1．（上海卷13） 給定空間中的直線l及平面a，條件“直線l與平面a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面a垂直”的（ C  ）條件

A．充要     B．充分非必要     C．必要非充分      D．既非充分又非必要

2.（全國(guó)一11）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ C   ）

A．       B．     C．        D．

3.（全國(guó)二10）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值為（  C  ）

A．       B．     C．     D．

4.（全國(guó)二12）已知球的半徑為2，相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓．若兩圓的公共弦長(zhǎng)為2，則兩圓的圓心距等于（  C  ）

A．1        B．         C．          D．2

5.（北京卷8）如圖，動(dòng)點(diǎn)在正方體的對(duì)角線上．過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于．設(shè)，，則函數(shù)的圖象大致是（  B ）

7.（四川卷８）設(shè)是球心的半徑上的兩點(diǎn)，且，分別過(guò)作垂線于的面截球得三個(gè)圓，則這三個(gè)圓的面積之比為：( D )

（Ａ）　�。ǎ拢�　　（Ｃ）　�。ǎ模�

8.（四川卷９）設(shè)直線平面，過(guò)平面外一點(diǎn)與都成角的直線有且只有：( B )

（Ａ）１條　�。ǎ拢�２條　�。ǎ茫�３條　�。ǎ模�４條

9.（天津卷5）設(shè)是兩條直線，是兩個(gè)平面，則的一個(gè)充分條件是C

（A）  　　（B） 

 （C）   　 （D）

10.（安徽卷4）．已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（D ）

A．          B． 

C．         D．

11.（山東卷6）右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是D

(A)9π　　　　　　�。˙）10π

(C)11π              (D)12π

12.（江西卷10）連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦。半徑為4的球的兩條弦、的長(zhǎng)度分別等于、，、分別為、的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有下列四個(gè)命題：

①弦、可能相交于點(diǎn)         ②弦、可能相交于點(diǎn)

③的最大值為5                    ④的最小值為1

其中真命題的個(gè)數(shù)為C

A．1個(gè)     B．2個(gè)       C．3個(gè)       D．4個(gè)

13.（湖北卷3）用與球心距離為的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為B

A.           B.           C.           D.

14，（湖南卷5）設(shè)有直線m、n和平面、.下列四個(gè)命題中，正確的是(   D   )

A.若m∥,n∥,則m∥n

B.若m,n,m∥,n∥,則∥

C.若，m,則m

D.若，m，m,則m∥ 

15.（湖南卷9）長(zhǎng)方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的8個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，且AB=2,AD=,AA₁=1,則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是(  C    )

A.2        B.     C.     D.

16.（陜西卷9）如圖，到的距離分別是和，與所成的角分別是和，在內(nèi)的射影分別是和，若，則（ D   ）

A．    B．

C．    D．

17.（陜西卷14）長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)都在球的球面上，其中．兩點(diǎn)的球面距離記為，兩點(diǎn)的球面距離記為，則的值為        ．

18.（重慶卷 9)如解（9）圖，體積為V的大球內(nèi)有4個(gè)小球，每個(gè)小球的球面過(guò)大球球心且與大球球面有且只有一個(gè)交點(diǎn)，4個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個(gè)頂點(diǎn).V₁為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，V₂為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關(guān)系中正確的是D

（A）V₁=                          (B) V₂=

（C）V₁> V₂                         （D）V₁< V₂

19.（福建卷6)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2,AA₁=1,則BC₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為D

A.                  B.            

C.                 D.

20.（廣東卷5）將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示分別是三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ A ）

21.（遼寧卷11）在正方體ABCDA₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為棱AA₁，CC₁的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A₁D₁，EF，CD都相交的直線（  D  ）

A．不存在       B．有且只有兩條     C．有且只有三條     D．有無(wú)數(shù)條

22.（海南卷12）某幾何體的一條棱長(zhǎng)為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段，則a + b的最大值為（   C ）

A.             B.         C. 4                D.

23.（海南卷15）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積為 ______

1.（天津卷13）若一個(gè)球的體積為，則它的表面積為_(kāi)_______________．12

2.（全國(guó)一16）等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點(diǎn)，則所成角的余弦值等于          ．

3.（全國(guó)二16）平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊分別平行，類(lèi)似地，寫(xiě)出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件：

充要條件①                                               ；

充要條件②                                                ．

（寫(xiě)出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件）（兩組相對(duì)側(cè)面分別平行；一組相對(duì)側(cè)面平行且全等；對(duì)角線交于一點(diǎn)；底面是平行四邊形．注：上面給出了四個(gè)充要條件．如果考生寫(xiě)出其他正確答案，同樣給分．）

4.（四川卷15）已知正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為，且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于________________。

5.（安徽卷16）已知在同一個(gè)球面上,若,則兩點(diǎn)間的球面距離是             

6.（江西卷16）如圖1，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過(guò)正四棱錐的頂點(diǎn)P。如果將容器倒置，水面也恰好過(guò)點(diǎn)（圖2）。有下列四個(gè)命題：

A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半

B．將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過(guò)點(diǎn)

C．任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)

D．若往容器內(nèi)再注入升水，則容器恰好能裝滿

其中真命題的代號(hào)是：      B,D        （寫(xiě)出所有真命題的代號(hào)）．

7.（福建卷15）若三棱錐的三個(gè)側(cè)圓兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是　　　　. 9

8.（浙江卷14）如圖，已知球O點(diǎn)面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則球O點(diǎn)體積等于___________。

9.（遼寧卷14）在體積為的球的表面上有A，B，C三點(diǎn)，AB=1，BC=，A，C兩點(diǎn)的球面距離為，則球心到平面ABC的距離為_(kāi)________．

1.（全國(guó)一18）（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無(wú)效）

四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，，，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大�。�

解：（1）取中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，

，，

又面面，面，

．

，

，，即，

面，．

（2）在面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為．

，，面，，

則即為所求二面角的平面角．

，，，

，則，

，即二面角的大小．

2.（全國(guó)二19）（本小題滿分12分）

如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)在上且．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大�。�

解法一：

依題設(shè)知，．

（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，則．

由三垂線定理知，．???????????????????????? 3分

在平面內(nèi)，連結(jié)交于點(diǎn)，

由于，

故，，

與互余．

于是．

與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，

所以平面．??????????????????????????? 6分

（Ⅱ）作，垂足為，連結(jié)．由三垂線定理知，

故是二面角的平面角．?????????????????? 8分

，

，．

，．

又，．

．

所以二面角的大小為．???????????????? 12分

解法二：

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，

建立如圖所示直角坐標(biāo)系．

依題設(shè)，．

，

．??????????????????????? 3分

（Ⅰ）因?yàn)?sub>，，

故，．

又，

所以平面．??????????????????????????? 6分

（Ⅱ）設(shè)向量是平面的法向量，則

，．

故，．

令，則，，．????????????????? 9分

等于二面角的平面角，

．

所以二面角的大小為．???????????????? 12分

3．（北京卷16）如圖，在三棱錐中，，，，．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的大�。�

（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

解法一：

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．

，

．

，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ），，

．

又，

．

又，即，且，

平面．

取中點(diǎn)．連結(jié)．

，．

是在平面內(nèi)的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．

二面角的大小為．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

平面平面．

過(guò)作，垂足為．

平面平面，

平面．

的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離．

由（Ⅰ）知，又，且，

平面．

平面，

．

在中，，，

．

．

點(diǎn)到平面的距離為．

解法二：

（Ⅰ），，

．

又，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．

則．

設(shè)．

，

，．

取中點(diǎn)，連結(jié)．

，，

，．

是二面角的平面角．

，，，

．

二面角的大小為．

（Ⅲ），

在平面內(nèi)的射影為正的中心，且的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離．

如（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系．

，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

．

點(diǎn)到平面的距離為．

4.（四川卷19）．（本小題滿分12分）

  如，平面平面，四邊形與都是直角梯形，

，

（Ⅰ）證明：四點(diǎn)共面；

（Ⅱ）設(shè)，求二面角的大�。�

【解1】：（Ⅰ）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由得

延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于

同理可得

故，即與重合

因此直線相交于點(diǎn)，即四點(diǎn)共面。

（Ⅱ）設(shè)，則，

取中點(diǎn)，則，又由已知得，平面

故，與平面內(nèi)兩相交直線都垂直。

所以平面，作，垂足為，連結(jié)

由三垂線定理知為二面角的平面角。

故

所以二面角的大小

【解2】：由平面平面，，得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系

（Ⅰ）設(shè)，則

故，從而由點(diǎn)，得

故四點(diǎn)共面

（Ⅱ）設(shè)，則，

在上取點(diǎn)，使，則

從而

又

在上取點(diǎn)，使，則

從而

故與的夾角等于二面角的平面角，

所以二面角的大小

天津卷（19）（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知．

（Ⅰ）證明平面；

（Ⅱ）求異面直線與所成的角的大�。�

（Ⅲ）求二面角的大�。�

（19）本小題主要考查直線和平面垂直，異面直線所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力．滿分12分．

（Ⅰ）證明：在中，由題設(shè)可得

于是.在矩形中，.又，

所以平面．

（Ⅱ）解：由題設(shè)，，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角.

在中，由余弦定理得

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，故．

所以異面直線與所成的角的大小為．

（Ⅲ）解：過(guò)點(diǎn)P做于H，過(guò)點(diǎn)H做于E，連結(jié)PE

因?yàn)?sub>平面，平面，所以.又，

因而平面，故HE為PE再平面ABCD內(nèi)的射影.由三垂線定理可知，

，從而是二面角的平面角。

由題設(shè)可得，

于是再中，

所以二面角的大小為．

安徽卷（18）．（本小題滿分12分

如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)

（Ⅰ）證明：直線；

（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大��；

（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。

方法一（綜合法）

  （1）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE

又

  （2）

       為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）

          作連接

         ，

         所以 與所成角的大小為

     （3）點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過(guò)點(diǎn)A作

 于點(diǎn)Q，

        又 ,線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離

         ，

         ，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為

方法二(向量法)

作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系

,

(1)

設(shè)平面OCD的法向量為,則

即

取,解得

(2)設(shè)與所成的角為,

   , 與所成角的大小為

(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值,

       由 , 得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為

山東卷(20)(本小題滿分12分)

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E―AF―C的余弦值.

（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形.

因?yàn)?nbsp;     E為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC.

     又   BC∥AD，因此AE⊥AD.

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

而    PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.

所以 AE⊥PD.

（Ⅱ）解：設(shè)AB=2，H為PD上任意一點(diǎn)，連接AH，EH.

由（Ⅰ）知   AE⊥平面PAD，

則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，

所以  當(dāng)AH最短時(shí)，∠EHA最大，

即     當(dāng)AH⊥PD時(shí)，∠EHA最大.

此時(shí)    tan∠EHA=

因此   AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，

所以    PA=2.

解法一：因?yàn)?nbsp;  PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

        所以   平面PAC⊥平面ABCD.

        過(guò)E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，

        過(guò)O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，

       在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=,

       又F是PC的中點(diǎn)，在Rt△ASO中，SO=AO?sin45°=,

       又    

       在Rt△ESO中，cos∠ESO=

       即所求二面角的余弦值為

解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以

E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以

A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（），

所以    

設(shè)平面AEF的一法向量為

則      因此

取

因?yàn)? BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以   BD⊥平面AFC，

故     為平面AFC的一法向量.

又     =（-），

所以  cos＜m, ＞=

因?yàn)?nbsp;  二面角E-AF-C為銳角，

所以所求二面角的余弦值為

江蘇卷16．在四面體ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分別是AB,BD 的中點(diǎn)，

求證：（Ⅰ）直線EF ∥面ACD ；

（Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．

【解析】本小題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定．

（Ⅰ）∵ E,F 分別是AB,BD 的中點(diǎn)，

∴EF 是△ABD 的中位線，∴EF∥AD，

∵EF面ACD ，AD 面ACD ，∴直線EF∥面ACD ．

（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD.

∵CB=CD, F 是BD的中點(diǎn)，∴CF⊥BD.

又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．

江西卷．解 ：（1）證明：依題設(shè)，是的中位線，所以∥，

則∥平面，所以∥。

又是的中點(diǎn)，所以⊥，則⊥。

因?yàn)?sub>⊥，⊥，

所以⊥面，則⊥，

因此⊥面。            

（2）作⊥于，連。因?yàn)?sub>⊥平面，

根據(jù)三垂線定理知，⊥，

就是二面角的平面角。

作⊥于，則∥，則是的中點(diǎn)，則。

設(shè)，由得，，解得，

在中，，則，。

所以，故二面角為。

解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

所以

所以

所以平面

由∥得∥，故：平面

(2)由已知設(shè)

則

由與共線得:存在有得

同理:

設(shè)是平面的一個(gè)法向量,

則令得 

又是平面的一個(gè)法量

所以二面角的大小為

（3）由（2）知，，，平面的一個(gè)法向量為。

則。

則點(diǎn)到平面的距離為

湖北卷18.（本小題滿分12分）

如圖，在直三棱柱中，平面側(cè)面.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明.

18.本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角和線面關(guān)系等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理能力.（滿分12分）

（Ⅰ）證明：如右圖，過(guò)點(diǎn)A在平面A₁ABB₁內(nèi)作

AD⊥A₁B于D，則

由平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁,且平面A₁BC側(cè)面A₁ABB₁=A₁B,得

AD⊥平面A₁BC,又BC平面A₁BC，

所以AD⊥BC.

因?yàn)槿�棱柱ABC―A₁B₁C₁是直三棱柱，

則AA₁⊥底面ABC，

所以AA₁⊥BC.

又AA₁AD=A,從而B(niǎo)C⊥側(cè)面A₁ABB₁，

又AB側(cè)面A₁ABB₁，故AB⊥BC.

（Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知是直線AC與平面A₁BC所成的角，

是二面角A₁―BC―A的平面角，即

于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，

由AB＜AC，得又所以

解法2：由（Ⅰ）知，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC、BA、BB₁所在的直線分

別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA₁=a,AC=b,

AB=c,則 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是

設(shè)平面A₁BC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，則

由得

可取n=(0,-a,c)，于是與n的夾角為銳角，則與互為余角.

所以

于是由c＜b，得

即又所以

湖南卷17.（本小題滿分12分）

    如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

   （Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.

解: 解法一（Ⅰ）如圖所示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，

△BCD是等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD,又AB∥CD,

所以BE⊥AB.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，平面ABCD，所以

PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

（Ⅱ）延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知

平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.

在Rt△ABF中，因?yàn)椤螧AF＝60°，

所以，AF=2AB=2=AP.

在等腰Rt△PAF中，取PF的中點(diǎn)G，連接AG.

則AG⊥PF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，

PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.

在等腰Rt△PAF中，

在Rt△PAB中，

所以，在Rt△AHG中，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是

解法二: 如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（1，0，0），

P（0，0，2）,

（Ⅰ）因?yàn)?sub>，

平面PAB的一個(gè)法向量是，

所以共線.從而B(niǎo)E⊥平面PAB.

又因?yàn)?sub>平面PBE，

故平面PBE⊥平面PAB.

   (Ⅱ)易知  

       設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量，則由得

所以

      設(shè)是平面PAD的一個(gè)法向量，則由得

所以故可取

      于是，

      故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是

陜西卷19．（本小題滿分12分）

三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，，平面，，，，，．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

解法一：（Ⅰ）平面平面，

．在中，，

，，又，

，，即．

又，平面，

平面，平面平面．

（Ⅱ）如圖，作交于點(diǎn)，連接，

由已知得平面．

是在面內(nèi)的射影．

由三垂線定理知，

為二面角的平面角．

過(guò)作交于點(diǎn)，

則，，

．

在中，．

在中，．

，

即二面角為．

解法二：（Ⅰ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

，．

點(diǎn)坐標(biāo)為．

，．

，，，，又，

平面，又平面，平面平面．

（Ⅱ）平面，取為平面的法向量，

設(shè)平面的法向量為，則．

，

如圖，可取，則，

，

即二面角為．

重慶卷（19）（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問(wèn)6分，（Ⅱ）小問(wèn)7分.）

如題（19）圖，在中，B=,AC=,D、E兩點(diǎn)分別在AB、AC上.使,DE=3.現(xiàn)將沿DE折成直二角角，求：

（Ⅰ）異面直線AD與BC的距離；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函數(shù)表示）.

　解法一：

　�。á瘢┰诖穑�19）圖1中，因，故BE∥BC.又因B＝90°，從而

AD⊥DE.在第（19）圖2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，從而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB為異面直線AD與BC的公垂線.

下求DB之長(zhǎng).在答（19）圖1中，由，得

又已知DE=3,從而

因

（Ⅱ）在第（19）圖2中，過(guò)D作DF⊥CE,交CE的延長(zhǎng)線于F，連接AF.由（1）知，

AD⊥底面DBCE,由三垂線定理知AF⊥FC,故∠AFD為二面角A-BC-B的平面

角.

在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,

因此

從而在Rt△DFE中，DE=3,

在

因此所求二面角A-EC-B的大小為arctan

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如答（19）圖3.由（Ⅰ）知，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤、

y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（0，0，4），

，E（0，3，0）.

過(guò)D作DF⊥CE,交CE的延長(zhǎng)線

于F，連接AF.

設(shè)從而

   ，有

         ①

   又由       ②

   聯(lián)立①、②，解得

   因?yàn)?sub>,故,又因,所以為所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以

   因此所求二面角A-EC-B的大小為

福建卷（18）（本小題滿分12分）

　　　如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求異面直線PD與CD所成角的大��；

（Ⅲ）線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出　的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成角、點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.滿分12分.

　　　解法一：

　　（Ⅰ）證明：在△PAD中PA=PD,O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD,

又側(cè)面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,

有OD∥BC且OD=BC,所以四邊形OBCD是平行四邊形，

所以O(shè)B∥DC.

由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO為銳角，

所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角.

因?yàn)锳D=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,

所以O(shè)B＝，

在Rt△POA中，因?yàn)锳P＝，AO＝1，所以O(shè)P＝1，

在Rt△PBO中，tan∠PBO＝

所以異面直線PB與CD所成的角是.

（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為.

　　　設(shè)QD＝x，則，由（Ⅱ）得CD=OB=，

　　　在Rt△POC中，

所以PC=CD=DP,

由V_p-DQC=V_Q-PCD,得2，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí).

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,依題意，易得

A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

所以

所以異面直線PB與CD所成的角是arccos，

 (Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為，

由(Ⅱ)知

設(shè)平面PCD的法向量為n=(x₀,y₀,z₀).

則所以即，

取x₀=1,得平面PCD的一個(gè)法向量為n=(1,1,1).

設(shè)由，得解y=-或y=(舍去)，

此時(shí)，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí).

廣東卷20．（本小題滿分14分）

如圖5所示，四棱錐的底面是半徑為的圓的內(nèi)接四邊形，其中是圓的直徑，，，垂直底面，，分別是上的點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于．

（1）求與平面所成角的正弦值；（2）證明：是直角三角形；

（3）當(dāng)時(shí)，求的面積．

【解析】（1）在中，，

而PD垂直底面ABCD，

,

在中，,即為以為直角的直角三角形。

設(shè)點(diǎn)到面的距離為,由有,即

    ;

(2),而,即,，

,是直角三角形；

（3）時(shí),,

即,

的面積

浙江卷（18）（本題14分）如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。

（Ⅰ）求證：AE//平面DCF；

（Ⅱ）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為？

本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力．滿分14分．

方法一：

（Ⅰ）證明：過(guò)點(diǎn)作交于，連結(jié)，

可得四邊形為矩形，

又為矩形，

所以，從而四邊形為平行四邊形，

故．

因?yàn)?sub>平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)．

由平面平面，，得

平面，

從而．

所以為二面角的平面角．

在中，因?yàn)?sub>，，所以，．

又因?yàn)?sub>，所以，

從而．

于是．

因?yàn)?sub>，

所以當(dāng)為時(shí)，二面角的大小為．

方法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，

則，，，，．

（Ⅰ）證明：，，，

所以，，從而，，

所以平面．

因?yàn)?sub>平面，

所以平面平面．

故平面．

（Ⅱ）解：因?yàn)?sub>，，

所以，，從而

解得．

所以，．

設(shè)與平面垂直，

則，，

解得．

又因?yàn)?sub>平面，，

所以，

得到．

所以當(dāng)為時(shí)，二面角的大小為．

遼寧卷19．（本小題滿分12分）

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥，截面PQGH∥．

（Ⅰ）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

（Ⅱ）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，

并求出這個(gè)值；

（Ⅲ）若與平面PQEF所成的角為，求與平

面PQGH所成角的正弦值．

19．本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，面面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力與邏輯思維能力。滿分12分．

解法一：

（Ⅰ）證明：在正方體中，，，又由已知可得

，，，

所以，，

所以平面．

所以平面和平面互相垂直．??????? 4分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是

，是定值．???????????????????? 8分

（III）解：連結(jié)BC′交EQ于點(diǎn)M．

因?yàn)?sub>，，

所以平面和平面PQGH互相平行，因此與平面PQGH所成角與與平面所成角相等．

與（Ⅰ）同理可證EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面，因此EM與的比值就是所求的正弦值．

設(shè)交PF于點(diǎn)N，連結(jié)EN，由知

．

因?yàn)?i>⊥平面PQEF，又已知與平面PQEF成角，

所以，即，

解得，可知E為BC中點(diǎn)．

所以EM=，又，

故與平面PQCH所成角的正弦值為．??????????????? 12分

解法二：

以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D－xyz由已知得，故

，，，，

，，，

，，．

（Ⅰ）證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得

，

，

．

因?yàn)?sub>，所以是平面PQEF的法向量．

因?yàn)?sub>，所以是平面PQGH的法向量．

因?yàn)?sub>，所以，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．????????????????????? 4分

（Ⅱ）證明：因?yàn)?sub>，所以，又，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．

在所建立的坐標(biāo)系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值．?????????????? 8分

（Ⅲ）解：由已知得與成角，又可得

                         ，

即，解得．

所以，又，所以與平面PQGH所成角的正弦值為

．????????????????????? 12分