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練習(xí)冊

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試題

北京市西城區(qū) 2009年抽樣測試

高三數(shù)學(xué)試卷（理科） 2009.4

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.共150分.考試時間120分鐘.

題號

分?jǐn)?shù)

一

二

三

總分

15

16

17

18

19

20

第Ⅰ卷(共40分)

一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

1. 已知全集，集合，那么集合等于（）

A. B.

C. D.

2. 設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)i，則等于（）

A. i B.i

C. i D. i

3. 若數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，且，則數(shù)列是（）

A. 公差為2的等差數(shù)列 B. 公差為的等差數(shù)列

C. 公比為2的等比數(shù)列 D. 公比為的等比數(shù)列

4. 設(shè)a為常數(shù)，函數(shù). 若為偶函數(shù)，則等于（）

A. -2 B. 2

C. -1 D. 1

5. 已知直線a 和平面，那么的一個充分條件是（）

A. 存在一條直線b， B. 存在一條直線b，

C. 存在一個平面 D. 存在一個平面

6. 與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是（）

A. B.

C. D.

7．設(shè) R，且，，則 ( )

A. B.

C. D.

8. 函數(shù)f (x)的定義域為D，若對于任意，當(dāng)時，都有，則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù) . 設(shè)函數(shù)f (x)在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：

1； 2； 3.

則等于（）

A. B.

C. 1 D.

北京市西城區(qū) 2009年抽樣測試

高三數(shù)學(xué)試卷（理科） 2009.4

第Ⅱ卷( 共110分)

二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分. 把答案填在題中橫線上 .

9. 的值等于___________.

10. 的展開式中的系數(shù)是___________；其展開式中各項系數(shù)之和為________.(用數(shù)字作答)

11. 不等式的解集為_____________.

12. 設(shè)O為坐標(biāo)原點，向量 . 將繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 得到向量 , 則的坐標(biāo)為____________.

13. 給出下列四個函數(shù)：

① ； ② ；

③ ； ④ .

其中在上既無最大值又無最小值的函數(shù)是_________________.（寫出全部正確結(jié)論的序號）

14. 已知函數(shù)由下表給出：

0

1

2

3

4

其中等于在中k所出現(xiàn)的次數(shù).

則=______________；___________.

三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分12分）

某個高中研究性學(xué)習(xí)小組共有9名學(xué)生，其中有3名男生和6名女生. 在研究學(xué)習(xí)過程中，要進(jìn)行兩次匯報活動（即開題匯報和結(jié)題匯報），每次匯報都從這9名學(xué)生中隨機選1人作為代表發(fā)言. 設(shè)每人每次被選中與否均互不影響.

（Ⅰ）求兩次匯報活動都由小組成員甲發(fā)言的概率；

（Ⅱ）設(shè)為男生發(fā)言次數(shù)與女生發(fā)言次數(shù)之差的絕對值，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

16.（本小題滿分12分）

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸正半軸上，直線AB的傾斜角為，|OB|=2, 設(shè).

（Ⅰ）用表示點B的坐標(biāo)及；

（Ⅱ）若，求的值.

17.（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，又

.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；

（Ⅲ）求點B到平面PAD的距離.

18.（本小題滿分14分）

設(shè)R，函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在點處的切線方程為，求a的值；

（Ⅱ）當(dāng)a<1時，討論函數(shù)的單調(diào)性.

19.（本小題滿分14分）

已知橢圓C ，過點M(0, 3)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B.

（Ⅰ）若l與x軸相交于點N，且A是MN的中點，求直線l的方程；

（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點, 且 (O為坐標(biāo)原點). 求當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍.

20.（本小題滿分14分）

設(shè)，對于有窮數(shù)列(), 令為中的最大值，稱數(shù)列為的“創(chuàng)新數(shù)列”. 數(shù)列中不相等項的個數(shù)稱為的“創(chuàng)新階數(shù)”. 例如數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為2,2,3,7,7，創(chuàng)新階數(shù)為3.

考察自然數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列.

（Ⅰ）若m=5, 寫出創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,5,5的所有數(shù)列；

(Ⅱ) 是否存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有的數(shù)列，若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）在創(chuàng)新階數(shù)為2的所有數(shù)列中，求它們的首項的和.

高三數(shù)學(xué)試卷（理科） 2009.4

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

A

B

C

C

D

A

一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.

二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.

9. 10. 10，243 11. 12. 13. 24 14.

注：兩空的題目，第一個空3分，第二個空2分.

三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.

15.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：記 “2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言” 為事件A. -----------------------------1分

由題意，得事件A的概率，

即2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言的概率為. ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由題意，ξ的可能取值為2,0, ----------------------------6分

每次匯報時，男生被選為代表的概率為，女生被選為代表的概率為.

；；

所以，的分布列為：

2

0

P

---------------------------10分

的數(shù)學(xué)期望. ---------------------------12分

16.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：由三角函數(shù)的定義，得點B的坐標(biāo)為. ---------------------------1分

在中，|OB|=2，，

由正弦定理，得，即，

所以 . ---------------------------5分

注：僅寫出正弦定理，得3分. 若用直線AB方程求得也得分.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得， ------------------7分

因為，

所以， ----------------------------9分

又

， ---------------------------11分

所以. ---------------------------12分

17.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）證明：在中，，

，

，即， ---------------------------1分

，

平面. ---------------------------4分

（Ⅱ）方法一：

解：由（Ⅰ）知，

又，

平面， ---------------------------5分

如圖，過C作于M，連接BM，

是BM在平面PCD內(nèi)的射影，

，

又

為二面角B-PD-C的平面角. ---------------------------7分

在中, , PC=1, ，

，

又，，

. ---------------8分

在中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小為. ---------------------------9分

方法二：

解：如圖，在平面ABCD內(nèi)，以C為原點， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，

則, ---------------------------5分

過C作于M，連接BM，設(shè)，

則，

，

； 1

共線，

， 2

由12，解得，

點的坐標(biāo)為，，，

,

，

又，

為二面角B-PD-C的平面角. ---------------------------7分

，，

，

二面角B-PD-C的大小為. --------------------------9分

（Ⅲ）解：設(shè)點B到平面PAD的距離為h，

，，

平面ABCD，，

，

在直角梯形ABCD中，，

.

在中，，，

，

，

的面積， ---------------------------10分

三棱錐B-PAD的體積，

， ---------------------------12分

即，解得，

點B到平面PAD的距離為. ---------------------------14分

18.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域為， ---------------------------1分

. ---------------------------4分

因為，所以. ---------------------------5分

（Ⅱ）解：當(dāng)時，因為，

所以，故在上是減函數(shù)； ------------------------7分

當(dāng)a=0時，當(dāng)時，，故在上是減函數(shù)，

當(dāng)時，，故在上是減函數(shù)，

因為函數(shù)在上連續(xù)，

所以在上是減函數(shù)； ---------------------------9分

當(dāng)0<a<1時，由, 得x=，或x=. --------------------------10分

x變化時，的變化如情況下表：

0

+

0

極小值

極大值

所以在上為減函數(shù)、在上為減函數(shù)；在上為增函數(shù). ------------------------13分

綜上，當(dāng)時，在上是減函數(shù)；

當(dāng)0<a<1時，在上為減函數(shù)、在上為減函數(shù)；在上為增函數(shù). ------------------------14分

19.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：設(shè)A(x₁, y₁)，

因為A為MN的中點，且M的縱坐標(biāo)為3，N的縱坐標(biāo)為0，

所以， ---------------------------1分

又因為點A(x₁, y₁)在橢圓C上

所以，即，解得，

則點A的坐標(biāo)為或， -------------------------3分

所以直線l的方程為或. --------------------------5分

（Ⅱ）解：設(shè)直線AB的方程為或，A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，，

當(dāng)AB的方程為時，，與題意不符. --------------------------6分

當(dāng)AB的方程為時：

由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解，

消去y得，

所以即，

則，

---------------------------8分

因為，

所以，解得，

所以. --------------------------10分

因為，即，

所以當(dāng)時，由，得，

上述方程無解，所以此時符合條件的直線不存在； --------------------11分

當(dāng)時，，，

因為點在橢圓上，

所以， -------------------------12分

化簡得，

因為，所以，

則.

綜上，實數(shù)的取值范圍為. ---------------------------14分

20.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：由題意，創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,5,5的數(shù)列有兩個，即：

（1）數(shù)列3，4，1，5，2； ---------------------------2分

（2）數(shù)列3，4，2，5，1. ---------------------------3分

注：寫出一個得2分，兩個寫全得3分.

（Ⅱ）答：存在數(shù)列，它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列.

解：設(shè)數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為，

因為為中的最大值.

所以.

由題意知：為中最大值，為中最大值，

所以，且.

若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則，且N， -----------------5分

當(dāng)d=0時，為常數(shù)列，又，

所以數(shù)列為，此時數(shù)列是首項為m的任意一個符合條件的數(shù)列；

當(dāng)d=1時，因為

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