1. 拋物線定義：

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線 定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線

思考1：拋物線定義中，F(xiàn)l,當(dāng)F∈l時(shí)，軌跡是什么？（過(guò)F垂直于l的直線）

思考2：拋物線的離心率是多少？（橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線，橢圓離心率為e∈(0,1)，雙曲線離心率為e∈(1,+∞),拋物線只能為1。到定點(diǎn)距離與到定直線距離的比就是離心率）

問(wèn)題3：怎樣得到拋物線的方程？

2．推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

如圖所示，建立直角坐標(biāo)系系，設(shè)|KF|=（>0）,那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，

設(shè)拋物線上的點(diǎn)M（x,y），則有

化簡(jiǎn)方程得

   方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

（1）它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（,0），它的準(zhǔn)線方程是

p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，簡(jiǎn)稱焦準(zhǔn)距

   （2）一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，，.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下 

圖形

方程

焦點(diǎn)

準(zhǔn)線

   說(shuō)明：如果不考慮p的正負(fù)，則拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式y(tǒng)²=2ax,y²=-2ax

   思考：y=ax²的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程各是什么？（焦點(diǎn)（0，）,準(zhǔn)線x=-）

   練習(xí)：教材P45----練習(xí)題

   例：M為拋物線y²=4x上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，（1）MF=6,求M的坐標(biāo)；(2)若A(2,2),MF+MA最小，求M的坐標(biāo)

   解：(1)設(shè)M(x,y),

[方法一]則，解得M(5,±2)

[方法二]拋物線準(zhǔn)線為x=-1,MF等于M到準(zhǔn)線的距離x+1=6,x=5,代入拋物線方程得M(5,±2)

(2)設(shè)M到準(zhǔn)線距離為d,則MF+MA=d+MA,從而自A向準(zhǔn)線作垂線，與拋物線交點(diǎn)即為點(diǎn)M,M(1,2)

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、若點(diǎn)A是定直線l外一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A且與l相切的圓的圓心的軌跡是_______________

2、點(diǎn)M到點(diǎn)（0，8）的距離比它到直線y＝－7的距離大1，則M點(diǎn)的軌跡方程是________．

3、拋物線y²＝16x上的一P到x軸的距離為12，焦點(diǎn)為F，求PF=____

4、已知拋物線y²＝x上的點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

5、求過(guò)點(diǎn)(t²,t)(t≠0)的拋物線方程

[答案]

1、以A為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線

2、x²=32y(將y=-7向下平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=-8,M到它的距離與到點(diǎn)(0,8)的距離相等)

3、13

4、（，）

5、x²=t³y或y²=x

[教后感想與作業(yè)情況]

2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點(diǎn)]拋物線的幾何性質(zhì)。

[教學(xué)難點(diǎn)]拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

教學(xué)過(guò)程：

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究拋物線的幾何性質(zhì)

1、范圍：x≥0

2、對(duì)稱性

拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱.我們把拋物線的對(duì)稱軸叫拋物線的軸.

3、頂點(diǎn)

拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫拋物線的頂點(diǎn).即坐標(biāo)原點(diǎn).

4、拋物線的幾何性質(zhì)歸納

標(biāo)準(zhǔn)方程

圖  形

焦點(diǎn)坐標(biāo)

準(zhǔn)線方程

開口方向

向右

向左

向上

向下

對(duì)稱軸

x軸

y軸

頂點(diǎn)

坐標(biāo)原點(diǎn)

觀察發(fā)現(xiàn)1：拋物線的對(duì)稱軸與其標(biāo)準(zhǔn)方程有什么聯(lián)系？（正好是標(biāo)準(zhǔn)方程中的一次項(xiàng)）

2：拋物線中，過(guò)焦點(diǎn)而垂直于軸直線與拋物線兩交點(diǎn)的線段稱拋物線的通徑，其長(zhǎng)為多少？（2p）

3、拋物線有無(wú)漸近線？（無(wú)，當(dāng)x的值增大時(shí),也增大,這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸.(但應(yīng)讓學(xué)生注意與雙曲線一支的區(qū)別,無(wú)漸近線).

三、數(shù)學(xué)運(yùn)用

課堂練習(xí)：課本47頁(yè)練習(xí)1－3

例1、 汽車前燈的反光曲面與軸截面的交線為拋物線，燈口直徑為197mm，反光曲面的頂點(diǎn)到燈口的距離是69mm，由拋物線的性質(zhì)可知，當(dāng)燈泡安裝在拋物線的焦點(diǎn)處時(shí)，經(jīng)反光曲面反射后的光線是平行光線，為了獲得平行光，應(yīng)怎樣安裝燈泡？（精確到1mm）

解：如圖，在車燈的一個(gè)軸截面上建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，燈應(yīng)安裝在焦點(diǎn)F處。

在軸上取一點(diǎn)C，使OC=69cm，過(guò)C作x軸的垂線，交拋物線與A、B兩點(diǎn)，AB就是燈口的直徑，即AB=197，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，解得，它得焦點(diǎn)坐標(biāo)約為。因此燈泡應(yīng)該安裝在距頂點(diǎn)35mm處。

例2、正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上,求這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng).

分析:觀察圖正三角形及拋物線都是軸對(duì)稱圖形,如果能證明x軸是它們的公共的對(duì)稱軸,則容易求出三角形的邊長(zhǎng).

解：如圖,設(shè)正三角形OAB的頂點(diǎn)A、B在拋物線上,且坐標(biāo)分別為,則：

,所以.

由此可得,,即線段AB關(guān)于x軸對(duì)稱,因?yàn)?i>x軸垂直于AB,且

∠Aox=30°,所以.

說(shuō)明:這個(gè)題目對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),求邊長(zhǎng)不困難,但是他們往往直觀上承認(rèn)拋物線與三角形的對(duì)稱軸是公共的,而忽略了它的證明.教學(xué)時(shí), 要提醒學(xué)生注意這一點(diǎn)。

例3、已知定點(diǎn)，試在拋物線上找一點(diǎn)N，求MN的最小值，并求相應(yīng)的點(diǎn)N的坐標(biāo)

解： 設(shè)，則,＝x₁²-2(a-p)x₁+a²

（1）       當(dāng)即時(shí)，，取最小值，此時(shí)

（2）       當(dāng)即時(shí)，，取最小值，此時(shí)

MN_min=

   [補(bǔ)充習(xí)題]

1、點(diǎn)(x,y)在拋物線y²=4x上，則z=x²++3的最小值是_______，到直線2x-y-4=0距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)為_________________

2、已知拋物線的頂點(diǎn)為橢圓=1（a>b>0）的中心，拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的離心率e=,有拋物線與橢圓交于點(diǎn)M(,-)，求橢圓與拋物線的方程

3、已知點(diǎn)F為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A、B是拋物線上兩點(diǎn)，三角形AFB是正三角形，求該三角形的邊長(zhǎng)

[答案]

1、3；(,±1)

2、+=1，y²=4x

3、8±4

[教后感想與作業(yè)反饋]

                        2.4.2（2）拋物線性質(zhì)的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)重點(diǎn)

會(huì)利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題；

教學(xué)難點(diǎn)

分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)。

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)內(nèi)容

一、復(fù)習(xí)引入

拋物線的幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、開口方向、通徑）

二、數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1．已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，拋物線上的點(diǎn)(x₀，-8)到焦點(diǎn)的距離等于17，求拋物線方程.

分析  設(shè)方程為y²=2px(p＞0)或y²=-2px(p＞0)

則  x₀+=17或-x₀=17       即  x₀=17-或x₀=-17

將(17-，-8)代入y²=2px      解得  p=2或p=32

將(-17，-8)代入y²=-2px     解得  p=2或p=32

∴所求拋物線方程為y²=±4x或y²=±64x.

說(shuō)明：注意解題過(guò)程中用待定系數(shù)法的步驟：設(shè)――算――回

例2．  已知拋物線y²=2px上兩點(diǎn)A、B，BC⊥x軸交拋物線于C，AC交x軸于E，BA延長(zhǎng)交x軸于D，求證：O為DE中點(diǎn).

分析  只需證出D、E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)即可，設(shè)A，B   ，設(shè)D，E,由A,B,D三點(diǎn)共線得（斜率相等或向量共線）：x_D=x₁-=-=-=，同理，由A,C,E共線得： （以-y₂代替y₁）     即O為DE中點(diǎn).

說(shuō)明：計(jì)算中注意先化簡(jiǎn)后求值，同理時(shí)注意其代換規(guī)律

例3．       已知直線L過(guò)點(diǎn)A（）且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線L的方程。

分析   設(shè)直線方程為：代入拋物線方程化簡(jiǎn)得：

（1）       當(dāng)時(shí)，方程組有且只有一解，所以直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；

  直線方程為：

（2）       當(dāng)時(shí)，由得或直線方程為：或

總之，直線方程為y-1=0或2x+2y+1=0或2x-6y+0=0

說(shuō)明：直線l與拋物線C:(  )²=±2p(    )交點(diǎn)，看其公共方程mx²+nx+q=0或my²+ny+q=0,則△=n²-4mq,于是：l與C相交于兩點(diǎn)；相交于一點(diǎn)m=0l與C的對(duì)稱軸重合或平行；相切于一點(diǎn)；相離

例4．       過(guò)拋物線的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦OA，OB，證明：AB與拋物線的對(duì)稱軸交于定點(diǎn)。

分析  可分別設(shè)OA,OB所在的直線方程為：和（）由 解得A ，同理可得B（以-代替其中的k）,直線AB的方程：=，另y=0解得與X軸交于一定點(diǎn)

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、拋物線y²=6x,過(guò)點(diǎn)P(4,1)引一弦，使它恰好在點(diǎn)P平分，則此弦所在的直線方程為________

2、直線y=x+b與拋物線y²=-3x交于A、B兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，則b=__________

3、拋物線x²=4y,過(guò)焦點(diǎn)F傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)為__________

4、拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，過(guò)焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)為16，則拋物線方程為_______

5、設(shè)O為原點(diǎn)，拋物線y²=2x與過(guò)焦點(diǎn)的直線交于A、B兩點(diǎn)，求

6、拋物線y²=2px(p>0),點(diǎn)P(1,2)、A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)都在拋物線上（1）求拋物線方程；（2）當(dāng)PA、PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y₁+y₂的值及直線AB的斜率

[答案]

1、3x-y-11=0

2、1/2

3、8

4、x²=±16y

5、-

6、(1)y²=4x;   (2)-1

[教后感想與作業(yè)情況]