1993年全國(guó)高考數(shù)學(xué)科命題組就指出：“要考查一些開放問題”，國(guó)家教委將“數(shù)學(xué)開放題”列為九五重點(diǎn)科研項(xiàng)目．相對(duì)于傳統(tǒng)的封閉題嚴(yán)密完整，開放題在構(gòu)成問題的要素――條件、策略、結(jié)論中有一些是不明確的（分別稱為條件開放題、策略開放題、結(jié)論開放題）．當(dāng)前數(shù)學(xué)開放題之所以引起我們中學(xué)數(shù)學(xué)教師的關(guān)注，我以為一是以實(shí)踐能力、創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)為核心的素質(zhì)教育的深入的需要．?dāng)?shù)學(xué)開放題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性（結(jié)論開放）、聚斂性(條件開放)、創(chuàng)造性（策略開放），不失為好載體．二是高考命題的導(dǎo)向作用，數(shù)學(xué)開放題走進(jìn)高考試卷的需要．三是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的需要．我們的數(shù)學(xué)教育不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)繼續(xù)深造所必需的數(shù)學(xué)基本知識(shí)，基本方法，基本技能，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題．

為了滿足上述三方面的需要，必需將開放題引進(jìn)課堂教學(xué)．本文談對(duì)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的一些認(rèn)識(shí)，不當(dāng)之處，謹(jǐn)請(qǐng)多多指教．

１、砸破籬笆，讓學(xué)生展開想象的翅膀

青少年時(shí)代是一生中最富有活力、充滿想象的時(shí)代．開放題往往形式活潑，供學(xué)生思考的角度眾多，思維活動(dòng)的空間寬闊，正好給青少年學(xué)生提供了一個(gè)展翅的舞臺(tái)．而封閉題往往形式單一，要求學(xué)生在特定的范圍內(nèi)進(jìn)行定向思維．長(zhǎng)期作這類機(jī)械式的思維訓(xùn)練，學(xué)生的思維中將立起一道道難以逾越的籬笆．這樣的教學(xué)活動(dòng)，不僅沒有促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步開放自己，反而束縛了他們的思想．通過開放式教學(xué)，可以讓學(xué)生砸破這些禁錮思想的籬笆，展開想象的翅膀，自由地發(fā)揮自身才華．

根據(jù)我校搬遷前曾有一塊操場(chǎng)需要改造這一實(shí)際，我們編擬：

開放題１ 我校準(zhǔn)備在長(zhǎng)120米，寬100米的空地上建造操場(chǎng)，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)操場(chǎng)形狀，思考能否造出滿足以下條件的環(huán)形操場(chǎng)．

①每道跑道寬1.22米；②跑道用直線或圓弧吻接；③跑道共八道且內(nèi)圈為300米．

本題有學(xué)生認(rèn)為不能造出滿足要求的操場(chǎng)，他認(rèn)為操場(chǎng)應(yīng)由兩個(gè)半圓和一個(gè)矩形構(gòu)成（如圖１），經(jīng)計(jì)算，跑道內(nèi)圈無論如何達(dá)不到300米的要求．也有學(xué)生認(rèn)為能造出滿足要求的操場(chǎng)，可將操場(chǎng)設(shè)計(jì)成如圖２，由四個(gè)四分之一圓弧及五個(gè)矩形構(gòu)成．還有學(xué)生將操場(chǎng)設(shè)計(jì)成如圖３，彎道部分由三段圓弧組成，他們認(rèn)為這樣才是操場(chǎng)．更有學(xué)生將操場(chǎng)設(shè)計(jì)成花園式（如圖４），跑道全部由圓弧組成，他們認(rèn)為這樣的操場(chǎng)更美．

開放題2  用一塊長(zhǎng)2米，寬1.6米的玻璃加工出橢圓形鏡子（鏡面為完整的一體）．①要使鏡面面積最大，該如何設(shè)計(jì)加工鏡子(注S_橢=)．

本題主要考察學(xué)生如何畫出橢圓，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力．可以用硬紙板代替玻璃，讓學(xué)生親手畫一畫，動(dòng)手截一下．學(xué)生至少可從以下幾個(gè)角度去思考:①建立坐標(biāo)系，寫出方程描點(diǎn)；②確定焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，由第一定義得到；③用解析幾何課本P116橢圓參數(shù)方程的定義；④用橢圓規(guī)工作原理(P124)．

2、傳授定式，幫學(xué)生克服畏懼的心理

開放題引入課堂教學(xué)之初，學(xué)生的表現(xiàn)往往士為一是覺得好奇，感到有趣；二是感到畏懼，不知從何處入手．這就要求我們教師介紹一些典型開放題的求解思路，幫學(xué)生建立科學(xué)的思維定式．

⑴尋找充分條件型開放題．

開放題3　在直四棱柱中（如圖５），當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件       時(shí)，有（填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形1998高考卷第18題）．

這類題型，只需找到能使結(jié)論成立的一個(gè)充分條件即可，而不必去尋找結(jié)論成立的充要條件．這類問題的要求并不高，可考慮特殊值或極端情形，從而找出充分條件．這一點(diǎn)，學(xué)生一開始往往不習(xí)慣．

⑵“是否存在”型開放題．

開放題4  設(shè){}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,是其前n項(xiàng)和.是否存在常數(shù)Ｃ>0,使得成立？并證明你的結(jié)論（1995高考卷第25題）．

這類開放題的答案，不是肯定就是否定，開放度較�。�若“存在”，就是具有適合條件的某種數(shù)學(xué)對(duì)象，無論用什么方法，只要找出一個(gè)就說明存在．若“不存在”，一般需要有嚴(yán)格的推理論證．故這類“是否存在”型開放題的解決思路一般為，先假設(shè)存在滿足條件的數(shù)學(xué)對(duì)象，如果找出矛盾，說明假設(shè)不成立，進(jìn)而否定假設(shè)，如果經(jīng)過嚴(yán)格推理，沒有找到矛盾，說明確實(shí)存在，找出滿足條件的一個(gè)對(duì)象即可．

⑶猜想型開放題．

開放題5  已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列,b₁＋b₂＋……＋b_ｎ＝145， b₁=1．①求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n；②設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n= 其中a＞0且a≠1），s_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，試比較s_n與的大小(1998高考理科第25題)．

解答這類開放題，要求學(xué)生學(xué)會(huì)猜想．牛頓早就說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)．”美國(guó)數(shù)學(xué)教育家彼利亞在1953年也大聲疾呼：“讓我們教猜測(cè)吧！”可我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中，往往過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性，忽視實(shí)驗(yàn)猜想等合情推理能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)枯燥、無趣、難學(xué)．

我們應(yīng)該教會(huì)學(xué)生如何猜想．教學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、觀察，進(jìn)行猜想，教學(xué)生通過對(duì)特例（特殊值）的分析、歸納, 猜想一般的規(guī)律（共性），教學(xué)生通過比較、概括得到猜想，教學(xué)生對(duì)具體問題的特殊解從宏觀上作出估算．先有猜想，再作嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明．這樣“既教猜想，又教證明”，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)也是生動(dòng)活潑，充滿激情，并富有哲理的一門學(xué)科．不至于學(xué)生說“過了幾十年，還做學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的惡夢(mèng)”（徐利治語，見文５）．

３、開展實(shí)驗(yàn)，用計(jì)算機(jī)輔助開放式教學(xué)

利用計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算功能和作圖功能輔助開放式教學(xué)，有利于改善課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；有利于“觀察（實(shí)驗(yàn)）、猜想、證明（否定）”這一思想方法的運(yùn)用，快捷方便地驗(yàn)證學(xué)生自己作出的猜想，從而充分利用課堂活動(dòng)的時(shí)間．

開放題6 （荒島尋寶）從前，有個(gè)年輕人在曾祖父的遺物中發(fā)現(xiàn)一張破羊皮紙，上面指明了一項(xiàng)寶藏，內(nèi)容是這樣的：

“在北緯＊＊，西經(jīng)＊＊，有一座荒島，島的北岸有一片草地，草地上有一棵橡樹，一棵松樹和一座絞架．從絞架走到橡樹，并記住所走的步數(shù)，到了橡樹向左拐一個(gè)直角，再走相同的步數(shù)并在那里打個(gè)樁．然后回到絞架再朝松樹走去，同時(shí)記住所走的步數(shù)，到了松樹向右拐一個(gè)直角，再走相同的步數(shù)并在那里也打個(gè)樁，在兩樁連線的正中挖掘，就可獲得寶藏．”

年輕人欣喜萬分，租船來到海島上，找到了那片草地，也找到了橡樹和松樹，但絞架卻不見了．長(zhǎng)期的日曬雨淋，一切痕跡也不復(fù)存在．年輕人無從下手，只好空手而返．同學(xué)們，你能用數(shù)學(xué)方法幫助這位年輕人嗎？

本題，學(xué)生往往不知從何處入手．如果我們利用數(shù)學(xué)教學(xué)軟件幾何畫板制作圖６（設(shè)Ａ，Ｂ兩點(diǎn)為橡樹和松樹所在地，假設(shè)Ｃ為絞架所在地．依題意找到打樁處Ｄ，Ｅ）．不妨先讓我們做一個(gè)小實(shí)驗(yàn)．拖動(dòng)點(diǎn)C，我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)，無論C在何處，DE中點(diǎn)H是不動(dòng)的．我們問：這說明什么？寶藏是否就在中點(diǎn)Ｈ處？

這樣，學(xué)生將會(huì)積極地思索，不難從解析幾何，復(fù)數(shù)、向量、平面幾何角度尋求具體的解決方法．

學(xué)習(xí)“過拋物線 的頂點(diǎn)Ｏ作二條互相垂直的弦OA,OB( ∠AOB = 9０°)則弦AB 恒過定點(diǎn)(2P ，O ) ”之后,引導(dǎo)學(xué)生探討：

開放題7  過拋物線 上任一點(diǎn)C(， ) 作二條互相垂直的弦CA 、CB(∠ACB = 9０°) 則弦AB有什么特性? 利用幾何畫板設(shè)計(jì)如圖 ；

 探討過程為 ：

1 、雙擊移動(dòng)按紐 “ 移 動(dòng)C→O ” 顯示直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，弦AB 恒過定點(diǎn)(2P ，0)  .

2、直角頂點(diǎn)移回C 處，對(duì)AB作軌跡跟蹤，發(fā)現(xiàn)弦AB過一定點(diǎn).

3、作出該定點(diǎn)D并顯示該點(diǎn)坐標(biāo).

4、尋找關(guān)系：⑴ 顯示C及點(diǎn)C關(guān)于X軸對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo)，我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相同.⑵ 作出線段ED并顯示長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn) ED = 2P.

5 、改變點(diǎn)C 的位置，或拖拉焦點(diǎn)F,變化P 的長(zhǎng)度再作上述觀察.確認(rèn)我們的結(jié)論正確,從而猜想弦AB恒過定點(diǎn)D(，)  .

6 、用代數(shù)方法證明以上猜想.

參考資料

1、戴再平：數(shù)學(xué)習(xí)題理論，上海教育出版社．1991.4

2、張奠宙：數(shù)學(xué)教育的全球化，開放化、信息化、數(shù)學(xué)教育．1998.5

3、王珂：從高考的新題型―開放題引起的思考，數(shù)學(xué)通報(bào)． 1999.12

４、陳錫龍:設(shè)計(jì)開放性的數(shù)學(xué)教學(xué)初探,中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考．1999.10

５、“現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的影響”數(shù)學(xué)家座談會(huì)紀(jì)要            數(shù)學(xué)通報(bào)． 1999,11.