第九講  三角函數(shù)的求值

★★★高考在考什么

【考題回放】

1．（海南）若，則的值為（C）

Ａ．      Ｂ．            Ｃ．              Ｄ．

2．（天津）“”是“”的（A）

Ａ．充分而不必要條件     Ｂ．必要而不充分條件

Ｃ．充分必要條件            Ｄ．既不充分也不必要條件

3. 在△OAB中，O為坐標(biāo)原點，，則當(dāng)△OAB的面積達最大值時， （  D  ）

（A）           （B）           （C）           （D）

4．（江蘇）若，，則_____

5．（浙江）已知，且，則的值是

6．已知函數(shù)f(x)＝－sin²x＋sinxcosx．

   (Ⅰ) 求f()的值； (Ⅱ) 設(shè)∈(0，)，f()＝－，求sin的值．

解：(Ⅰ)

(Ⅱ) ，

   解得

★★★高考要考什么

【考點透視】

本專題主要涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，兩角和差公式，倍角公式，升冪縮角、降冪擴角公式等公式的應(yīng)用.

【熱點透析】

三角函數(shù)式的化簡和求值是高考考查的重點內(nèi)容之一  通過本節(jié)的學(xué)習(xí)使考生掌握化簡和求值問題的解題規(guī)律和途徑，特別是要掌握化簡和求值的一些常規(guī)技巧，以優(yōu)化我們的解題效果，做到事半功倍

★★★突破重難點

【范例1】設(shè)0£q£p,P=sin2q+sinq-cosq

（1）   若t= sinq-cosq,用含t的式子表示P;

（2）   確定t的取值范圍，并求出P的最大值.

解析（1）由有

（2）

即的取值范圍是

在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).

的最大值是

【點晴】間通過平方可以建立關(guān)系，“知其一，可求其二”．

【范例2】已知為的最小正周期， ，且．求的值．

解：因為為的最小正周期，故．

因，又．

故．

由于，所以

【范例3】設(shè)．

（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；

（Ⅱ）若銳角滿足，求的值．

解：（Ⅰ）

．

故的最大值為；

最小正周期．

（Ⅱ）由得，故．

又由得，故，解得．

從而．

【范例4】已知的面積S 滿足且與的夾角為.

(1) 求的取值范圍；

(2) 求函數(shù)的最小值.

解： （1）由題意知，   ①

   ②

由②①，得即由得

又為與的夾角，

（2）

＝

即時，的最小值為3

【范例5】已知函數(shù)，．

（I）求的最大值和最小值；

（II）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

本小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識，以及運用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力．

解：（Ⅰ）

．

又，，即，

．

（Ⅱ），，

且，

，即的取值范圍是．

【變式】已知f（x）=2asin²x－2asinx+a+b的定義域是［0,］，值域是［－5，1］,求a、b的值.

解析  令sinx=t，∵x∈［0，］，∴t∈［0，1］，

f（x）=g（t）=2at²－2at+a+b=2a（t－）²+b.

當(dāng)a＞0時，則     解之得a=6，b=－5.

當(dāng)a＜0時，則    解之得a=－6，b=1.

【點睛】注意討論的思想