[教學(xué)重點(diǎn)]空間向量的概念、空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)；

[教學(xué)難點(diǎn)]空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)。（本節(jié)是課件）

[教學(xué)過(guò)程]：

一、創(chuàng)設(shè)情景

1、平面向量的概念及其運(yùn)算法則；

2、物體的受力情況分析

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1．空間向量的概念：

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量

注：⑴空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量

⑵向量一般用有向線段表示同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量

⑶空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示

2．空間向量的運(yùn)算

定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下（如圖）

運(yùn)算律：

⑴加法交換律：

⑵加法結(jié)合律：

⑶數(shù)乘分配律：

3．平行六面體：

平行四邊形ABCD平移向量到的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，并記作：ABCD－，它的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱。

4．共線向量

與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作．

當(dāng)我們說(shuō)向量、共線（或//）時(shí)，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．

5．共線向量定理及其推論：

共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、（≠），//的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ.

推論：如果為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對(duì)于任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿足等式 ．其中向量叫做直線的方向向量.

例1 如圖，在三棱柱中，M是的中點(diǎn)，

化簡(jiǎn)下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)得到的向量：

（1）;

（2）;

（3）

解：（1）

（2）

（3）

例2、如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E,F分別是的中點(diǎn)，設(shè),試用向量表示和

解：

備用練習(xí)題：O為三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，

已知、、分別為、、

  （1）求；（2）若G為三角形ABC的重心，求

課堂練習(xí)：P71---1,2,3

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、已知平行六面體ABCD-A^/B^/C^/D^/中，點(diǎn)G在對(duì)角線A^/C上且CG:GA^/=x,設(shè)、、分別為、、，則=____________

2、P-ANCD是正四棱錐，O是底面的中心，則式子=中，x=___,y=___

3、_四邊形ABCD是空間四邊形，E、H分別是AB、AD上的點(diǎn)，F(xiàn)、G 分別是CB、CD上的點(diǎn)，且，=，求證：四邊形EFGH是梯形

   4、空間四邊形OABC中，G、H分別是△ABC、△OBC的重心，=、=、=，試用、、表示、

[答案]

1、(++)

2、2，2

3、略

4、=(++),=-

[情況反饋]

3.1.2共面向量定理

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點(diǎn)]共面向量的含義，理解共面向量定理

[教學(xué)難點(diǎn)]利用共面向量定理證明有關(guān)線面平行和點(diǎn)共面的簡(jiǎn)單問(wèn)題

教學(xué)過(guò)程：

一、創(chuàng)設(shè)情景

1、關(guān)于空間向量線性運(yùn)算的理解

如圖：長(zhǎng)方體AC₁中，∥，、、共面，而且=+即其中的一個(gè)向量即可以用其它向量線性表示。

    二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1、 共面向量的定義

一般地，能平移到同一個(gè)平面內(nèi)的向量叫共面向量；

理解：若為不共線且同在平面內(nèi)，則與共面的意義是在內(nèi)或

2、共面向量的判定

平面向量中，向量與非零向量共線的充要條件是，類比到空間向量，即有

    共面向量定理  如果兩個(gè)向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組，使得

這就是說(shuō)，向量可以由不共線的兩個(gè)向量線性表示。

三、數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1 如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點(diǎn)M,N分別在對(duì)角線BD,AE上，且.

求證：MN//平面CDE

       證明：=

    又與不共線

根據(jù)共面向量定理，可知共面。

由于MN不在平面CDE中，所以MN//平面CDE.

例2 設(shè)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，若點(diǎn)P滿足向量關(guān)系（其中x+y+z=1）

試問(wèn)：P、A、B、C四點(diǎn)是否共面？

解：由可以得到

由A,B,C三點(diǎn)不共線，可知與不共線，所以,,共面且具有公共起點(diǎn)A.

從而P,A,B,C四點(diǎn)共面。

    解題總結(jié)：

說(shuō)明1：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y使得：，或?qū)�空間任意一點(diǎn)O有：。

說(shuō)明2：(x+y+z) ,x(-)+y(-)+z(-)=,即：

得到x+y+z=，也就是說(shuō)滿足x+y+z=(x+y+z=1)時(shí)，P、A、B、C共面

課上練習(xí)：教材P74---練習(xí)題

四、回顧總結(jié)：共面向量定理；

作業(yè)：教材P83---7,8,P84---20

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、已知A、B、C三點(diǎn)不共面，對(duì)平面ABC外任意一點(diǎn)O，滿足=2--，問(wèn)點(diǎn)M是否與A、B、C三點(diǎn)共面

2、已知非零向量不共線，如果，求證：A、B、C、D共面。

3、正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為DD₁的中點(diǎn)，P為AA₁的中點(diǎn)，Q∈AC，且AQ：QC=1：2，求證：PQ∥平面A₁BM

4、已知長(zhǎng)方體AC₁中，M為DD₁的中點(diǎn)，N在AC上，且AN：NC=2：1，E為BM的中點(diǎn)，求證A₁、E、N三點(diǎn)共線

[答案]

1、不共面

2、3、4略

[情況反饋]

3.1.3空間向量的基本定理

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點(diǎn)]空間向量的基本定理及其推論

[教學(xué)難點(diǎn)]空間向量的基本定理唯一性的理解

教學(xué)過(guò)程：

一、創(chuàng)設(shè)情景

平面向量基本定理的內(nèi)容及其理解

如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)

于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，

使

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1、空間向量的基本定理

如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使

證明：（存在性）設(shè)不共面，

過(guò)點(diǎn)作

過(guò)點(diǎn)作直線平行于，交平面于點(diǎn)；

在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作直線，分別與直線相交于點(diǎn)，于是，存在三個(gè)實(shí)數(shù)，使

∴    所以

（唯一性）假設(shè)還存在使

∴∴

不妨設(shè)即     ∴

∴共面此與已知矛盾   ∴該表達(dá)式唯一

綜上兩方面，原命題成立

由此定理， 若三向量不共面，那么空間的任一向量都可由線性表示，我們把{}叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量。

空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底

如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量?jī)蓛苫ハ啻怪�，那么這個(gè)基底叫做正交基底，特別地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用表示。

推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使

三、數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1 、如圖，在正方體中，，點(diǎn)E是AB與OD的交點(diǎn),M是OD^/與CE的交點(diǎn)，試分別用向量表示和

解：

例2 如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線，分別是對(duì)邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，用基底向量表示向量

解：

 ∴

3、課堂練習(xí)： 課本練習(xí)76頁(yè)練習(xí)1，2，3

四、回顧總結(jié)：

空間向量的基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使

推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使

五、布置作業(yè)：教材P83---5,6

 [補(bǔ)充習(xí)題]

1、若、與空間任意向量不能構(gòu)成一個(gè)基底，那么、的關(guān)系是_______

2、已知、、是空間一個(gè)基底，設(shè)=-+3+2，=4-6+2，=-3+12+11，求證、、共面

3、正方體AC₁的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在AD₁上，且AM=2MD₁,若在DC₁上存在點(diǎn)N，在BC上存在點(diǎn)E，使MN∥AE，求BE的長(zhǎng)度

4、已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁,P、M為空間任意兩點(diǎn)，若，那么點(diǎn)M一定在哪個(gè)平面內(nèi)，證明你的結(jié)論

5、在空間平移△ABC到△A₁B₁C₁，連接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，=，=，=，M是BC₁的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC₁上，且=2，用基底{，，}表示

[答案]1、共線；2、略；3、；4、BA₁D₁C；   5、=--+

[情況反饋]

3.1.4空間向量的坐標(biāo)表示

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點(diǎn)]空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

[教學(xué)難點(diǎn)]空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

[教學(xué)過(guò)程]

一、創(chuàng)設(shè)情景

1、空間向量的基本定理

練習(xí)：求證空間四邊形對(duì)邊中點(diǎn)連線和空間四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)且互相平分

已知：空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、DB的中點(diǎn)

求證：EF、GH交于一點(diǎn)且互相平分

證明：[方法一]用原來(lái)方法證明EHFG是平行四邊形（略）

[方法二]設(shè)EF、GH中點(diǎn)分別為P₁、P₂(只要證明P₁與P₂重合)

==

==∴P₁與P₂重合∴EF、GH交于一點(diǎn)且互相平分

2、平面向量的坐標(biāo)表示

分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得

把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作

其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的

坐標(biāo)， 特別地，，，

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1、空間直角坐標(biāo)系：

（1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為，

這個(gè)基底叫單位正交基底，用表示；

（2）在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，

以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎�方向建立三條

數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱建

立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量

都叫坐標(biāo)向量．通過(guò)每?jī)蓚�(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)

平面，分別稱為平面，平面，平面。

（3）作空間直角坐標(biāo)系時(shí)，一般使（或），；

（4）在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系規(guī)定立幾中建立的坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系

2、空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：

如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量，設(shè)為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作．

    在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯

一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組

叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記

作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)．

3、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律

（1）若，，

則，

，

，

，

（2）若，，則．

一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。

三、數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1、已知，求

解：；；

練習(xí)：課本78頁(yè)練習(xí)1－6

例2、已知空間三點(diǎn)求下列條件下點(diǎn)D的坐標(biāo)

(1)A、B、C、D四點(diǎn)圍成平行四邊形；(2)四邊形是梯形

解：設(shè)點(diǎn)D(x,y,z)

(1)平行四邊形可以為ABCD、ABDC、ACBD三種情況

ABCD為平行四邊形時(shí)，有為=，(4,-8,2)=(10-x,-y,10-z),D(6,8,8)

ABDC為平行四邊形時(shí)，=，(4,-8,2)=(x-10,y,z-10),D(14,-8,12)

ACBD為平行四邊形時(shí)，=，(-12,3,-9)=(x-2,y+5,z-3),D(-10,-2,-6)

總之，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,8,8)或(14,-8,12)或(-10,-2,-6)

（2）ABCD為梯形時(shí)，和同向且不等，于是λ=且λ>0，λ≠1，(4λ,-8λ,2λ)=(10-x,-y,10-z)，D(10-4λ,8λ,10-2λ) (λ>0，λ≠1)

說(shuō)明：注意說(shuō)法的不同。

三、回顧總結(jié)：空間向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、空間三點(diǎn)A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2)，且A、B、C三點(diǎn)共線，則p=_____,q=____

2、求證=(1,6,-3),=(1,-2,9),=(-4,8,-36)共面

3、設(shè)點(diǎn)C(2a+1,a+1,3)在點(diǎn)P（2，0，0）,A(1,-3,2),B(8,-1,4)確定的平面上，求a的值

4、點(diǎn)P在直線AB上，，A(x₁,y₁,z₁),B(x₂,y₂,z₂)(1) 若P為AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)    (2) 若=λ（λ≠-1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若有點(diǎn)C(x₃,y₃,z₃),ABC構(gòu)成三角形，求其重心G的坐標(biāo)

（解答略）

[答案]

1、5，2；    2、略；    3、；   4、(1)(,,);(2) (,,)；(3)三坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)

[情況反饋]

3.1.5空間向量的數(shù)量積（1）――概念與直接運(yùn)算

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點(diǎn)]空間向量的夾角的概念，掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運(yùn)算律

[教學(xué)難點(diǎn)]用向量的方法解決有關(guān)垂直、夾角和距離

[教學(xué)過(guò)程]

一、創(chuàng)設(shè)情景

平面向量的數(shù)量積的有關(guān)定義及法則復(fù)習(xí)，空間呢？

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1、夾角

定義：是空間兩個(gè)非零向量，過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作，則叫做向量與向量的夾角，記作

規(guī)定：

特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向；如果，那么與垂直，記作。

2、數(shù)量積

（1）設(shè)是空間兩個(gè)非零向量，我們把數(shù)量叫作向量的數(shù)量積，記作，即

＝    

（2）夾角：cos<,>=．

⊥=0（、都不是零向量）

（3）運(yùn)算律

；；

(4)射影的概念：與平面向量類似，在上的射影為||cos<,>

思考：=0嗎？

例1、已知：||=4,||=3,=12,求

（教材P80---例1，解答）

練習(xí)；教材P82---5

例2、已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是矩形，AB=2,AD=3,AA₁=5,∠BAA₁=∠DAA₁=60⁰,求AC₁的長(zhǎng)

(教材P80---例2，解答)

練習(xí)1：求AC₁與BD成角的余弦值。（）

說(shuō)明：注意向量的夾角與直線的夾角不同點(diǎn)

練習(xí)2：所有的棱長(zhǎng)都相等的正四棱錐P-ABCD中，E為PC的中點(diǎn)，求側(cè)棱PA與BE成角的余弦值（）

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都等于1，且兩兩夾角為60⁰，則對(duì)角線AC₁=________________

2、正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是DD₁的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，求證：B₁O⊥平面PAC

3、空間四面體OABC中，M、N、P、Q分別是BC、AC、OA、OB的中點(diǎn)，AB=OC，

(1)求證：PM⊥QN;   (2)求；   (3)在方向上的投影

 [答案]

1、；    3、(2)-a²;(3)-

[情況反饋]

3.1.5空間向量的數(shù)量積（2）----坐標(biāo)運(yùn)算

[教學(xué)目的]

[教學(xué)重點(diǎn)]坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用

[教學(xué)難點(diǎn)]數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

[教學(xué)過(guò)程]

二、新課內(nèi)容：

1、公式推導(dǎo)，得出=a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂

2、特別的，=時(shí)，有

3、若，，則，或稱兩點(diǎn)間的距離公式

4、

三、數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1已知，，求：

（1）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度；

（2）到兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件

解：（1）設(shè)是線段的中點(diǎn)，則．

∴的中點(diǎn)坐標(biāo)是，

．

（2）∵ 點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離相等，

則,

化簡(jiǎn)得：,

所以，到兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件是．

點(diǎn)評(píng)：到兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)構(gòu)成的集合就是線段AB的中垂面，若將點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)向量，發(fā)現(xiàn)與共線。

課上練習(xí)：教材P82---練習(xí)2，3，4

例2、 已知三角形的頂點(diǎn)是，，，試求這個(gè)三角形的面積。

分析：可用公式來(lái)求面積

解：∵，，∴，，，∴，

∴所以，．

練習(xí)：教材P84----19,15

四、回顧總結(jié)：空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式

五、布置作業(yè)

教材P83---P84:12,13,14

 [補(bǔ)充習(xí)題]1、若P(cosx,sinx,2sinx),Q(2cosx,2sinx,1)求||的范圍

2、正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P、Q分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且PQ=，建立如圖的坐標(biāo)系，確定P、Q的位置，使B₁Q⊥D₁P

[答案]1、[1，3]；   2、P、Q分別是BC、CD上的中點(diǎn)