就說f(x₀)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y_極大值=f(x₀)，x₀是極大值點

2.極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x₀附近有定義，如果對x₀附近的所有的點，都有f(x)＞f(x₀).就說f(x₀)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y_極小值=f(x₀)，x₀是極小值點

3、圖中與是極小值，是極大值．函數(shù)在上的最大值是，最小值是．

思考：最值如何求？（一般根據(jù)圖象和單調(diào)性，單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)與極值相聯(lián)系，所以可以用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值）引入標(biāo)題：導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值

問題1.函數(shù)的極值與最值有什么區(qū)別與聯(lián)系？

在閉區(qū)間上圖象不間斷的函數(shù)在上必有最大值與最小值，與極值的區(qū)別有

項目

極值

最值

特例說明

定義范圍

點附近

整個定義域

存在性

未必存在，存在的話也未必惟一

一定存在，而且惟一

常數(shù)函數(shù)，上面的圖象

大小關(guān)系

極大未必不小于極小大

最大一定不小于最小

2、如何根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值？

設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：

⑴求在內(nèi)的極值；（一確二算三列四寫） 

⑵將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值

例1求函數(shù)f(x)=x+sinx在x∈[0,2π]的最值

_{解：f(x)定義域為}[0,2π]，在(0,2π)內(nèi)_f/(x)= +cosx

_{f極大(x)=f()=+,f極小(x)=f()=-,又f(0)=0,f(2π)=π}

_{∴fmax(x)= f(2π)=π,fmin(x)=f(0)=0}

_{練習(xí)1：求f(x)=x+在[,3]上最值}

_{練習(xí)2：求y=x-x3在[0,2]上值域}

例2已知x,y為正實數(shù)，且滿足，求的取值范圍

解：[方法一]設(shè)S=(xy)²=x²y²=x²=(-x⁴+2x³),  0<x<2,S_x^/=-(2x-3),當(dāng)x=,S_極大=，∴0<xy≤

[方法二]原式為(x-1)²+(2y)²=1(x>0,y>0),設(shè)x-1=cost,2y=sint,0<t<π，xy=sint(1+cost)=f(t),f^/(t)=(2cos²t+cost-1)=(cost+1)(2cost-1),0<t<時，f^/(t)>0,f(t)↑；當(dāng)<t<π時，f(t)↓，f_極大(x)=f()=∴0<xy≤

說明：必要時進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，轉(zhuǎn)化過程中注意函數(shù)定義域

例3.設(shè),函數(shù)的最大值為1,最小值為,求常數(shù)a,b

解答：

說明：字母運算一定注意字母的范圍

⑴求在內(nèi)的極值；（一確二算三列四寫） 

⑵將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值

[補充習(xí)題]

1、函數(shù)y=-x²-2x+3在區(qū)間[a,2]上最大值為，則a=_____________

2、函數(shù)y=4x³+3x²-36x+5在上的最大值為___________，最小值為__________

3、函數(shù)f(x)=x³-3ax-a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的范圍是___________

4、實數(shù)x,y滿足x²+y²=2x,求x²y²的取值范圍

5、已知,∈(0,+∞).是否存在實數(shù),使同時滿足下列兩個條件：（1）)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù)；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，說明理由.

6、求函數(shù)f(x)=(0<x<1,a>0,b>0)的最值

[答案]1、-；2、不存在，-28；3、(0,1)；4、[0，]；5、a=b=1;6、最小為(a+b)²,無最大值